2022年高考大纲卷全国Ⅰ文科数学试题及答案.docx

2022 年高考大纲卷全国Ⅰ文科数学试题及答案
文科数学(必修+选修)
参考公式：
河北 河南 山西 广西 西藏
第 I 卷
如果事件A、B互斥，那么 球的外表积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S =4pR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
B) = P(A) P(B)
P(A
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么
球的体积公式
V =3 pR3
4
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
n n
P (k) =Ck pk (1-p)n-k (k = 0,1, 2,…n)
一、选择题 (1) cos 300°=
(A)-32
1
(B)-
2
1
(C)
2
3
(D)
2
(2)设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，N={1,3,5}，那么NÇ(ðUM)=
A.{1,3}B.{1,5}C.{3, 5}
ìy £ 1,
D. {4, 5}
í
(3)假设变量 x, y 满足约束条件 ïx +y ³ 0,
î
ïx -y - 2 £ 0,
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
那么 z =x - 2y 的最大值为
〔4〕各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，那么 a4a5a6=
2
2
(A)5 (B)7 (C)6 (D)4
(5)(1-x)4(1-
x)3 的展开式
x2 的系数是
(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3
(6)直三棱柱 ABC -A1 B1C1 中，假设 ÐBAC = 90°， AB =AC =AA1 ，那么异面直线
BA1 与 AC1 所成的角等于
(A)30° (B)45°(C)60°(D)90°
(7)函数 f(x) =|lgx|.假设 a¹b且， f(a) =

f (b) ，那么 a +b 的取值范围是

(A)(1,+¥)
(B)[1, +¥) (C) (2, +¥)
(D) [2, +¥)
〔8〕 F 、 F 为双曲线 C: x2 -y2 =1的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ FP F = 600 ，
1 2 1 2
那么| PF1 | | PF2 |=
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
〔9〕正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为
2
〔A〕
3

〔B〕
3
3
2
〔C〕
3

〔D〕
6
3
-1
〔10〕设 a = log3 2,b = ln 2, c = 5 2 那么
〔A〕a<b<c〔B〕b<c<a
(C) c <a <b
(D) c <b <a
2
2
2
2
〔11〕圆O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么 PA·PB 的最小值为
(A)
-4+(B)-3+(C)
-4+2
(D)-3 + 2
2 3
3
3
〔12〕在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，假设 AB=CD=2,那么四面体 ABCD 的体积的最大值为
(A)
4 3
(B)
3

(C) 2

8 3
3
(D)
第二卷
二．填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上． (注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．)
(13)不等式
x - 2
x2 + 3x +2
>0的解集是 .
3
(14)a为第二象限的角，sina=,那么tan2a= .
5
(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法共有种.(用数字作答)
(16) F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点D ， 且
BF=2FD，那么C的离心率为 .
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
〔17〕〔本小题总分值10分〕(注．意．：．在．试．题．卷．上．作．答．无．效．)
记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3=12，且2a1,a2,a3+1成等比数列，求Sn.
(18)(本小题总分值12分)(注．意．：．在．试．题．卷．上．作．答．无．效．)
VABC 的内角 A ， B 及其对边 a ， b 满足a +b =a cot A +b cot B ，求内角C ．
(19)(本小题总分值12分)〔注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．)．
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．假设能通过两位初审专家的评审， 那么予以录用；假设两位初审专家都未予通过，那么不予录用；假设恰能通过一位初审专家的评 审，那么再由第三位专家进行复审，假设能通过复审专家的评审，那么予以录用，否那么不予录
用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3． 各专家独立评审．
(I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；
(II)求投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率．
〔20〕〔本小题总分值12分〕〔注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．〕
如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD^底面 ABCD，AB//DC，AD^DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC^平面 SBC .
〔Ⅰ〕证明：SE=2EB；
〔Ⅱ〕求二面角 A-DE-C 的大小 .
〔21〕(本小题总分值 12 分)〔注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．〕 函数 f (x) =3ax4 -2(3a +1)x2 +4x
〔I〕当 a =1 时，求 f (x) 的极值;
6
〔II〕假设 f (x) 在(-1,1)上是增函数，求 a 的取值范围
(22)(本小题总分值 12 分)〔注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．〕
抛物线 C : y2 =4x 的焦点为 F，过点 K(-1, 0) 的直线l 与C 相交于 A 、 B 两点， 点 A 关于 x 轴的对称点为 D .
〔Ⅰ〕证明：点 F 在直线 BD 上；
〔Ⅱ〕设 FA FB =8 ，求DBDK 的内切圆 M 的方程 .
9

