2022年四川省自贡市中考数学试卷.docx

2022年四川省自贡市中考数学试卷
一.选择题〔共12个小题，每题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1．〔4分〕计算〔﹣1〕2022的结果是〔　　〕
A．﹣1 B．1 C．﹣2022 D．2022
2．〔4分〕以下成语描述的事件为随机事件的是〔　　〕
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼
3．〔4分〕380亿用科学记数法表示为〔　　〕

4．〔4分〕不等式组的解集表示在数轴上正确的选项是〔　　〕
A． B． C． D．
5．〔4分〕如图，a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC，∠1=35°，那么∠2=〔　　〕
A．45° B．50° C．55° D．60°
6．〔4分〕以下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
7．〔4分〕对于一组统计数据3，3，6，5，3．以下说法错误的选项是〔　　〕
A．众数是3 B．平均数是4 C．方差是1.6 D．中位数是6
8．〔4分〕下面是几何体中，主视图是矩形的〔　　〕
A． B． C． D．
9．〔4分〕以下四个命题中，其正确命题的个数是〔　　〕
①假设a＞b，那么＞； ②垂直于弦的直径平分弦；③平行四边形的对角线互相平分；④反比例函数y=，当k＜0时，y随x的增大而增大．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．〔4分〕AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，假设∠P=40°，那么∠B等于〔　　〕
A．20° B．25° C．30° D．40°
11．〔4分〕填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为〔　　〕
A．180 B．182 C．184 D．186
12．〔4分〕一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=〔k1•k2≠0〕的图象如下列图，假设y1＞y2，那么x的取值范围是〔　　〕
A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1 C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
二、填空题〔共6小题，每题4分，总分值24分〕
13．〔4分〕计算〔﹣〕﹣1=．
14．〔4分〕在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；假设AM=1，MB=2，BC=3，那么MN的长为．
15．〔4分〕我国明代数学家程大位的名著 直接算法统宗 里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁〞意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人设大、小和尚各有x，y人，那么可以列方程组．
16．〔4分〕圆锥的底面周长为6πcm，高为4cm，那么该圆锥的全面积是；侧面展开扇形的圆心角是．
17．〔4分〕如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=，那么AD=．
18．〔4分〕如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如下列图的网格中〔网格的边长为1〕中，用直尺作出这个大正方形．
三、解答题〔共8个题，共78分〕
19．〔8分〕计算：4sin45°+|﹣2|﹣+〔〕0．
20．〔8分〕先化简，再求值：〔a+〕÷，其中a=2．
21．〔8分〕如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．
求证：∠ABF=∠CBE．
22．〔8分〕两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如下列图，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．〔不要求写作法，保存作图痕迹．〕
23．〔10分〕某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，答复以下问题：
〔1〕本次调查学生共 人，a=，并将条形图补充完整；
〔2〕如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步〞这种活动的学生约有多少人
〔3〕学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步〞和“跳绳〞的概率．
24．〔10分〕【探究函数y=x+的图象与性质】
〔1〕函数y=x+的自变量x的取值范围是；
〔2〕以下四个函数图象中函数y=x+的图象大致是；
〔3〕对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．
请将以下的求解过程补充完整．
解：∵x＞0
∴y=x+=〔〕2+〔〕2=〔﹣〕2+
∵〔﹣〕2≥0
∴y≥．
[拓展运用]
〔4〕假设函数y=，那么y的取值范围．
25．〔12分〕如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A〔﹣1，0〕，点B〔0，〕．
〔1〕求∠BAO的度数；
〔2〕如图1，将△AOB绕点O顺时针旋转得△A′OB′，当A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S1，△BA′O的面积为S2，S1与S2有何关系为什么
〔3〕假设将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗证明你的判断．
26．〔14分〕抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A〔x1，0〕，B〔x2，0〕〔0＜x1＜x2〕两点，与y轴交于点C．
