2022年高考大纲卷全国Ⅰ文科数学试题及答案.docx

2022 年高考大纲卷全国文科数学试题及答案文科数学(必修+选修)参考公式：河北 河南 山西 广西 西藏第 I 卷如果事件A、B互斥，那么球的外表积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S =4pR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径B) = P(A) P(B)P(A如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么球的体积公式V =3 pR34n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径nnP (k) =Ck pk (1-p)n-k (k = 0,1, 2,n)一、选择题 (1) cos 300=(A)-321(B)-21(C)23(D)2(2)设全集U=1,2,3,4,5，集合M=1,4，N=1,3,5，那么N(UM)=A.1,3B.1,5C.3, 5y 1,D. 4, 5(3)假设变量 x, y 满足约束条件 x +y 0,x -y - 2 0,(A)4(B)3(C)2(D)1那么 z =x - 2y 的最大值为4各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，那么a4a5a6=22(A)5(B)7(C)6(D)4(5)(1-x)4(1-x)3 的展开式x2 的系数是(A)-6(B)-3(C)0(D)3(6)直三棱柱 ABC -A1 B1C1 中，假设 BAC = 90， AB =AC =AA1 ，那么异面直线BA1 与 AC1 所成的角等于(A)30(B)45(C)60(D)90(7)函数 f(x) =|lgx|.假设 ab且， f(a) =f (b) ，那么 a +b 的取值范围是(A)(1,+)(B)1, +) (C) (2, +)(D) 2, +)8 F 、 F 为双曲线 C: x2 -y2 =1的左、右焦点，点 P 在 C 上， FP F = 600 ，1212那么| PF1 | | PF2 |=(A)2(B)4(C)6(D)89正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为2A3B332C3D63-110设 a = log3 2,b = ln 2, c = 5 2 那么AabcBbca(C) c a b(D) c b 0的解集是.3(14)a为第二象限的角，sina=,那么tan2a= .5(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法共有种.(用数字作答)(16) F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点D ， 且BF=2FD，那么C的离心率为 .三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤17本小题总分值10分(注意：在试题卷上作答无效)记等差数列an的前n项和为Sn，设S3=12，且2a1,a2,a3+1成等比数列，求Sn.(18)(本小题总分值12分)(注意：在试题卷上作答无效)VABC 的内角 A ， B 及其对边 a ， b 满足a +b =a cot A +b cot B ，求内角C (19)(本小题总分值12分)注意：在试题卷上作答无效)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审假设能通过两位初审专家的评审， 那么予以录用；假设两位初审专家都未予通过，那么不予录用；假设恰能通过一位初审专家的评 审，那么再由第三位专家进行复审，假设能通过复审专家的评审，那么予以录用，否那么不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3 各专家独立评审(I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；(II)求投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率20本小题总分值12分注意：在试题卷上作答无效如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD底面 ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 SBC .证明：SE=2EB；求二面角 A-DE-C 的大小 .21(本小题总分值 12 分)注意：在试题卷上作答无效 函数 f (x) =3ax4 -2(3a +1)x2 +4xI当 a =1 时，求 f (x) 的极值;6II假设 f (x) 在(-1,1)上是增函数，求 a 的取值范围(22)(本小题总分值 12 分)注意：在试题卷上作答无效抛物线 C : y2 =4x 的焦点为 F，过点 K(-1, 0) 的直线l 与C 相交于 A 、 B 两点， 点 A 关于 x 轴的对称点为 D .