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解答题(三)
17．a1＝2，a2＝4，数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2且an＋1－an＝bn.
(1)求证：数列{bn＋2}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)证明：由题知，＝＝2，
∵b1＝a2－a1＝4－2＝2，∴b1＋2＝4，
∴数列{bn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)可得，bn＋2＝4·2n－1，故bn＝2n＋1－2.
∵an＋1－an＝bn，
∴a2－a1＝b1，
a3－a2＝b2，
a4－a3＝b3，
…
an－an－1＝bn－1.
累加得，an－a1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1(n≥2)，
an＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n－2)
＝－2(n－1)＝2n＋1－2n，
故an＝2n＋1－2n(n≥2)．
∵a1＝2＝21＋1－2×1，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－2n(n∈N*)．
18．(2022·安徽江淮十校5月考前最后一卷)如图，三棱柱ABC－A′B′C′的底面ABC是等边三角形，侧面AA′C′C⊥底面ABC，D是棱BB′的中点．
(1)求证：平面DA′C⊥平面ACC′A′；
(2)求平面DA′C将该三棱柱分成上、下两局部的体积比．
解 (1)证明：如图，取AC，A′C′的中点O，F，连接OF与A′C交于点E，连接DE，OB，B′F，那么E为OF的中点，OF∥AA′∥BB′，且OF＝AA′＝BB′，所以BB′FO是平行四边形．又D是棱BB′的中点，所以DE∥OB.
侧面AA′C′C⊥平面ABC，且OB⊥AC，所以OB⊥平面ACC′A′，那么DE⊥平面ACC′A′，又DE⊂平面DA′C，所以平面DA′C⊥平面ACC′A′.
(2)连接A′B，设三棱柱ABC－A′B′C′的体积为V.
故四棱锥A′－BCC′B′的体积VA′－BCC′B′＝V－V＝V，又D是棱BB′的中点，△BCD的面积是BCC′B′面积的，故四棱锥A′－B′C′CD的体积VA′－B′C′CD＝VA′－BCC′B′＝×V＝V，故平面DA′C将该三棱柱分成上、下两局部的体积比为1∶1.
19．(2022·江西南昌第一次模拟)市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：
某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业．经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时．假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时，假设正常营业期间灯坏了立即购置同型灯管更换(用频率估计概率)．
(1)根据频率直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；
(2)根据统计知识知，假设一支灯管一年内需要更换的概率为p，那么n支灯管估计需要更换np支．假设该商家新店面全部安装了B型节能灯，试估计一年内需更换的支数；
(3)假设只考虑灯的本钱和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．
解 (1)由图可知，各组中值依次为3100,3300,3500,3700，对应的频率依次为0.1,0.3,0.4,0.2，故B型节能灯的平均使用寿命为3100×0.1＋3300×0.3＋3500×0.4＋3700×0.2＝3440小时．
(2)由图可知，使用寿命不超过3600小时的频率为0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为0.8，故估计一年内5支B型节能灯需更换的支数为5×0.8＝4.
(3)假设选择A型节能灯，一年共需花费5×120＋3600×5×20×0.75×10－3＝870元；
假设选择B型节能灯，一年共需花费(5＋4)×25＋3600×5×55×0.75×10－3＝967.5元．
因为967.5＞870，所以该商家应选择A型节能灯．
20．(2022·河北石家庄模拟一)函数f(x)＝ln x－4ax，g(x)＝xf(x)．
(1)假设a＝，求g(x)的单调区间；
(2)假设a＞0，求证：f(x)≤－2.
解 (1)由a＝，g(x)＝xln x－x2(x＞0)，g′(x)＝ln x－x＋1，
令h(x)＝ln x－x＋1，h′(x)＝，故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，h(x)max＝h(1)＝0，
从而当x＞0时，g′(x)≤0恒成立，故g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)．
(2)证明：f′(x)＝－4a＝，由a＞0，令f′(x)＝0，得x＝，故f(x)在上单调递增，上单调递减，所以f(x)max＝f＝ln －1，只需证明ln －1≤－2，令t＝＞0，
即证ln t－t＋1≤0(*)，由(1)易知(*)式成立，故原不等式成立．
21．(2022·广东深圳适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)假设直线x＋y＋m＝0上存在点G，且过点G的椭圆C的两条切线相互垂直，求实数m的取值范围．
解 (1)由题意得
解得a2＝3b2，又＋＝1，解得
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)①当过点G的椭圆C的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y轴，易得G(±，±1)．
②当过点G的椭圆C的切线的斜率均存在时，设G(x0，y0)，x0≠±，切线方程为y＝k(x－x0)＋y0，
代入椭圆方程得(3k2＋1)x2－6k(kx0－y0)x＋3(kx0－y0)2－3＝0，
Δ＝[6k(kx0－y0)]2－4(3k2＋1)·[3(kx0－y0)2－3]＝0，化简得(kx0－y0)2－(3k2＋1)＝0，
那么(x－3)k2－2x0y0k＋y－1＝0，设过点G的椭圆C的切线的斜率分别为k1，k2，那么k1k2＝.
因为两条切线相互垂直，所以＝－1，即x＋y＝4(x0≠±)，
由①②知点G在圆x＋y＝4上，又点G在直线x＋y＋m＝0上，
所以直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝4有公共点，所以≤2，所以－2≤m≤2.
综上所述，m的取值范围为[－2，2]．
22．在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2＋y2－4x－6y＋12＝0，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.
(1)写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与x轴和y轴的交点分别为A，B，P为圆C上的任意一点，求·的取值范围．
解 (1)圆C的参数方程为(θ为参数)．直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由直线l的方程x＋y－2＝0可得点A(2,0)，
点B(0,2)．
设点P(x，y)，那么·＝(2－x，－y)·(－x,2－y)＝x2＋y2－2x－2y.
由(1)知
那么·＝4sinθ＋2cosθ＋4＝2sin(θ＋φ)＋4，其中tanφ＝.
因为θ∈R，所以4－2≤·≤4＋2.
23．函数f(x)＝.
(1)当a＝1，求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈[1,2]时，求证：f2(x)＋f2≤5.
解 (1)当a＝1时，f(x)＝，
所以|x－1|－|x＋1|≥0，
得(x－1)2≥(x＋1)2，解得x≤0.
所以定义域为(－∞，0]．
(2)证明：f2(x)＋f2＝|x－a|－＋－≤2＝2≤5(a∈[1,2])，
当且仅当a＝2时等号成立．
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