〔1〕设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；
〔2〕在〔1〕中，假设点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
〔3〕是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．
2022年四川省自贡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题〔共12个小题，每题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1．〔4分〕〔2022•自贡〕计算〔﹣1〕2022的结果是〔　　〕
A．﹣1 B．1 C．﹣2022 D．2022
【分析】直接利用有理数的乘方性质得出答案．
【解答】解：〔﹣1〕2022=﹣1，
应选A．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方，正确掌握：﹣1的奇数次方为﹣1，﹣1的偶数次方为1是解题关键．
2．〔4分〕〔2022•自贡〕以下成语描述的事件为随机事件的是〔　　〕
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【解答】解：水涨船高是必然事件，A不正确；
守株待兔是随机事件，B正确；
水中捞月是不可能事件，C不正确
缘木求鱼是不可能事件，D不正确；
应选：B．
【点评】此题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．〔4分〕〔2022•自贡〕380亿用科学记数法表示为〔　　〕

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于380亿有11位，所以可以确定n=11﹣1=10．

应选：D．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
4．〔4分〕〔2022•自贡〕不等式组的解集表示在数轴上正确的选项是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，然后根据大小小大中间找确定解集，再利用数轴画出解集即可．
【解答】解：，
解①得：x＞1，
解②得：x≤2，
不等式组的解集为：1＜x≤2，
在数轴上表示为，
应选：C．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及把每个不等式的解集在数轴上表示出来〔＞，≥向右画；＜，≤向左画〕，在表示解集时“≥〞，“≤〞要用实心圆点表示；“＜〞，“＞〞要用空心圆点表示．
5．〔4分〕〔2022•自贡〕如图，a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC，∠1=35°，那么∠2=〔　　〕
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】先根据∠1=35°，a∥b求出∠3的度数，再由AB⊥BC即可得出答案．
【解答】解：∵a∥b，∠1=35°，
∴∠3=∠1=35°．
∵AB⊥BC，
∴∠2=90°﹣∠3=55°．
应选C．
【点评】此题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．
6．〔4分〕〔2022•自贡〕以下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意．
应选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．
7．〔4分〕〔2022•自贡〕对于一组统计数据3，3，6，5，3．以下说法错误的选项是〔　　〕
A．众数是3 B．平均数是4 C．方差是1.6 D．中位数是6
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，利用平均数和方差的定义可分别求出．
【解答】解：A、这组数据中3都出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为3，此选项正确；
B、由平均数公式求得这组数据的平均数为4，故此选项正确；
C、S2=[〔3﹣4〕2+〔3﹣4〕2+〔6﹣4〕2+〔5﹣4〕2+〔3﹣4〕2]=1.6，故此选项正确；
D、将这组数据按从大到小的顺序排列，第3个数是3，故中位数为3，故此选项错误；
应选：D．
【点评】此题考查了统计学中的平均数，众数，中位数与方差的定义．解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选．
8．〔4分〕〔2022•自贡〕下面是几何体中，主视图是矩形的〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】先得到相应的几何体，找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形，符合题意；
B、球体的主视图为圆，不合题意；
C、圆锥的主视图为三角形，不合题意；
D、圆台的主视图为等腰梯形，不合题意．
应选：A．
【点评】此题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
9．〔4分〕〔2022•自贡〕以下四个命题中，其正确命题的个数是〔　　〕
①假设a＞b，那么＞； ②垂直于弦的直径平分弦；③平行四边形的对角线互相平分；④反比例函数y=，当k＜0时，y随x的增大而增大．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据不等式的性质、垂径定理、平行四边形的性质、反比例函数的性质进行判断即可．
【解答】解：①假设a＞b，那么＞；不正确；
②垂直于弦的直径平分弦；正确；
③平行四边形的对角线互相平分；正确；
④反比例函数y=，当k＜0时，y随x的增大而增大；不正确．
其中正确命题的个数为2个，
应选：B．
【点评】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．〔4分〕〔2022•自贡〕AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，假设∠P=40°，那么∠B等于〔　　〕