一、选择题 (1) cos 300°=
3
(A)-(B)-1
2 2

1
(C)
2

(D)
3
2
1. C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识
【解析】 cos 300°= cos (360°- 60°)= cos 60°=1
2
(2)设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，N={1,3,5}，那么NÇ(ðUM)=
A.{1,3}
B.{1, 5}
C.{3, 5}
D. {4, 5}
2. C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识
【解析】ðUM={2,3,5}，N={1,3,5}，那么NÇ(ðUM)={1,3,5}Ç{2,3,5}={3,5}
ìy £ 1,
í
(3)假设变量 x, y 满足约束条件 ïx +y ³ 0,
î
ïx -y - 2 £ 0,
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

那么 z =x - 2y 的最大值为
3. B【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.
【解析】画出可行域〔如右图〕，z=x-2yÞy=1x-1z，由图可知,当直线l经过点
2 2
A(1,-1)时，z 最大，且最大值为 zmax = 1- 2´ (-1) = 3.
y
x +y=0 A
1

y =x
l0 : x - 2 y = 0

O 2 x
A x -y - 2 = 0
〔4〕各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，那么 a4a5a6=
2
2
(A)5 (B)7 (C)6 (D)4
4. A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等 知识，着重考查了转化与化归的数学思想.
【解析】由等比数列的性质知 a a a = (a a ) a =a3 = 5 ，
1 2 3 1 3 2 2
1
a a a = (a a ) a =a3 =10,所以a a = 503 ,
7 8 9 7 9 8 8 28
1
a2a8
2
所以aaa =(aa)a =a3=( )3 = (506 )3 =5
4 5 6 4 6 5 5
(5)(1-x)4(1-
x)3 的展开式
x2 的系数是
(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3
5. A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一 些根本运算能力.
-æ13ö
【解析】 (1
x)4 (1-
x)3 =(1-4x+6x2-4x3-x4)ç1-3x2+3x-x2÷
èø
x2 的系数是 -12+6=-6
(6)直三棱柱 ABC -A1 B1C1 中，假设 ÐBAC = 90°， AB =AC =AA1 ，那么异面直线
BA1 与 AC1 所成的角等于
(A)30° (B)45°(C)60°(D)90°
6. C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱 ABC -A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.
【解析】延长 CA 到 D，使得 AD =AC ，那么 ADA1C1 为平行四边形， ÐDA1B 就是异面直线
BA 与 AC 所成的角，又三角形 A DB 为等边三角形，\ÐDA B = 600
1 1 1 1
(7)函数 f (x) =| lg x |.假设 a ¹b 且， f (a) =f (b) ，那么 a +b 的取值范围是
(A)(1,+¥)
(B)[1, +¥) (C) (2, +¥)
(D) [2, +¥)
7. C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做
本小题时极易无视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+b= a +1 ³ 2 ,从而错选 D,这也
a
是命题者的用苦良心之处.
【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或b=1，所以 a+b= a+1
a a
又 0<a<b,所以 0<a<1<b，令 f (a) =a +1 由“对勾〞函数的性质知函数 f (a) 在a Î(0,1)上
a
为减函数，所以 f(a)>f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+∞).
ï
ì0 <a < 1
【解析 2】由 0<a<b,且 f(a)=f(b)得： í1 <b
î
ïab = 1
ì0 <x < 1
ï
，利用线性规划得： í1 <y
î
ïxy = 1

