资源描述
〔2022哈尔滨〕１。如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，假设∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数
为度．125
〔2022珠海〕如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，
那么点P到BC的距离是_____cm. 4
〔2022红河自治州〕以下命题错误的选项是 〔 B 〕
a) 四边形内角和等于外角和
b) 相似多边形的面积比等于相似比
c) 点P〔1,2〕关于原点对称的点的坐标为〔-1，-2〕
d) 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
〔2022红河自治州〕18. (本小题总分值9分)如图6，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，〔G与B、C两点不重合〕，E、F是AG上的两点〔E、F与A、G两点不重合〕，假设AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论.
解：根据题目条件可判断DE//BF.
证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF+∠2=90°.
∵AF=AE+EF，又AF=BF+EF
∴AE=BF
∵∠1=∠2，∴△ABF≌△DAE〔SAS〕.
∴∠AFB=∠DEA，∠BAF=∠ADE.
∴∠ADE+∠2=90°，
∴∠AED=∠BFA=90°.
∴DE//BF.
〔2022年镇江市〕10．如图，在平行四边形ABCD中，CD=10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且=，BF= 6 .
〔2022年镇江市〕27．探索发现〔本小题总分值9分〕
如图，在直角坐标系的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，
试解决以下问题：
〔1〕填空：点D坐标为；
〔2〕设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；
〔3〕等式BO=BD能否成立为什么
〔4〕设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.
〔1〕；〔1分〕
〔2〕
① 〔2分〕
〔3分〕
② 〔4分〕〔注：不去绝
对值符号不扣分〕
〔3〕[法一]假设OB=BD，那么
由①得 〔5分〕
[法二]假设OB=BD，那么B点在OD的中垂线CM上.
∴直线CM的函数关系式为， ③ 〔5分〕
④
联立③，④得：，
[法三]假设OB=BD，那么B点在OD的中垂线CM上，如图27 – 1
过点B作
〔4〕如果，
①当，如图27 – 2
∴此时四边形BDCF为直角梯形.〔7分〕
②当如图27 – 3
∴此时四边形BDCF为平行四边形.〔8分〕
下证平行四边形BDCF为菱形：
[法一]在，
[方法①]上方
〔舍去〕.
得
[方法②]由②得：
此时
∴此时四边形BDCF为菱形〔9分〕
[法二]在等腰中
(2022台州市)〔第9题〕
9．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．
那么DM+CN的值为〔用含a的代数式表示〕(▲)
A．a B． C． D．
答案：C
(2022遵义市)〔10分〕如图〔1〕，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．
(1)求证:CF＝CH；
(2)如图(2)，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=时，试判断四边形ACDM是什么四边形并证明你的结论．
〔图1〕 〔图2〕
〔24题图〕
解:(1)(5分) 证明:在△ACB和△ECD中
∵∠ACB=∠ECD=
∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,
∴∠1=∠2
又∵AC=CE=CB=CD,
∴∠A=∠D=
∴△ACB≌△ECD,
∴CF=CH
(2)(5分) 答: 四边形ACDM是菱形
证明: ∵∠ACB=∠ECD=, ∠BCE=
∴∠1=, ∠2=
又∵∠E=∠B=,
∴∠1=∠E, ∠2=∠B
∴AC∥MD, CD∥AM , ∴ACDM是平行四边形
又∵AC=CD, ∴ACDM是菱形
〔玉溪市2022〕图9
19. 如图9，在ABCD中，E是AD的中点，请添加适
当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由.