证明：点 F 在直线 BD 上；设 FA FB =8 ，求DBDK 的内切圆 M 的方程 .9一、选择题 (1) cos 300=3(A)-(B)-1221(C)2(D)321. C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】 cos 300= cos (360- 60)= cos 60=12(2)设全集U=1,2,3,4,5，集合M=1,4，N=1,3,5，那么N(UM)=A.1,3B.1, 5C.3, 5D. 4, 52. C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解析】UM=2,3,5，N=1,3,5，那么N(UM)=1,3,52,3,5=3,5y 1,(3)假设变量 x, y 满足约束条件 x +y 0,x -y - 2 0,(A)4(B)3(C)2(D)1那么 z =x - 2y 的最大值为3. B【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域如右图，z=x-2yy=1x-1z，由图可知,当直线l经过点22A(1,-1)时，z 最大，且最大值为 zmax = 1- 2 (-1) = 3.yx +y=0A1y =xl0 : x - 2 y = 0O2xA x -y - 2 = 04各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，那么a4a5a6=22(A)5(B)7(C)6(D)44. A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等 知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知 a a a = (a a ) a =a3 = 5 ，1 2 31 3221a a a = (a a ) a =a3 =10,所以a a = 503 ,7 8 97 988281a2a82所以aaa =(aa)a =a3=()3 = (506 )3 =54 5 64 655(5)(1-x)4(1-x)3 的展开式x2 的系数是(A)-6(B)-3(C)0(D)35. A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一 些根本运算能力.-13【解析】 (1x)4 (1-x)3 =(1-4x+6x2-4x3-x4)1-3x2+3x-x2x2 的系数是-12+6=-6(6)直三棱柱 ABC -A1 B1C1 中，假设 BAC = 90， AB =AC =AA1 ，那么异面直线BA1 与 AC1 所成的角等于(A)30(B)45(C)60(D)906. C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱 ABC -A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长 CA 到 D，使得 AD =AC ，那么 ADA1C1 为平行四边形， DA1B 就是异面直线BA 与 AC 所成的角，又三角形 A DB 为等边三角形，DA B = 6001111(7)函数 f (x) =| lg x |.假设 a b 且， f (a) =f (b) ，那么 a +b 的取值范围是(A)(1,+)(B)1, +) (C) (2, +)(D) 2, +)7. C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易无视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+b= a +1 2 ,从而错选 D,这也a是命题者的用苦良心之处.【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或b=1，所以 a+b= a+1aa又 0ab,所以 0a1f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+).0 a 1【解析 2】由 0ab,且 f(a)=f(b)得： 1 bab = 10 x 1，利用线性规划得： 1 yxy = 1，化为求z=x+y的取值范围问题，z=x+yy=-x+z，y=1y=-1xx2-1过点(1,1)时 z 最小为 2,(C) (2, +)8 F 、 F 为双曲线 C: x2 -y2 =1的左、右焦点，点 P 在 C 上， FP F = 600 ，1212那么| PF1 | | PF2 |=(A)2(B)4(C)6(D)88. B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想， 通过此题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析 1】.