A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】由切线的性质得：∠PAB=90°，根据直角三角形的两锐角互余计算∠POA=50°，最后利用同圆的半径相等得结论．
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAB=90°，
∵∠P=40°，
∴∠POA=90°﹣40°=50°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO=25°，
应选B．
【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径是关键．
11．〔4分〕〔2022•自贡〕填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为〔　　〕
A．180 B．182 C．184 D．186
【分析】利用数据的规律进而得出最后表格中数据，进而利用数据之间关系得出m的值．
【解答】解：由前面数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9，
可得最后一个三个数分别为：11，13，15，
∵3×5﹣1=14，；
5×7﹣3=32；
7×9﹣5=58；
∴m=13×15﹣11=184．
应选：C．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，正确得出表格中数据是解题关键．
12．〔4分〕〔2022•自贡〕一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=〔k1•k2≠0〕的图象如下列图，假设y1＞y2，那么x的取值范围是〔　　〕
A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1 C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
【分析】直接利用两函数图象的交点横坐标得出y1＞y2时，x的取值范围．
【解答】解：如下列图：
假设y1＞y2，那么x的取值范围是：x＜﹣2或0＜x＜1．
应选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确利用函数图象分析是解题关键．
二、填空题〔共6小题，每题4分，总分值24分〕
13．〔4分〕〔2022•自贡〕计算〔﹣〕﹣1=　﹣2　．
【分析】根据幂的负整数指数运算法那么进行计算即可．
【解答】解：原式==﹣2，
故答案为﹣2．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算，比较简单．
14．〔4分〕〔2022•自贡〕在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；假设AM=1，MB=2，BC=3，那么MN的长为　1　．
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，即，
∴MN=1，
故答案为：1．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
15．〔4分〕〔2022•自贡〕我国明代数学家程大位的名著 直接算法统宗 里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁〞意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人设大、小和尚各有x，y人，那么可以列方程组．
【分析】分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式得出答案．
【解答】解：设大、小和尚各有x，y人，那么可以列方程组：
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
16．〔4分〕〔2022•自贡〕圆锥的底面周长为6πcm，高为4cm，那么该圆锥的全面积是　24π　；侧面展开扇形的圆心角是　216°　．
【分析】根据底面周长可求得底面半径，由勾股定理求出母线长〔扇形的半径〕，进而可求得圆锥的全面积，根据扇形的弧长公式求出侧面展开扇形的圆心角度数即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，侧面展开扇形的圆心角为n°；
∵圆锥的底面周长为2πr=6πcm，
∴r=3，
∵圆锥的高为4cm，
∴R==5〔cm〕，
∴圆锥的全面积=底面积+侧面积=π×32+×6π×5=24π，
∵侧面展开扇形的弧长l=底面周长=6π=，
∴n==216，
即侧面展开扇形的圆心角是216°；
故答案为：24π，216°．
【点评】此题考查了圆锥的计算、勾股定理、弧长公式；解决此题的关键是根据底面周长得到圆锥的底面半径和母线长．
17．〔4分〕〔2022•自贡〕如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=，那么AD=　4　．
【分析】只要证明AD=BC，在Rt△BCD中求出BC即可解决问题．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=30°，
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，∠ABD=60°，
∴∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠CBD，
∴==，
∴=，
∴AD=CB，
∵∠BCD=90°，
∴BC=CD•tan60°=•=4，
∴AD=BC=4．
故答案为4．
【点评】此题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、含30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
18．〔4分〕〔2022•自贡〕如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如下列图的网格中〔网格的边长为1〕中，用直尺作出这个大正方形．