解：添加的条件是连结B、E,过D作DF∥BE交BC于
点F,构造的全等三角形是△ABE与△CDF. …………4分
理由： ∵平行四边形ABCD，AE=ED,…………5分
∴在△ABE与△CDF中，
AB=CD, …………6分
∠EAB=∠FCD, …………7分
AE=CF ， …………8分
∴△ABE≌△CDF. …………9分
〔桂林2022〕16．正五边形的内角和等于______度．540
〔桂林2022〕21．〔此题总分值8分〕 求证：矩形的对角线相等．
21.(此题8 分)：四边形ABCD是矩形, AC与BD是对角线 ……………2分
求证：AC=BD………………………………………3分
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°…………4分
又∵BC=CB…………………………5分
∴△ABC≌△DCB…………6分
∴AC=BD……………………7分
所以矩形的对角线相等.…………8分
〔2022年兰州〕11.如下列图，菱形ABCD的周长为20，DE⊥AB，垂足为E，A=，那么以下结论正确的个数有
①②③菱形的面积为④
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
答案C
〔2022年兰州〕27.〔此题总分值10分〕平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，
BD=8．
〔1〕假设AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；
〔2〕假设AC与BD的夹角∠AOD=，求四边形ABCD的面积；
〔3〕试讨论：假设把题目中“平行四边形ABCD〞改为“四边形ABCD〞，且∠AOD=
AC=，BD=，试求四边形ABCD的面积〔用含，，的代数式表示〕．
第27题图
答案〔此题总分值10分〕
解：〔1〕∵AC⊥BD
∴四边形ABCD的面积
………………………………………2分
〔2〕过点A分别作AE⊥BD，垂足为E …………………………………3分
∵四边形ABCD为平行四边形
在Rt⊿AOE中，
∴…………4分
∴………………………………5分
∴四边形ABCD的面积……………………………………6分
(3〕如下列图过点A,C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E,F …………7分
在Rt⊿AOE中，
∴
同理可得
………………………………8分
…………………………………10分
∴四边形ABCD的面积
〔2022年连云港〕7．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，那么以下条件能判定四边形ABCD为菱形的是〔 〕
A．BA＝BC B．AC、BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD
答案 B
〔2022年连云港〕18．矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B’处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，那么此相等距离为________．
第18题
AD
BAD
CFEBAD
B’
D
E
P
答案
〔2022年连云港〕27．〔此题总分值10分〕如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两局部，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
〔1〕三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；
〔2〕如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ABE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线〔不写作法，保存作图痕迹〕；
〔3〕如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线假设能，请画出面积等分线，并给出证明；假设不能，说明理由．
AD
BAD
EBAD
CFEBAD
DQFEBAD
图1
AD
BAD
CFEBAD
DQFEBAD
图2
答案(1) 中线所在的直线 ..........................................................................................................2分
(2)法一：连接BE，因为AB∥CE,AB=CE，所以四边形ABEC为平行四边形
所以BE∥AC ......................................................................................................................3分
所以△ABC 和△AEC的公共边AC上的高也相等
所以有
所以 ...................................................5分
法二：
设 AE与BC相交于点F
因为AB∥CE，所以
又因为 AB=CE
所以
所以
过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如右图〔1〕所示
(3)能.连接AC,过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,连接AE.
因为BE∥AC,所以△ABC 和△AEC的公共边AC上的高也相等
所以有
所以
因为
所以面积等分线必与CD相交,取DE中点F
那么直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线
作图如右图(2)所示
〔2022宁波市〕21．如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC＝8，BD＝6．
A
B
C
D
图1
〔1〕请沿着AC剪一刀，把它分成两局部，把剪开的两局局部拼成一个平
行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；假设沿着BD剪
开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形；并直接写出这两个平行
四边形的周长．
〔2〕沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4
中用实线画出拼成的平行四边形．
〔注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等〕
〔第21题〕
A
B
C
D
图3
周长________
A
B
C
D
图4
A
B
C
D
图2
周长________
24.〔2022年金华〕 (此题12分)
如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为〔3，0〕和(0，3〕.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的
面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1，，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动〔即移动过程中保持l∥x轴〕，且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答以下问题：
〔1〕过A，B两点的直线解析式是▲；
〔2〕当t﹦4时，点P的坐标为▲；当t ﹦▲，点P与点E重合；
〔3〕①作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，假设形成的四边形PEP′F为菱形，那么t的值是多少