，化为求
z=x+y的取值范围问题，z=x+yÞy=-x+z，y=1Þy¢=-1
x x2
<-1Þ过点(1,1)
时 z 最小为 2,∴(C) (2, +¥)
〔8〕 F 、 F 为双曲线 C: x2 -y2 =1的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ FP F = 600 ，
1 2 1 2
那么| PF1 | | PF2 |=
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
8. B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想， 通过此题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.
【解析 1】.由余弦定理得
| PF |2 + | PF |2 - | F F |2
cos∠F1 P F2=1 2 12
2 | PF1 || PF2 |

(
PF - PF + 2 PF PF - F F 2
1
2
)
2
1 2 1 2
2 PF1 PF2
22 + 2 PFPF

-(22)2
2 PF1 PF2
Þcos600 =Þ1=1 2
2
| PF1 | | PF2 |=4
3
3
2
【解析 2】由焦点三角形面积公式得：
2 q2
600 1 0 1
1 2
SDFPF
=bcot = 1cot
2 2
==2PF1
PF2 sin 60
=2 PF1
PF2
| PF1 | | PF2 |=4
〔9〕正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为
2
〔A〕
3
〔B〕
3
3

2
〔C〕
3

〔D〕
6
3
D1
A1
B1
D
O
C1
9. D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D到平面 ACD1的距离是解决此题的关键所在,这也是转化思想的具体表达.
【解析 1】因为 BB1//DD1,所以 BB1 与平面 ACD1 所成角和 DD1与平
面 ACD 所成角相等, 设 DO⊥平面 ACD ，由等体积法得
1
V =V
1S ×DO=1S
1
×DD
D-ACD1
那么
D1 -ACD ,即 3
DACD1
3DACD
1.设DD1=a, C
A B
S =1 AC AD sin60
=1 ´ (2a)2´3=
3 a2 , S
=1 AD CD =1 a2 .
DACD1
2
=SD
1
DD =
2 2 2
3
3
a =
DACD 2 2
q
所以 DO
ACD
1 a,记DD1与平面ACD所成角为 ,
SDACD1
3a2 3 1
那么sinq=
DO =
DD1
3,所以cosq=6.
3 3
3
2
【解析2】设上下底面的中心分别为O1,O；O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1
O1O
OD1
所成角， cosÐO1OD1
==1/ =6 3
-1
〔10〕设 a = log3 2,b = ln 2, c = 5 2 那么
〔A〕a<b<c〔B〕b<c<a
(C) c <a <b
(D) c <b <a
10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法那么的应用.
1 1
【解析 1】 a= log3 2= log 3 , b=In2= log e ,而 log2 3 > log2 e > 1,所以 a<b,
2 2
-11
5
5
c= 52= ,而 >2=log24>log23,所以c<a,综上c<a<b.
【解析 2 】a=

log3 2=
1
,b=ln2=
log2 3
1
,
log2 e

1<log2e<log23<2 ，

1 1 1
-11 1 1
5
4
<<<1； c=5 2 =<=，∴c<a<b
2 log23 log2e 2
2
2
2
2
〔11〕圆O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么 PA·PB 的最小值为
(A)
-4+(B)-3+(C)
-4+2
(D)-3 + 2
A

O P
11. D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求 法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.
1+ x2
【解析1】如下列图：设PA=PB=x(x>0),∠APO=a,那么∠APB=2a，PO=，

sina=1
1+x2
PA·PB=|PA|×|PB|cos2a=x2(1-2sin2a)=

x2 (x2 -1)
x2 +1

，
B
x4 -x2
= x2 +1 ， 令

PA·
PB=，那么 y=
x4 -x2
x2+1

，即 x4 - (1+y)x2 -y = 0 ，由 x2 是实数，所以
2
2
D=[-(1+y)]2-4´1´(-y)³0，y2+6y+1³0，解得y£-3-2 或y³-3+2 .
2
故(PA·PB)min =-3 + 2
.此时 x =
2 -1 .