由余弦定理得| PF |2 + | PF |2 - | F F |2cosF1 P F2=12122 | PF1 | PF2 |(PF - PF+ 2 PF PF - F F 212)2121 22 PF1 PF222 + 2 PFPF-(22)22 PF1 PF2cos600 =1=122| PF1 | | PF2 |=4332【解析 2】由焦点三角形面积公式得：2q26001011 2SDFPF=bcot= 1cot22=2PF1PF2 sin 60=2 PF1PF2| PF1 | | PF2 |=49正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为2A3B332C3D63D1A1B1DOC19. D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D到平面 ACD1的距离是解决此题的关键所在,这也是转化思想的具体表达.【解析 1】因为 BB1/DD1,所以 BB1 与平面 ACD1 所成角和 DD1与平面 ACD 所成角相等, 设 DO平面 ACD ，由等体积法得1V=V1SDO=1S1DDD-ACD1那么D1 -ACD ,即 3DACD13DACD1.设DD1=a,CABS=1 AC AD sin60=1 (2a)23=3 a2 , S=1 AD CD =1 a2 .DACD12=SD1DD =22233a=DACD22q所以 DOACD1a,记DD1与平面ACD所成角为,SDACD13a231那么sinq=DO =DD13,所以cosq=6.3332【解析2】设上下底面的中心分别为O1,O；O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1O1O OD1所成角， cosO1OD1=1/=6 3-110设 a = log3 2,b = ln 2, c = 5 2 那么AabcBbca(C) c a b(D) c b log2 e 1,所以 a2=log24log23,所以ca,综上cab.【解析2 】a=log3 2=1,b=ln2=log2 31,log2 e1log2elog232，111-1111541； c=5 2 =，ca0),APO=a,那么APB=2a，PO=， sina=11+x2PAPB=|PA|PB|cos2a=x2(1-2sin2a)=x2 (x2 -1)x2 +1，Bx4 -x2= x2 +1 ， 令 PAPB=，那么 y=x4 -x2x2+1，即 x4 - (1+y)x2 -y = 0 ，由 x2 是实数，所以22D=-(1+y)2-41(-y)0，y2+6y+10，解得y-3-2或y-3+2.2故(PAPB)min =-3 + 2.此时 x =2 -1 .q22【解析2】设APB=q,0qp，PAPB=(PA)(PB)cosq=1/tancosqcos2 q1- sin2 q1- 2sin2 qq222q=2 1-2sin2=换 元 ：x = s i n0的解集是 .13. x-2x2【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法【解析】:x - 2x2 + 3x +2 0 x -2(x+2)(x+1) 0 (x - 2)(x + 2)(x +1) 0 ，数轴标根得： x -2 x 2(14)a为第二象限的角，sina=3,那么tan2a=.514. -24【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的7正切公式,同时考查了根本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为a为第二象限的角,又sin a=3 , 所以 cosa=-4 ， tana=sina=-3 ,5所 tan(2a) = 2 tana=-245cosa41-tan2a7(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法共有种.(用数字作答)15. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论 的数学思想.【解析 1】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有C1C2种不同的选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有C2C1种不3 434同的选法.所以不同的选法共有C1C2 + C2C1 =18 +12 =30 种.【解析 2】:C3 -C3 -C3 = 303 434734(16) F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点D ， 且BF=2FD，那么C的离心率为 .【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，33考查了数形结合思想、方程思想,此题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.b2 + c2【解析1】如图，|BF|=a,yBOD1FxD作 DD1 y 轴于点 D1,那么由 BF = 2FD ，得| OF|=| BF | =2 ,所以| DD |=3 | OF |=3 c ,1|DD1 |BD|322即 xD=3c,由椭圆的第二定义得22| FD |=e( a- 3c) =a-3c2c22a又由|BF|=2|FD|,得 a=2a-3c2a, e =33x2【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式 