②当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP 假设存在,求出点Q的坐标；B
F
A
P
E
O
x
y
(第24题图)
假设不存在，请说明理由．
解：〔1〕；………4分〔2〕〔0,〕，；……4分〔各2分〕
B
F
A
P
E
O
x
y
G
P′
P′
(图1)
〔3〕①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足〔如图1〕
∵,,∠∠90°
∴△≌△，∴﹒
又∵,∠60°,∴
而，∴,
B
F
A
P
E
O
x
y
M
P′
H
〔图2)
由得；………………………………………………………………1分
当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形；
当点P在线段上时，
过P作⊥，⊥，、分别为垂足〔如图2〕
∵,∴,∴
∴，又∵
在Rt△中，
即，解得．…………………………………………………1分
B
F
A
P
E
O
x
Q′
B′
Q
C
C1
D1
(图3)
y
②存在﹒理由如下：
∵，∴,，
将△绕点顺时针方向旋转90°，得到
△〔如图3〕
∵⊥，∴点在直线上，
C点坐标为〔，－1〕
过作∥，交于点Q,
那么△∽△
由，可得Q的坐标为〔－，〕………………………1分
根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点〔－，〕也符合条件．……1分
22．〔2022年长沙〕在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
〔1〕求证：△BEC≌△DEC；
〔2〕延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．
第22题图
A
F
D
E
B
C
答案：〔1〕证明：∵四边形ABCD是正方形
∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°
又EC＝EC …………………………2分
∴△ABE≌△ADE……………………3分
〔2〕∵△ABE≌△ADE
∴∠BEC＝∠DEC＝∠BED …………4分
∵∠BED＝120°∴∠BEC＝60°＝∠AEF……………5分
∴∠EFD＝60°+45°＝105°…………………………6分
第22题
〔2022年湖南郴州市〕22．一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其根本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小〔菱形的边长不变〕，从而改变千斤顶的高度〔即A、C之间的距离〕.假设AB=40cm，当从变为时，千斤顶升高了多少〔，结果保存整数〕
答案22.解: 连结AC，与BD相交于点O
四边形ABCD是菱形 ACBD,ADB=CDB,AC=2AO……1分
当ADC=时，ADC是等边三角形
AC=AD=AB=40 …………………3分
当ADC=时，ADO=
AO=ADsinADO=40×=20
AC=40…………………………5分
因此增加的高度为4040=400.73229〔cm〕 ……………6分
(说明：当ADC=时，求AC的长可在直角三角形用勾股定理)
第23题
〔2022年湖南郴州市〕23．：如图，把绕边BC的中点O旋转得到.
求证：四边形ABDC是平行四边形.
答案23.证明：因为是由旋转所得 ………………2分
所以点A、D，B、C关于点O中心对称……………………4分
所以OB=OCOA=OD ………………………………6分
所以四边形ABCD是平行四边形 ………………………………8分
〔注：还可以利用旋转变换得到AB=CD ，AC=BD相等；或证明证ABCD是平行四边形〕
(2022湖北省荆门市)19．(此题总分值9分)将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图(1)；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．
(1) (2)
第19题图
答案19．
图1 图2
证明：由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线，∴∠1＝∠2……………………2分
由第二次折叠可知：∠CAB＝∠EDF，从而，∠3＝∠4………………………………4分
∵AD是△AED和△AFD的公共边，∴△AED≌△AFD(ASA)………………………6分
∴AE＝AF，DE＝DF
又由第二次折叠可知：AE＝ED，AF＝DF
∴AE＝ED＝DF＝AF…………………………………………………………………………8分
故四边形AEDF是菱形．……………………………………………………………………9分
8．〔2022湖北省咸宁市〕如图，菱形ABCD由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，
那么线段AC的长为
A．3 B．6 C．D．
答案：D
A
B
E
F
D
C
第13题
13. 〔2022年郴州市〕如图，平行四边形，是延长线上一点，连结交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使，这个条件是．〔只要填一个〕
答案：或或 或F为DE的中点或F为BC的中点或或B为AE的中点
７．〔2022年怀化市〕如图２，在菱形ABCD中，
对角线AC=4，∠BAD=120°，
那么菱形ABCD的周长为〔 〕
A．20 B．18
C．16 D．15
答案：C
18．〔2022年怀化市〕如图5，在直角梯形ABCD中，
AB∥CD，AD⊥CD，AB=1cm，
AD=6cm，CD=9cm，那么BC=cm．
答案：10
22．〔2022湖北省咸宁市〕B
C
D
F
E
图1
A
3
6
2
问题背景
〔1〕如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，
过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：
四边形DBFE的面积，
△EFC的面积，
△ADE的面积．
探究发现
B
C
D
G
F
E
图2
A
〔2〕在〔1〕中，假设，，DE与BC间的距离为．请证明．
拓展迁移
〔3〕如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，假设
△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用〔2〕
中的结论求△ABC的面积．
22．〔1〕，，．……3分
〔2〕证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE为平行四边形，，．
∴△ADE∽△EFC．……4分
∴．
∵， ∴．……5分
∴．
而， ∴……6分
〔3〕解：过点G作GH∥AB交BC于H，那么四边形DBHG为平行四边形．
B
C
D
G
F
E
图2
A
H
∴，，．
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴． ∴．
∴． ∴△DBE≌△GHF．
∴△GHC的面积为．……8分
由〔2〕得，□DBHG的面积为．……9分
∴△ABC的面积为．
第22题
22．〔2022年郴州市〕一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其根本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小〔菱形的边长不变〕，从而改变千斤顶的高度〔即A、C之间的距离〕.假设AB=40cm，当从变为时，千斤顶升高了多少〔，结果保存整数〕
22.解: 连结AC，与BD相交于点O
四边形ABCD是菱形 ACBD,ADB=CDB,AC=2AO
当ADC=时，ADC是等边三角形
AC=AD=AB=40
当ADC=时，ADO=
AO=ADsinADO=40×=20
AC=40
因此增加的高度为4040=400.73229〔cm〕
第23题
23．〔2022年郴州市〕：如图，把绕边BC的中点O旋转得到.