æqö2
2
【解析2】设ÐAPB=q,0<q<p，PA·PB=(PA)(PB)cosq=ç1/tan ÷
èø
cosq

cos2 q
æ1- sin2 qöæ1- 2sin2 qö
æqöç
2÷ç2÷2q
=2 ×ç1-2sin2
÷=èøèø
换 元 ：
x = s i n
<,x0£，
sin2qè2øsin2q2
2 2
(1-x)(1-2x)1
PA·PB==2x+- 3 ³ 2 2 -3
x x
1 1 1 1 0
【解析 3】建系：园的方程为 x2 +y2 = 1，设 A(x , y ), B(x , -y ), P(x , 0) ，
PA·PB=(x-x,y)×(x-x,-y)=x2-2xx+x2-y2
1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1
AO ^PA Þ(x , y )×(x -x , y )= 0 Þx2 -x x+y2 = 0 Þx x = 1
1 1 1 0 1 1 1 0 1 10
PA·PB =x2 -2x x+x2 -y2 =x2 - 2 +x2 -(1-x2 )=2x2 +x2 - 3 ³ 2 2 - 3
1 1 0 0 1 1 0 1 1 0
【解析 4】如下列图：设| OP |=x , ÐAPB = 2q,
PA |=| PB |= x2 -1
那么| ，sinq=1 ，
x
∴cos 2q=1-22 sinq=1-2 ，
t2
那么 PA×PB =
x2 -1´
x2 -1´ (1-
2 ) =x2 +2
x2 x2
- 3 ³ 2 2 - 3
当且仅当x2=2时，取“=〞，故PA×PB的最小值为22-3，应选D
2 3
3
3
〔12〕在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，假设 AB=CD=2,那么四面体 ABCD 的体积的最大值为
(A)
4 3
(B)
3

(C) 2

8 3
3
(D)
12. B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过 球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.
【解析】过 CD 作平面 PCD，使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为h ,那么有
22 -12
V =1´2´1´2´h=2h,当直径通过AB与CD的中点时,h =2
= 2 3 ,故
四面体ABCD
3 2 3
max
V =4 3.
max 3
二．填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．
(注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．)
x - 2
(13)不等式

x2 + 3x +2
>0的解集是 .
13. {x-2<x<-1, 或 x>2}【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法
【解析】:
x - 2
x2 + 3x +2

> 0 Û
x -2
(x+2)(x+1)
> 0 Û(x - 2)(x + 2)(x +1)> 0 ，数轴标根
得： {x -2 <x <-1, 或 x > 2}
(14)a为第二象限的角，sina=3,那么tan2a=.
5
14. -24【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的
7
正切公式,同时考查了根本运算能力及等价变换的解题技能.
【解析】因为a为第二象限的角,又sin a=3 , 所以 cosa=-4 ， tana=sina

=-3 ,
5
所 tan(2a) = 2 tana=-24

5 cosa4
1-tan2a7
(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法共有种.(用数字作答)
15. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论 的数学思想.
【解析 1】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有
C1C2种不同的选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有C2C1种不
3 4 34
同的选法.所以不同的选法共有C1C2 + C2C1 =18 +12 =30 种.
【解析 2】:

C3 -C3 -C3 = 30
3 4 34
7 3 4
(16) F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点D ， 且
BF=2FD，那么C的离心率为 .

