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热点(六) 三角函数
1．(三角图象)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，－<φ<的局部图象如下图，那么φ的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
答案：B
解析：由题意得，＝＋＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由题图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
又f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝，应选B.
2．(三角函数图象性质)函数f(x)＝sin的图象与函数g(x)的图象关于x＝对称，那么g(x)具有的性质是( )
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．在上单调递减，为奇函数
C．在上单调递增，为偶函数
D．周期为π，图象关于点对称
答案：B
解析：由题意得，g(x)＝sin＝sin(－2x)＝－sin 2x，最大值为1，而g＝0，所以图象不关于直线x＝对称，故A错误；当x∈时，2x∈，满足g(x)在上单调递减，显然g(x)也是奇函数，故B正确，C错误；周期T＝＝π，g＝－，故图象不关于点对称，D错误．应选B.
3．(单调性)函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝处取得最小值，那么f(x)在[0，π]上的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为0<θ<π，所以<＋θ<，
又f(x)＝cos(x＋θ)在x＝处取得最小值，
所以＋θ＝π，即θ＝，所以f(x)＝cos.
由0≤x≤π，得≤x＋≤.
由π≤x＋≤，得≤x≤π，
所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间是，应选A.
4．(三角函数奇偶性)将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，那么φ的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位，得到函数y＝sin[2(x＋φ)]＝sin(2x＋2φ)的图象，由题意得2φ＝＋kπ(k∈Z)，因为φ>0，所以φ的最小值为，应选C.
5．(三角函数解析式)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如下图的坐标系，设秒针针尖位置为P(x，y)．假设初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0秒)正常开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案：C
解析：由题意可得，函数的初相是，排除B，D.因为函数周期是60秒且秒针按顺时针方向旋转，即T＝＝60秒，所以|ω|＝，即ω＝－，排除A，应选C.
6．(三角函数最值)函数y＝3－2cos的最大值为____________，此时x＝____________.
答案：5 ＋2kπ(k∈Z)
解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
7．(三角函数周期)假设f(x)＝2sin ωx＋1(ω>0)在区间上是增函数，那么ω的取值范围是________．
答案：
解析：解法一 由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，
得f(x)的增区间是(k∈Z)．
因为f(x)在上是增函数，
所以⊆，
即－≥－且≤，所以ω∈.
解法二 因为x∈，ω＞0，
所以ωx∈，
又f(x)在区间上是增函数，
所以⊆，
即又ω>0，得0<ω≤.
解法三 因为f(x)在区间上是增函数，所以原点到－，的距离不超过，即得T≥，即≥，又ω>0，得0<ω≤.
8．(三角函数性质)函数f(x)＝sin(x－π)，g(x)＝cos(x＋π)，有以下命题：
①函数y＝f(x)g(x)的最小正周期为π；
②函数y＝f(x)g(x)的最大值为2；
③将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象；
④将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝g(x)的图象．
其中正确命题的序号是________．
答案：①④
解析：因为f(x)＝sin(x－π)＝－sin x，
g(x)＝cos(x＋π)＝－cos x，
所以y＝f(x)g(x)＝(－sin x)(－cos x)＝sin 2x，
所以函数y＝f(x)g(x)的最小正周期为＝π，最大值为，故①对，②错；
将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后得到y＝－sin＝cos x的图象，故③错；
将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝－sin＝－cos x的图象，故④对．
9．(三角函数综合)函数f(x)＝cos＋2sin·sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；
(2)求函数f(x)在区间上的值域．
解析：(1)f(x)＝cos＋2sinsin
＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)
＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin.
∴最小正周期T＝＝π，
由2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
∴函数图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
(2)∵x∈，
∴2x－∈，
∴－≤sin≤1，
即函数f(x)在区间上的值域为.
10．(三角函数综合)函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，假设y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．
解析：(1)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋(2sin2ωx－1)
＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin.
由最小正周期为π，得ω＝1，所以f(x)＝2sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
整理得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得到
y＝2sin 2x＋1的图象，所以g(x)＝2sin 2x＋1.
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，假设y＝g(x)在[0，b]上至少有10个零点，那么b不小于第10个零点的横坐标即可，
所以b的最小值为4π＋＝.
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