求证：四边形ABDC是平行四边形.
23.证明：因为是由旋转所得
所以点A、D，B、C关于点O中心对称
所以OB=OCOA=OD
所以四边形ABCD是平行四边形
〔注：还可以利用旋转变换得到AB=CD ，AC=BD相等；或证明证ABCD是平行四边形〕
23.〔2022年怀化市〕图7
如图7，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.
求证：四边形AECF是平行四边形.
23. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB,OA=OC …………………1分
………………………………………………2分
∴∠DFO=∠BEO, ∠FDO=∠EBO……………………………………………3分
∴△FDO≌△EBO……………………………………………………………4分
∴OF=OE …………………………………………………………………5分
∴四边形AECF是平行四边形
北京4. 假设菱形两条对角线的长分别为6和8，那么这个菱形的周长为 (A) 20 (B) 16
(C) 12 (D) 10。
北京19. ：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=2，BC=4。
求ÐB的度数及AC的长。
毕节23．〔此题10分〕如图，：ABCD中，的平分线交边于，的平分线交于，交于．求证：．
A
B
C
D
E
F
G
23．证明：∵四边形是平行四边形〔〕，
，〔平行四边形的对边平行，对边相等〕
，〔两直线平行，内错角相等〕 2分
又∵ BG平分，平分〔〕
，〔角平分线定义〕
，．6分
，〔在同一个三角形中，等角对等边〕
8分
，即．10分
7．(10湖南怀化)如图2，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，那么菱形ABCD的周长为( )C
A．20 B．18 C．16 D．15
18．(10湖南怀化)如图5，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB=1cm，AD=6cm，CD=9cm，那么BC=______cm．10
23。如图7，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.
求证：四边形AECF是平行四边形.
图7
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB,OA=OC …………………1分
………………………………………………2分
∴∠DFO=∠BEO, ∠FDO=∠EBO……………………………………………3分
∴△FDO≌△EBO……………………………………………………………4分
∴OF=OE …………………………………………………………………5分
∴四边形AECF是平行四边形 ……………………………………6分
24．全等、四边形、勾股定理(10重庆潼南县)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．
〔1〕证明：△ABE≌△DAF；
〔2〕假设∠AGB=30°，求EF的长．
解：〔1〕∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD。
在△ABE和△DAF中，
∴△ABE≌△DAF。
〔2〕∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠4=900。
∵∠3=∠4，∴∠1+∠3=900。∴∠AFD=900。
在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠AGB=300。
在Rt△ADF中，∠AFD=900，AD=2，∴AF=，DF =1。
由(1)得△ABE≌△ADF。∴AE=DF=1。∴EF=AF-AE=。
1、四边形中，，如果添加
一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是〔 〕．
〔第16题图〕
A． B． C． D．
答案：D
2、大正方形网格是由25个边长为1的小正方形组成，
把图中阴影局部剪下来，用剪下来的阴影局部拼成一个正方形，
那么新正方形的边长是
答案：
〔2022陕西省〕8.假设一个菱形的边长为2，那么这个菱形两条对角线的平方和为 〔A〕
A 16 B 8 C 4 D 1
〔2022陕西省〕18．如图，A、B、C三点在同一条直线上AB=2BC，分别以AB,BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN,EC.