22+y2=1，设D(x2,y2)，F分BD所成的比为2，x =0 + 2x2 x=3x=3 c;yab=b+2y2y=3yc -b =3 0 -b =-b ，代入c1+222 c2c1+ 2222239 c2 +1 b2 =1，=4a24b2e3-2022 年全国卷 1 文科数学试题答案一、选择题号题123456789101112案答CCBAACCBDCDB1.C解 析 ： 本 题 考 查 了 诱 导 公 式 以 及 特 殊 角 的 三 角 函 数值. cos300=cos(360- 60 ) = cos(-60 )=cos60=1 ，应选 C.22. C 解析：此题考查了集合的交并补运算.CUM=2,3,5,NCUM=3,5，应选C.3.B 解析：此题考查了在线性约束条件下求目标函数的最值问题，即线性规划问题.如图，画出约束条件表示的可行域，当目标函数 z =x -2y 经过 x +y = 0与 x -y - 2 = 0 的交点 A(1, -1) 时，取到最大值 3，应选 B.Ox-y-2=0yy=1xAZ=x-2yx+y=01 2 37 8 954. A 解析：此题考查了 等比数列的性质 .(a a a ) (a a a ) =a 6 = 50 ，2a a a =a 3=5，选 A.4 5 655A解析：此题考查了二项式定理.(1-x)4展开式的通项为T=Cr (-x)r =(-1)r Cr xr，r+144(1-rx)3展开式的通项为T=Cr(-x)r=(-1)rCrx2，因此，(1-x)4(1-x)3 展开r+133r+rr43式的各项为(-1)r (-1)r Cr Cr x2，当r+=2时有r=2且r=0或r=1且r=22两种情况，因此展开式中 x2 的系数为6 + (-12) =-6 ，选 A.6.C解析：此题考查了立体几何中异面直线所成角的求法.延长 CA至点 M，使 AM=CA，那么A1M/C1A, MA1B或其补角为异面直线 BA1与 AC1所成角，连结 BM， 由 DBMA1为等边三角形，得异面直线 BA1 与 AC1 所成的角为 60 ，选 C.7.C 解析：此题考查了对数函数图像性质， 对数式的运算性质，以及均值定理.不妨设0 a 1 ，应选C.a8. B解析：此题考查了双曲线焦点三角形的有关结论.由双曲线焦点三角形面积公式得=3S=b2 cotq= 1cot 30，S=1|PF|PF|sin60，=3DF1PF22DF1PF2212| PF1 | | PF2 |= 4 ，选 B.9. D解析：此题考查了立体几何中线面角的求法.BB1 与平面 ACD1 所成角等于 DD1 与平面 ACD1 所成角,在三棱锥 D -ACD1 中，由三条侧棱两两垂直得点 D 在底面 ACD1 内的射影为等边 DACD1 的垂心即中心 H，那么6 aDDH1为 DD1 与平面 ACD1 所成角,设正方体棱长为a,那么cosDDH=3=6，应选 D.1a310.C 解析：此题考查了代数式大小比较的方法 .a = l o3g=l n 22l n 3l=nb ，又-111153c = 52 = log32=，因此 cab，应选 C.211.D 解析：此题考查了向量数量积的定义运算，考查了最值的求法，考查了圆的切线性质.设|PA|=|PB|=x1，APB =q,那么tanq=，cosq=x2 -1，那么PA PB = x2x2 -1x-4x2xx2+1x2 +1 =x2 +1=(x2 +1)2 - 3(x2 +1) + 2x2 +1=x2+1+2-32 2-3，当且仅当x2+1=，即2x2 +1x2=2-1时，取“=，故PAPB的最小值为22-3，应选D.12.B 解析：此题考查了球和多面体的组合体问题，考查了空间想象能力.如图，过 OCD 三点作球的截面，交 AB 于点 M，由条件知， DOAB 、DOCD 均为边长为 2 的等边三角形，MO设 M 到 CD 的距离为 h ，A 到面 MCD 的距离为 h1 ，B 到面 MCD 的距离为 h2 ，V=V+V=1S(h+h)=11CDh(h+h)A那么A-BCDA-MCDB-MCD3 DMCD12321 112，因此，4 3D当 AB面 MCD 时，二、填空题VA-BCD =22 3(1+1)=最大，应选B.B3 2313. x|-2x 2.解析：此题考查了分式不等式以及高次不等式的解C法.由x-2 0 x-2 0 (x +1)(x + 2)(x - 2) 0 ，解集x2 + 3x+2(x+1)(x+2)为：x | -2 x 2.14.-247解析：此题考查了同角三角函数的关系，二倍角公式以及两角和差的三角函数公式.由 sin a=3 ，且a为第二象限角得 cosa=-4 ，得 tan a=-3 ， tan 2a=-24 .55471530 解析：此题考查了排列组合知识.分两类，A 类选修课 1 门，B 类选修课 2 门，或者3434A 类选修课 2 门，B 类选修课 1 门，因此，共有 C2 C1 +C1 C2 = 30 种选法.316.3解析：此题考查了椭圆离心率的求解策略.