【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，
3
3
考查了数形结合思想、方程思想,此题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数〞，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.
b2 + c2
【解析1】如图，|BF|==a,
y
B
O
D1
F
x
D
作 DD1 ^y 轴于点 D1,那么由 BF = 2FD ，得
| OF|
=| BF | =2 ,所以| DD |=3 | OF |=3 c ,
1
|DD1 | |BD| 3 2 2
即 xD=
3c
,由椭圆的第二定义得
2
2
| FD |=e( a
- 3c

) =a-
3c2
c 2 2a
又由|BF|=2|FD|,得 a=2a-
3c2
a
, Þe =
3
3

x2
【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式 2
2
+
y
2=1，设D(x2,y2)，F分BD所成的比为2，
x =0 + 2x2 Þx

=3x

=3 c;y
a b
=b+2y2Þy

=3yc -b =3× 0 -b =-b ，代入
c 1+2
2 2 c 2 c
1+ 2
2 2 2 2
3
9 c2 +1 b2 =1，Þ=
4a2 4b2 e 3
-----------------------------------------------------------------
2022 年全国卷 1 文科数学试题答案
一、选择题

号
题 1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2

案
答 C
C
B
A
A
C
C
B
D
C
D
B
1.C 解 析 ： 本 题 考 查 了 诱 导 公 式 以 及 特 殊 角 的 三 角 函 数
值. cos300
=cos(360
- 60 ) = cos(-60 )
=cos60
=1 ，应选 C.
2
2. C 解析：此题考查了集合的交并补运算.∵CUM={2,3,5},∴N CUM={3,5}，应选
C.
3.B 解析：此题考查了在线性约束条件下求目标函数的最值问题，即线性规划问题.如图，画出约束条件表示的可行域，当目标函数 z =x -2y 经过 x +y = 0
与 x -y - 2 = 0 的交点 A(1, -1) 时，取到最大值 3，应选 B.

O
x-y-2=0

y
y=1
x
A Z=x-2y
x+y=0

1 2 3 7 8 9 5
4. A 解析：此题考查了 等比数列的性质 .
(a a a ) ´ (a a a ) =a 6 = 50 ，
2
a a a =a 3=5 ，选 A.
4 5 6 5
5．A解析：此题考查了二项式定理.(1-x)4展开式的通项为T =Cr (-x)r =(-1)r Cr xr，
r+1 4 4
(1-
r¢
x)3展开式的通项为T¢=Cr¢(-x)r¢=(-1)r¢Cr¢x2，因此，(1-x)4(1-
x)3 展开
r+1 3 3
¢¢r+r¢r¢
4 3
式的各项为(-1)r × (-1)r ×Cr ×Cr ×x
2，当r+=2时有r=2且r¢=0或r=1且r¢=2
2
两种情况，因此展开式中 x2 的系数为6 + (-12) =-6 ，选 A.
6.C解析：此题考查了立体几何中异面直线所成角的求法.延长 CA至点 M，使 AM=CA，那么
A1M//C1A, ÐMA1B或其补角为异面直线 BA1与 AC1所成角，连结 BM， 由 DBMA1为等
边三角形，得异面直线 BA1 与 AC1 所成的角为 60 ，选 C.
7.C 解析：此题考查了对数函数图像性质， 对数式的运算性质，以及均值定理.不妨设
0 <a <1 <b ，由 f ( a)=
f ( 得
-lga=lgb
，lga+lgb=0，
ab = 1 ，因此，

a +b =
a+12>，应选C.
a
8. B解析：此题考查了双曲线焦点三角形的有关结论.由双曲线焦点三角形面积公式得
= 3
S =b2 cotq= 1´cot 30
， S =1|PF|×|PF
|×sin60 ，
= 3
DF1PF2 2 DF1PF2 2 1 2
| PF1 | × | PF2 |= 4 ，选 B.
9. D解析：此题考查了立体几何中线面角的求法.
BB1 与平面 ACD1 所成角等于 DD1 与平
面 ACD1 所成角,在三棱锥 D -ACD1 中，由三条侧棱两两垂直得点 D 在底面 ACD1 内的射
影为等边 DACD1 的垂心即中心 H，那么
6 a
ÐDDH1
为 DD1 与平面 ACD1 所成角,设正方体棱长为
a,那么cosÐDDH=3 =
6
，应选 D.
1 a 3
10.C 解析：此题考查了代数式大小比较的方法 .
a = l o3g
=l n 2
2 <
l n 3
l=nb ，又
-11 1 1
5
3
c = 52 =<，a = log3 2 > log3
2
=，因此 c<a<b，应选 C.
2
11.D 解析：此题考查了向量数量积的定义运算，考查了最值的求法，考查了圆的切线性质.
设 |PA|=|PB|=x

