2023版高考数学一轮复习核心素养测评八幂函数与二次函数苏教版.doc

核心素养测评八 幂函数与二次函数
(25分钟　50分)
一、选择题(每题5分,共35分)
1.幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,那么n的值为 (　　)
A.-3 B.1 C.2 D.1或2
【解析】选B.由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1符合题意.
2. (2023·镇江模拟)幂函数f(x)=xα,当x>1时,恒有f(x)<x,那么α的取值范围是 (　　)
A.(0,1) B.(-∞,1)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)
【解析】选B.当x>1时,恒有f(x)<x,即当x>1时,函数f(x)=xα的图象在y=x的图象的下方,由幂函数的图象与性质可判断α<1时满足题意.
3.(2023·唐山模拟)二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,假设f(a)≥f(0),那么实数a的取值范围是 (　　)
A.[0,+∞) B.(-∞,0]
C.[0,4] D.(-∞,0]∪[4,+∞)
【解析】选C.由f(2+x)=f(2-x)可知,函数f(x)图象的对称轴为x==2,又函数f(x)在[0,2]上单调递增,所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.
4.a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.假设f(0)=f(4)>f(1),那么 (　　)
A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0
【解析】选A.由f(0)=f(4)得f(x)=ax2+bx+c的对称轴为x=-=2,所以4a+b=0,又f(0)>f(1),所以f(x)先减后增,于是a>0.
5.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是 (　　)
【解析】选D.由A,C,D知,f(0)=c<0.因为abc>0,所以ab<0,所以对称轴x=->0,知A、C错误,D符合要求.由B知f(0)=c>0,所以ab>0,所以x=-<0,B错误.
6.(2023·南昌模拟)正实数a,b,c满足loga2=2,log3b=,c6=,那么a,b,c的大小关系是 (　　)
A.a<b<c B. a<c<b
C.c<b<a D. b<a<c
【解析】选B.由题得a2=2,所以a6=8,b=,所以b6=32=9,因为8<<9,a,b,c都是正数,所以a<c<b.
7.(多项选择)(2023·西安模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一局部,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:
①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.
其中正确的选项是 (　　)
A.① B.② C.③ D.④
【解析】选A、D.因为图象与x轴交于不同的两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确.对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误.
结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误.
由对称轴为x=-1知,b=2a.
又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.
二、填空题(每题5分,共15分)
8.假设幂函数y=mxn(m,n∈R)的图象经过点,那么n=________. 
【解析】由题意可得解得n=-.
答案:-
9.假设f(x)=xα是幂函数,且满足=3,那么f=________.  
【解析】因为f(x)=xα,那么有=3,解得2α=3,α=log23,
所以f=====.
答案:
10.函数f(x)=其中c>0.那么f(x)的零点是________;假设f(x)的值域是,那么c的取值范围是________.
【解析】当0≤x≤c时,由=0得x=0.
当-2≤x<0时,由x2+x=0,得x=-1,
所以函数f(x)的零点为-1和0.
当0≤x≤c时,f(x)=,所以0≤f(x)≤;
当-2≤x<0时,f(x)=x2+x=-,所以此时-≤f(x)≤2.假设f(x)的值域是,那么有≤2,即0<c≤4,即c的取值范围是(0,4].
答案:-1和0　(0,4]
(15分钟　35分)
1.(5分)(2023·德州模拟)f(x)定义在区间[-1,1]上,且满足f(-x)=-f(x),当x<0时,f(x)=x(x-1),那么关于m的不等式f(1-m)+f(1-m2)<0的解集为(　　)
A.[0,1) B.(-2,1) C.(-2,) D.(0,)
【解析】选A.当x<0时,f(x)=x(x-1),
那么f(x)在[-1,0]上单调递减.
又f(x)在[-1,1]上是奇函数,
所以f(x)在[-1,1]上单调递减.
所以由f(1-m)+f(1-m2)<0得
f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),
所以解得0≤m<1,
所以原不等式的解集为[0,1).
2.(5分)函数f(x)=x2+x+c,假设f(0)>0,f(p)<0,那么必有 (　　)
A.f(p+1)>0
B.f(p+1)<0
C.f(p+1)=0
D.f(p+1)的符号不能确定
【解析】选A.由题意知,f(0)=c>0,函数图象的对称轴为x=-,那么f(-1)=f(0)>0,设f(x)=0的两根分别为x1,x2(x1<x2),那么-1<x1<x2<0,根据图象知,x1<p<x2,故p+1>0,f(p+1)>0.
【变式备选】
　　 函数f(x)=ax2+bx+c,且a>b>c,a+b+c=0,集合A={m|f(m)<0},那么
(　　)
A.∀m∈A,都有f(m+3)>0
B.∀m∈A,都有f(m+3)<0
C.∃m∈A,使得f(m+3)=0
D.∃m∈A,使得f(m+3)<0
【解析】选A.由a>b>c,a+b+c=0可知a>0,c<0,且f(1)=0,f(0)=c<0,
即1是方程ax2+bx+c=0的一个根,
当x>1时,f(x)>0.由a>b,得1>,
设方程ax2+bx+c=0的另一个根为x1,
那么x1+1=->-1,即x1>-2,
由f(m)<0可得-2<m<1,所以1<m+3<4,
结合抛物线图象可知,f(m+3)>0.
3.(5分)(2023·抚州模拟)假设对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,那么a的取值范围是________. 
【解析】因为对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,函数y=x3在R上单调递增,所以3x+a≤2x在x∈[a,a+2]上恒成立,即x+a≤0,所以a+2+a≤0,得到a≤-1.
答案:(-∞,-1]
4.(10分)函数y=F(x)的图象如下图,该图象由指数函数f(x)=ax与幂函数g(x)=xb“拼接〞而成.
(1)求F(x)的解析式.
(2)比拟ab与ba的大小.
(3)假设(m+4)-b<(3-2m)-b,求m的取值范围.
【解析】(1)依题意得
解得
所以F(x)=
(2)因为ab==,ba=,指数函数y=单调递减,所以<,即ab<ba.
(3)由(m+4<(3-2m,
得解得-<m<,
所以m的取值范围是.
5.(10分)函数f(x)=(k∈Z)满足f(2)<f(3).
(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式.
(2)对于(1)中得到的函数f(x),试判断是否存在q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为?假设存在,求出q;假设不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为f(2)<f(3),所以f(x)在第一象限是增函数.故-k2+k+2>0,解得-1<k<2.
又因为k∈Z,所以k=0或k=1.
当k=0或k=1时,-k2+k+2=2,所以f(x)=x2.
(2)假设存在q满足题设,由(1)知g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2].
因为g(2)=-1,所以两个最值点只能在端点(-1,g(-1))和顶点处取得.
①当q>0时,因为-g(-1)=-(2-3q)
=≥0,所以g(x)max==,
g(x)min=g(-1)=2-3q=-4.解得q=2.
②当q<0时,g(x)max=g(-1)=2-3q=,
g(x)min==-4,q不存在.
综上所述,存在q=2满足题意.
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