求证：FN=EC
证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中
AB=BE=EF,BC=BN, ∠FEN=∠EBC=90°
∵ AB=2BC
∴ EN=BC
∴△FNE≌△EBC
∴FN=EC
〔2022年天津市〕〔6〕以下命题中正确的选项是〔D〕
〔A〕对角线相等的四边形是菱形
〔B〕对角线互相垂直的四边形是菱形
〔C〕对角线相等的平行四边形是菱形
〔D〕对角线互相垂直的平行四边形是菱形
〔2022宁夏6．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，假设A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，那么在平面内符合这样条件的点D有 〔 C 〕
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
〔2022宁夏26. (10分)
在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．
(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明．
(2)假设BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积．
26.解：〔1〕∵ADBC
△AEB是由△ADB折叠所得
∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=，BE=BD, AE=AD
又∵△AFC是由△ADC折叠所得
∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=，FC=CD，AF=AD
∴AE=AF---------------------------------------------2分
又∵∠1+∠2=，
∴∠3+∠4=
∴∠EAF=--------------------------------------3分
∴四边形AEMF是正方形。---------------------5分
〔2〕方法一：设正方形AEMF的边长为x
根据题意知：BE=BD, CF=CD
∴BM=x－1; CM=x－2-------------------------------------------------------------------7分
在Rt△BMC中,由勾股定理得：
∴
解之得： (舍去)
∴------------------------------------------10分
方法二：设：AD=x
∴=
∴-----------------------------------------------------------7分
∵
且
∴ 即
解之得： (舍去)
∴---------------------------------------------10分
第16题图
F
A E B
C
D
1.〔2022宁德〕如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，
那么FC等于_____．4
2.〔2022宁德〕此题总分值13分〕如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD〔不含B点〕上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
E
A D
B C
N
M
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
解：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB〔SAS〕.………………5分
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.………………7分
F
E
A D
B C
N
M
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小.………………9分
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.………………10分
根据“两点之间线段最短〞，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.……11分
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，那么BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，
∵EF2＋FC2＝EC2，
∴〔〕2＋〔x＋x〕2＝.………………12分
解得，x＝〔舍去负值〕.
∴正方形的边长为.………………13分
3.〔2022黄冈〕如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，那么PQ的长是____________cm.
第9题图
4.〔2022黄冈〕〔6分〕如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。
第18题图
提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FCE可证△HAE≌△CEF，从而得到
AE＝EF.
B
D
M
N
C
A
O
第9题图
1．〔2022山东济南〕如下列图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，那么cos∠OMN的值为
A． B． C． D．1
答案：B
2、〔2022山东济南〕如下列图，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=DC，点M是AD的中点．
B
A
C
D
M
第18题图
求证：BM=CM．
答案： 证明：∵BC∥AD，AB=DC，
∴∠BAM=∠CDM，1分
∵点M是AD的中点，
∴AM=DM， 2分
∴△ABM≌△DCM， 3分
∴BM=CM. 4分
1．〔2022山东德州〕在四边形中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是〔只要写出一种即可〕．
2．〔2022山东德州〕粉笔是校园中最常见的必备品．图1是一盒刚翻开的六角形粉笔，总支数为50支．图2是它的横截面〔矩形ABCD〕，每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_______ mm．(，结果精确到1 mm)
第16题图2
第16题图1
A
B
C
D
3．〔2022四川宜宾〕
如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出以下五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；
20题图
④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC．其中正确结论的序号是．
答案：
1．答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求．如：正方形、矩形、等腰梯形等
2．300．
3．①②④⑤．
〔2022株洲市〕11．一个边形的内角和是，那么．
〔2022株洲市〕14．如图，四边形是菱形，对角线和相交于点，，，那么这个菱形的面积是16．
第14题图
〔2022株洲市〕19．〔此题总分值6分〕如图，平行四边形，是的角平分线，交于点．
〔1〕求证：；
〔2〕假设，，求的度数．
19.〔1〕如图，在中，得，
1
2
3
又，∴，∴…… 3分
〔2〕由得，
又，
∴∴
∵，∴，
得：． ……6分
〔2022年常州〕23.〔本小题总分值7分〕如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.
〔2022年安徽〕20.如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC
⑴求证：四边形BCEF是菱形
⑵假设AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE
A
B
C
D
图2
〔2022河北省〕4．如图2，在□ABCD中，AC平
分∠DAB，AB = 3，那么□ABCD的周长为
A．6 B．9
C．12 D．15
〔2022河北省〕14．如图7，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上， CD = 6，点A对应的数为，那么点B所对应的数为5．
A
0
图7
B
C
D
〔2022河南〕17．如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O，连接BB’．
〔1〕请直接写出图中所有的等腰三角形〔不添加字母〕；
〔2〕求证：△AB’O≌△CDO．
（1） △ABB’、△AOC和△BB’C
（2） 在□ABCD中，AB=DC，∠ABC=∠D，由轴对称知：
AB=AB’，∠ABC=∠AB’C
∴AB’=CD，∠AB’O=∠D 又∠A O B’ =∠COD
∴△AB’O≌△CDO．
A
B
C
D
E
F
第18题图
〔2022广东中山〕18．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。∠BAC=30º，
EF⊥AB，垂足为F，连结DF。
〔1〕试说明AC=EF；
〔2〕求证：四边形ADFE
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