【分析】直接根据阴影局部面积得出正方形边长，进而得出答案．
【解答】 解：如下列图：所画正方形即为所求．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确得出正方形边长是解题关键．
三、解答题〔共8个题，共78分〕
19．〔8分〕〔2022•自贡〕计算：4sin45°+|﹣2|﹣+〔〕0．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及结合零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：4sin45°+|﹣2|﹣+〔〕0
=4×+2﹣2+1
=2﹣2+3
=3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．〔8分〕〔2022•自贡〕先化简，再求值：〔a+〕÷，其中a=2．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分即可得到结果．
【解答】解：〔a+〕÷，
=〔+〕÷，
=[+]，
=，
=，
=；
当a=2时，原式==3．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
21．〔8分〕〔2022•自贡〕如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．
求证：∠ABF=∠CBE．
【分析】根据菱形的性质可得AB=BC，∠A=∠C，再证明△ABF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵在△ABF和△CBE中，，
∴△ABF≌△CBE〔SAS〕，
∴∠ABF=∠CBE．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
22．〔8分〕〔2022•自贡〕两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如下列图，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．〔不要求写作法，保存作图痕迹．〕
【分析】根据角平分线的性质可知：到CD和CE的距离相等的点在∠ECD的平分线上，所以第一步作：∠ECD的平分线CF；
根据中垂线的性质可知：到A，B的距离相等的点在AB的中垂线上，所以第二步：作线段AB的中垂线MN，
其交点就是P点．
【解答】解：作法：①作∠ECD的平分线CF，
②作线段AB的中垂线MN，
③MN与CF交于点P，那么P就是山庄的位置．
【点评】此题考查了应用与设计作图，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，角平分线的作法是解题的关键．
23．〔10分〕〔2022•自贡〕某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，答复以下问题：
〔1〕本次调查学生共　300　 人，a=　10　，并将条形图补充完整；
〔2〕如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步〞这种活动的学生约有多少人
〔3〕学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步〞和“跳绳〞的概率．
【分析】〔1〕用A类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数，再用1分别减去A、C、D类的百分比即可得到a的值，然后用a%乘以总人数得到B类人数，再补全条形统计图；
〔2〕用2000乘以A类的百分比即可．
〔3〕画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出每班所抽到的两项方式恰好是“跑步〞和“跳绳〞的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：〔1〕120÷40%=300，
a%=1﹣40%﹣30%﹣20%=10%，
∴a=10，
10%×300=30，
故答案为：300，10；图形如下：
〔2〕2000×40%=800〔人〕，
答：估计该校选择“跑步〞这种活动的学生约有800人；
〔3〕画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步〞和“跳绳〞的结果数为2，
所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步〞和“跳绳〞的概率==．
【点评】此题考查的是统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
24．〔10分〕〔2022•自贡〕【探究函数y=x+的图象与性质】
〔1〕函数y=x+的自变量x的取值范围是　x≠0　；
〔2〕以下四个函数图象中函数y=x+的图象大致是　C　；
〔3〕对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．
请将以下的求解过程补充完整．
解：∵x＞0
∴y=x+=〔〕2+〔〕2=〔﹣〕2+　4　
∵〔﹣〕2≥0
∴y≥　4　．
[拓展运用]
〔4〕假设函数y=，那么y的取值范围　y≥1或y≤﹣11　．
【分析】根据反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质解答即可．
【解答】解：〔1〕函数y=x+的自变量x的取值范围是x≠0；
〔2〕函数y=x+的图象大致是C；
〔3〕解：∵x＞0
∴y=x+=〔〕2+〔〕2=〔﹣〕2+4
∵〔﹣〕2≥0
∴y≥4．
〔4〕①当x＞0，y==x+﹣5═〔〕2+〔〕2﹣5=〔﹣〕2+1
∵〔﹣〕2≥0，
∴y≥1．
②x＜0，y==x+﹣5═﹣[〔〕2+〔〕2+5]=﹣〔﹣〕2﹣11=
∵﹣〔﹣〕2≤0，
∴y≤﹣11．
故答案为：x≠0，C，4，4，y≥1或y≤﹣11，
【点评】此题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质，熟记函数的性质是解题的关键．
