2022年高考数学一轮复习热点难点精讲精析52数列综合应用.docx

2022年高考一轮复习热点难点精讲精析：
5.2数列综合应用
一、数列求和
〔一〕分组转化求和
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1、数列求和应从通项入手，假设无通项，那么先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之；
2、常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；
(2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解；
(3)an＝bn±cn或数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和.
注：应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值。
※例题解析※
【例】(1)数列:那么其前n项和Sn=__________.
(2)
①求数列{an}的前10项和S10;
②求数列{an}的前2k项和S2k.
【方法诠释】(1)先求数列的通项公式，再根据通项公式分组求和.
(2)把奇数项和偶数项分开求和.
解析：(1)∵
答案:
(2)①S10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25)
②由题意知,数列{an}的前2k项中,k个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k个偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列.
∴S2k=［6+16+…+(10k-4)］+(2+22+…+2k)
〔二〕错位相减法求和
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1、一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法；
2、用错位相减法求和时，应注意
〔1〕要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
〔2〕在写出“〞与“〞的表达式时应特别注意将两式“错项对齐〞以便下一步准确写出的-的表达式。
3、利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和，假设公比是个参数〔字母〕，那么应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和。
※例题解析※
〖例〗数列满足是首项为1，公比为a的等比数列。
〔1〕求；
〔2〕如果a=2,，求数列的前n项和。
思路解析：〔1〕根据题意得到表达式，再用累加法求通项；〔2〕利用错位相减法求和。
解答：〔1〕由，当n≥2时，，
∴
①当a=1时，;
②当a≠1时，，
∴
〔2〕
……………………………………………………………①
那么…………………………………………②
①-②，得
〔三〕裂项相消求和
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1、利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等；
2、一般情况如下，假设是等差数列，那么，，此外根式在分母上可考虑利用有理化因式相消求和。
3、常见的拆项公式有：
〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
〔5〕
※例题解析※
【例】〔2022·大连模拟〕数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn,且满足4Sn=(an+1)2，
(1)求{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的最小值.
【方法诠释】(1)利用Sn+1-Sn=an+1寻找an+1与an的关系.
(2)先用裂项法求Tn,再根据数列{Tn}的单调性求最小值.
解析：(1)因为(an+1)2=4Sn,
所以
所以
即
∴2(an+1+an)=(an+1+an)·(an+1-an).
因为an+1+an≠0，所以an+1-an=2，即{an}为公差等于2的等差数列.
由(a1+1)2=4a1，解得a1=1,所以an=2n-1.
(2)由(1)知
∴Tn=b1+b2+…+bn
∴Tn+1＞Tn，∴数列{Tn}为递增数列,
∴Tn的最小值为
〔四〕数列求和的综合应用
〖例〗设数列满足，
〔1〕求数列的通项公式；
〔2〕设，，，求数列的前n项和；
〔3〕假设
思路解析：〔1〕通过条件递推变形，构造等比数列或用迭代法求解；〔2〕利用错位相减法求；〔3〕利用反证法证明。
解答：〔1〕方法一：由题意，，∴当a≠1时，
∴当a=1时，仍满足上式。∴数列的通项公式为。
方法二：
〔2〕
〔3〕由〔1〕知。假设，那么。∵，∴。由对任意成立，知c>0.下证c≤1.用反证法。
方法一：假设c>1.由函数f(x)=的函数图象知，当n趋于无穷大时，趋于无穷大。∴不能对恒成立，导致矛盾。∴c≤1, ∴o< c≤1.
注：数列综合问题、数列通项、数列求和从近几年高考看考查力度非常大，常以解答题形式出现，同时数列与三角函数、解析几何以及不等式证明问题相结合更是高考考查的重点。本例既考查了数列通项，又考查了数列求和，同时也考查了不等式的证明，解题时注意分类讨论思想的应用。
二、数列的综合应用
〔一〕等差、等比数列的综合问题
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1、等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点；
2、利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值。同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解。
※例题解析※
〖例1〗数列{an}为等差数列，且a1=1,{bn}为等比数列，数列{an+bn}的前三项依次为3,7,13.求
(1)数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)数列{an+bn}的前n项和Sn.
解答：思路解析：根据条件设出等差数列的公差，等比数列的首项和公比，然后根据条件列出方程组求解，在解决第二问时可以考虑等差数列和等比数列分组求和.
(1)设{an}的公差为d,{bn}的首项为b1,公比为q,
根据条件可得
∴an=2n-1,bn=2n.
(2)由于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，所以数列{an+bn}的前n项和Sn可以表示为
Sn=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=n2+2n+1-2.
〖例2〗〔本小题总分值12分〕
在数列中，，，且〔〕．
〔Ⅰ〕设〔〕，证明是等比数列；
〔Ⅱ〕求数列的通项公式；
〔Ⅲ〕假设是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．
思路解析：〔1〕利用等比数列的定义证明；
〔2〕利用的通项公式，累加法求；
〔3〕利用等差中项公式
解答：〔Ⅰ〕证明：由题设〔〕，得
，即，．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
〔Ⅱ〕解法：由〔Ⅰ〕
，
，
……
，〔〕．
将以上各式相加，得〔〕．
所以当时，
上式对显然成立．
〔Ⅲ〕解：由〔Ⅱ〕，当时，显然不是与的等差中项，故．
由可得，由得，　①
整理得，解得或〔舍去〕．于是．
另一方面，，
．
由①可得，．
所以对任意的，是与的等差中项．
〔二〕以等差数列为模型的实际应用
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1、解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化。然后用等差数列知识求解。这其中表达了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。
2、解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：
从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：
※例题解析※
〖例〗气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止,一共使用了多少天
思路解析:列出平均耗资转化为可利用根本不等式的形式利用根本不等式求解得出结论
解答:由第n 天的维修保养费为,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值.设一共使用了n天那么使用n天的平均耗资为
，
当且仅当时,取得最小值,此时n=800.
答:一共使用了800天.
(三)以等比数列为模型的实际应用
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1、函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出假设干项，逐步探索数列通项或前n项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用。