1
， ÐAPB =q
, 那么 tanq=，

cosq=
x2 -1
， 那么
PA× PB = x2
x2 -1

x-4x
2 x x2+1
´x2 +1 =

x2 +1

=(x2 +1)2 - 3(x2 +1) + 2
x2 +1
=x2+1+2 -3³2 2-3，当且仅当x2+1=，即
2
x2 +1
x2=2-1时，取“=〞，故PA×PB的最小值为22-3，应选D.
12.B 解析：此题考查了球和多面体的组合体问题，考查了空间想象能力.如图，过 OCD 三点作球的截面，交 AB 于点 M，由条件知， DOAB 、DOCD 均为边长为 2 的等边三角形，
M
O
设 M 到 CD 的距离为 h ，A 到面 MCD 的距离为 h1 ，B 到面 MCD 的距离为 h2 ，
V =V +V
=1S (h+h)=1×1×CD×h×(h+h) A
那么A-BCD A-MCD B-MCD
3 DMCD 1 2 32
1 1
1 2，因此，
4 3
D
当 AB⊥面 MCD 时，
二、填空题
VA-BCD =××2×2 3×(1+1)=最大，应选B. B
3 2 3
13. {x|-2<x<-1或x> 2}.解析：此题考查了分式不等式以及高次不等式的解 C
法. 由
x-2

> 0 Û
x-2

> 0 Û (x +1)(x + 2)(x - 2) > 0 ，解集
x2 + 3x+2 (x+1)(x+2)
为：{x | -2 <x <-1或x > 2}.
14.
-24
7

解析：此题考查了同角三角函数的关系，二倍角公式以及两角和差的三角函数公
式.由 sin a=3 ，且a为第二象限角得 cosa=-4 ，得 tan a=-3 ， tan 2a=-24 .
5 5 4 7
15．30 解析：此题考查了排列组合知识.分两类，A 类选修课 1 门，B 类选修课 2 门，或者
3 4 3 4
A 类选修课 2 门，B 类选修课 1 门，因此，共有 C2 ×C1 +C1 ×C2 = 30 种选法.
3
16.
3

解析：此题考查了椭圆离心率的求解策略.不妨设椭圆 C 焦点在 x 轴上，中心在原
点，B 点为椭圆上顶点，F 为右焦点，那么由 BF = 2FD ,得 D 点到右准线的距离是 B 点到右
a2
准线距离的一半，那么D点横坐标xD=2c，由BF=2FD知，F分BD所成比为2，，由定
3
2
a
0 +2´a 2
比分点坐标公式得c= 2c=
1+2 3c
，得3c2 =a2，得e=.
3
三．解答题：本大题共 6 小题，共70 分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
〔17〕〔本小题总分值10分〕(注．意．：．在．试．题．卷．上．作．答．无．效．)
记等差数列{an}的前n的和为Sn，设S3=12，且2aa,a2,a3+1成等比数列，求Sn.
17.解析：设数列{an}的公差d，
∵ S3 = 12 ，且 2a1, a2 , a3 +1成等比数列，
∴ a+a+a=12且 2a(a
+1) =a 2 ,
1 2 3
从而有 a1 +d = 4
1 3 2
①
2a (a +2d) = (a +d)2, ②
1 1 1
由①②解得 a1 = 1, d = 3 ，或 a1 = 8, d =-4
所 以 Sn
=1n(3n-1) ，或 S
2 n