25．〔12分〕〔2022•自贡〕如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A〔﹣1，0〕，点B〔0，〕．
〔1〕求∠BAO的度数；
〔2〕如图1，将△AOB绕点O顺时针旋转得△A′OB′，当A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S1，△BA′O的面积为S2，S1与S2有何关系为什么
〔3〕假设将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗证明你的判断．
【分析】〔1〕先求出OA，OB，再用锐角三角函数即可得出结论；
〔2〕根据等边三角形的性质可得AO=AA'，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AO=AB，然后求出AO=OA'，再根据等边三角形的性质求出点O到AB的距离等于点A'到AO的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
〔3〕方法1、根据旋转的性质可得BO=OB'，AA'=OA'，再求出∠AON=∠A'OM，然后利用“角角边〞证明△AON和△A'OM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=A'M，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．
方法2、利用三角形的中线判断出S△AOB'=S△B'OC，再判断出△A'OB≌△COB'，即S△A'OB=S△COB'，即可．
【解答】解：〔1〕∵A〔﹣1，0〕，B〔0，〕，
∴OA=1，OB=，
在Rt△AOB中，tan∠BAO==，
∴∠BAO=60°；
〔2〕∵∠BAO=60°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴CA'=AC=AB，
∴OA'=AA'=AO，
根据等边三角形的性质可得，△AOA'的边AO、AA'上的高相等，
∴△BA'O的面积和△AB'O的面积相等〔等底等高的三角形的面积相等〕，
即S1=S2，
〔3〕S1=S2不发生变化；
方法1、理由：如图，过点'作A'M⊥OB．过点A作AN⊥OB'交B'O的延长线于N，
∵△A'B'O是由△ABO绕点O旋转得到，
∴BO=OB'，AO=OA'，
∵∠AON+∠BON=90°，∠A'OM+∠BON=180°﹣90°=90°，
∴∠AON=∠A'OM，
在△AON和△A'OM中，，
∴△AON≌△A'OM〔AAS〕，
∴AN=A'M，
∴△BOA'的面积和△AB'O的面积相等〔等底等高的三角形的面积相等〕，
即S1=S2．
方法2、如图2，
在x轴正半轴上取一点C，使OC=OA，连接B'C，
∴S△AOB'=S△B'OC，
由旋转知，AO'=AO，BO=B'O，
∴OC=OA'
∵∠BOC=∠A'OB'=90°，
∴∠A'OB=∠COB'，
∴△A'OB≌△COB'，
∴S△A'OB=S△COB'，
∴S△A'OB=S△AOB'，
即S1=S2
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形的面积计算公式，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质的综合应用，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键．
26．〔14分〕〔2022•自贡〕抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A〔x1，0〕，B〔x2，0〕〔0＜x1＜x2〕两点，与y轴交于点C．
〔1〕设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；
〔2〕在〔1〕中，假设点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
〔3〕是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．
【分析】〔1〕由tan∠ABC=4，可以假设B〔m，0〕，那么A〔m﹣2，0〕，C〔0，4m〕，可得抛物线的解析式为y=4〔x﹣m〕〔x﹣m+2〕，把C〔0，4m〕代入y=4〔x﹣m〕〔x﹣m+2〕，求出m的值即可解决问题；
〔2〕设P〔m，4m2﹣16m+12〕．作PH∥OC交BC于H，根据S△PBC=S△PHC+S△PHB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题；
〔3〕不存在．假设存在，由题意由题意可知，且1＜﹣＜2，首先求出整数a的值，代入不等式组，解不等式组即可解决问题．
【解答】解：〔1〕∵tan∠ABC=4
∴可以假设B〔m，0〕，那么A〔m﹣2，0〕，C〔0，4m〕，
∴可以假设抛物线的解析式为y=4〔x﹣m〕〔x﹣m+2〕，
把C〔0，4m〕代入y=4〔x﹣m〕〔x﹣m+2〕，得m=3，
∴抛物线的解析式为y=4〔x﹣3〕〔x﹣1〕，
∴y=4x2﹣16x+12，
〔2〕如图，设D〔m，4m2﹣16m+12〕．作DH∥OC交BC于H．
∵B〔3，0〕，C〔0，12〕，
∴直线BC的解析式为y=﹣4x+12，
∴H〔m，﹣4m+12〕，
∴S△DBC=S△DHC+S△DHB=•〔﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12〕•3=﹣6〔m﹣〕2+，
∵﹣6＜0，
∴m=时，△DBC面积最大，
此时D〔，﹣3〕．
〔3〕不存在．
理由：假设存在．由题意可知，
且1＜﹣＜2，
∴4＜a＜8，
∵a是整数，
∴a=5 或6或7，
当a=5时，代入不等式组，不等式组无解．
当a=6时，代入不等式组，不等式组无解．
当a=7时，代入不等式组，不等式组无解．
综上所述，不存在整数a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立．
【点评】此题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积，不等式组等整数，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，学会利用不等式组解决问题，属于中考压轴题．