※例题解析※
〖例〗我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储藏金制度，公民在就业的第一年交纳养老储藏金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此，历年所交纳的储藏金数目是一个公差为d 的等差数列。与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定利率为r(r>0),那么，在第n年末，第一年所交纳的储藏金就变为，第二年所交纳的储藏金就变为以表示到第n年所累计的储藏金总额。
〔1〕写出与〔n≥2〕的递推关系式；
〔2〕求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列。
思路解析：〔1〕中关系式容易列出；〔2〕中利用与，与…的关系以此类推，逐步得的表达式，再利用错位相减法求得，即不难得出与
解答：〔1〕由题意可得：
〔2〕反复使用上述关系式，得
在①式两端同乘1+r，得
〔四〕数列与解析几何、不等式的综合应用
〖例1〗知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．
〔1〕求数列的通项公式；
〔2〕证明：.
解答：〔1〕设直线：，联立得，那么，∴〔舍去〕
，即，∴
〔2〕证明：∵
∴
由于，可令函数，那么，令，得，给定区间，那么有，那么函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，
那么有，即.
注：数列、解析几何、不等式是高考的重点内容，将三者综合在一起，强强联合命题大型综合题是历年高考的热点和重点。数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景的数列的综合问题表达了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，而一直成为高考命题者的首选。

〖例2〗点〔1，〕是函数且〕的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+〔〕.
〔1〕求数列和的通项公式；
〔2〕假设数列{前项和为，问>的最小正整数是多少
解答：〔1〕,
,,
.
又数列成等比数列， ，所以 ；
又公比，所以 ；
又,, ；
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，
当， ；
()；
〔2〕
；
由得，满足的最小正整数为112.
注：数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①函数条件，解决数列问题。此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②数列条件，解决函数问题。解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形。