= 2n(5 -n)
(18)(本小题总分值12分)(注．意．：．在．试．题．卷．上．作．答．无．效．)
VABC 的内角 A ， B 及其对边 a ， b 满足 a +b =a cot A +b cot B ，求内角C ．
〔18〕、解：
由 a + b =a cot A +b cot B 及正弦定理得
sinA+sinB=cosA+cosB,
sinA-cosA=cosB-sinB,
ppp
从而 s i nA cos-cAos s=in B c o s-sinB s，
4 4 4
sin( A -p) = sin(p-B) .
4 4
又0 <A +B <p
pp
故 A-=-B
4 4
A +B =p,
2
所以 C =p.
2
(19)(本小题总分值12分)〔注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．)．
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．假设能通过两位初审专家的评审， 那么予以录用；假设两位初审专家都未予通过，那么不予录用；假设恰能通过一位初审专家的评 审，那么再由第三位专家进行复审，假设能通过复审专家的评审，那么予以录用，否那么不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．
(I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；
(II)求投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率．
〔19〕、解：
(Ⅰ)记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D 表示事件：稿件被录用.
那么 D=A+B·C,
P(A) = 0.5´0.5 = 0.25, P(B) = 2´0.5´0.5 = 0.5, P(C) = 0.3,
C)
P(D) =P(A +B
C)
= P(A) +P(B
= P(A) +P(B)P(C)
=0.25+0.5×0.3
=0.40.
(Ⅱ)记 E表示事件： 4 篇稿件中恰有 0 篇被录用；
F表示事件： 4 篇稿件中恰有 1 篇被录用；
G表示事件： 4 篇稿件中之多 1 篇被录用；
H 表示事件： 4 篇稿件中至少有 2 篇被录用.
P(E) = (1- 0.4)4 = 0.1296,
4
P(F) =C1 ´ 0.4´ (1- 0.4)3 = 0.3456,
G=E+F
P(G) =P(E) +P(F) =0.1296+0.3456=0.4752
P(H ) = 1-P(G) =1-0.4752=0.5248.
∴投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率为 0.5248．
〔20〕〔本小题总分值12分〕〔注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．〕如图，四棱锥 S-ABCD中，SD^底面 ABCD，AB//DC，
AD^DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱 SB上的一点，平面
EDC ^平面 SBC .
〔Ⅰ〕证明：SE=2EB；
〔Ⅱ〕求二面角 A-DE-C 的大小 .
〔20〕解法一：
(Ⅰ)连接 BD,取 DC 的中点 G，连接 BG,
由此知
BC ^BD.
DG =GC =BG = 1, 即 DABC 为直角三角形，故
又 SD^平面ABCD,故BC^SD,
所以， BC^平面BDS,BC^DE.
作 BK ^EC,K为垂足，因平面EDC ^平面SBC ，
故 BK ^平面EDC,BK ^DE, DE与平面SBC 内的两条相交直线 BK、BC都垂直.
DE ^平面SBC,DE ^ EC,DE ^ SB
SD2 + DB2
SB =
DE =
=6,
SD DB = 2
SB
3
,

EB =
所以， SE = 2EB .
(Ⅱ) 由 SA =
AE =
=6 , SE =SB -EB =2 6,
DB2 - DE2
3 3
SD2 + AD2
=5, AB=1, SE=2EB, AB^SA, 知
æ 1
ç 3 SA÷ + ç 3 AB ÷
ö2
æ 2
ö2
è ø è
ø
= 1, 又AD=1.
故 DADE 为等腰三角形.
AD2 - DF 2
6
取ED中点F,连接AF,那么AF^DE,AF==.
3
连接 FG ，那么 FG / /EC, FG ^DE .
所以， ÐAFG 是二面角 A -DE -C 的平面角.
连接 AG,AG=
,FG==,
2
DG2 - DF 2
6
3
AF 2 +FG2-AG2 1
cosÐAFG==-,
2AFFG 2
所以，二面角 A -DE -C 的大小为 120°. 解法二：
以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立如下列图的直角坐标系 D -xyz ， 设 A(1,0,0)，那么 B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0