不妨设椭圆 C 焦点在 x 轴上，中心在原点，B 点为椭圆上顶点，F 为右焦点，那么由 BF = 2FD ,得 D 点到右准线的距离是 B 点到右a2准线距离的一半，那么D点横坐标xD=2c，由BF=2FD知，F分BD所成比为2，由定32a0 +2a2比分点坐标公式得c= 2c=1+23c，得3c2 =a2，得e=.3三解答题：本大题共 6 小题，共70 分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤17本小题总分值10分(注意：在试题卷上作答无效)记等差数列an的前n的和为Sn，设S3=12，且2aa,a2,a3+1成等比数列，求Sn.17.解析：设数列an的公差d， S3 = 12 ，且 2a1, a2 , a3 +1成等比数列， a+a+a=12且 2a(a+1) =a 2 ,123从而有 a1 +d = 41322a (a +2d) = (a +d)2,111由解得 a1 = 1, d = 3 ，或 a1 = 8, d =-4所 以 Sn=1n(3n-1) ，或 S2n= 2n(5 -n)(18)(本小题总分值12分)(注意：在试题卷上作答无效)VABC 的内角 A ， B 及其对边 a ， b 满足 a +b =a cot A +b cot B ，求内角C 18、解：由 a + b =a cot A +b cot B 及正弦定理得sinA+sinB=cosA+cosB,sinA-cosA=cosB-sinB,ppp从而s i nA cos-cAoss=inB c o s-sinBs，444sin( A -p) = sin(p-B) .44又0 A +B ppp故A-=-B44A +B =p,2所以C =p.2(19)(本小题总分值12分)注意：在试题卷上作答无效)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审假设能通过两位初审专家的评审， 那么予以录用；假设两位初审专家都未予通过，那么不予录用；假设恰能通过一位初审专家的评 审，那么再由第三位专家进行复审，假设能通过复审专家的评审，那么予以录用，否那么不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为05，复审的稿件能通过评审的概率为03各专家独立评审(I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；(II)求投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率19、解：()记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用.那么D=A+BC,P(A) = 0.50.5 = 0.25, P(B) = 20.50.5 = 0.5, P(C) = 0.3,C)P(D) =P(A +BC)= P(A) +P(B= P(A) +P(B)P(C)=0.25+0.50.3=0.40.()记 E表示事件： 4 篇稿件中恰有 0 篇被录用；F表示事件： 4 篇稿件中恰有 1 篇被录用；G表示事件： 4 篇稿件中之多 1 篇被录用；H 表示事件： 4 篇稿件中至少有 2 篇被录用.P(E) = (1- 0.4)4 = 0.1296,4P(F) =C1 0.4 (1- 0.4)3 = 0.3456,G=E+FP(G) =P(E) +P(F) =0.1296+0.3456=0.4752P(H ) = 1-P(G) =1-0.4752=0.5248.投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率为 0.524820本小题总分值12分注意：在试题卷上作答无效如图，四棱锥 S-ABCD中，SD底面 ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱 SB上的一点，平面EDC 平面 SBC .证明：SE=2EB；求二面角 A-DE-C 的大小 .20解法一：()连接 BD,取 DC 的中点 G，连接 BG,由此知BC BD.DG =GC =BG = 1, 即 DABC 为直角三角形，故又 SD平面ABCD,故BCSD,所以， BC平面BDS,BCDE.作 BK EC,K为垂足，因平面EDC 平面SBC ，故 BK 平面EDC,BK DE, DE与平面SBC 内的两条相交直线 BK、BC都垂直.DE 平面SBC,DE EC,DE SBSD2 + DB2SB =DE =6,SD DB = 2SB3,EB =所以， SE = 2EB .() 由 SA =AE =6 , SE =SB -EB =2 6,DB2 - DE233SD2 + AD2=5, AB=1, SE=2EB, ABSA, 知 1 3 SA + 3 AB 2 22= 1, 又AD=1.故 DADE 为等腰三角形.AD2 - DF 26取ED中点F,连接AF,那么AFDE,AF=.3连接 FG ，那么 FG / /EC, FG DE .所以， AFG 是二面角 A -DE -C 的平面角.连接 AG,AG=,FG=,2DG2 - DF 263AF 2 +FG2-AG21cosAFG=-,2AFFG2所以，二面角 A -DE -C 的大小为 120. 解法二：以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立如下列图的直角坐标系 D -xyz ， 设 A(1,0,0)，那么 B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0