高优指导2021版高考数学一轮复习滚动测试卷四文北师大版.doc

滚动测试卷四(第一~九章)
(时间:120分钟　满分:150分)
　滚动测试卷第13页　 
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.集合M=,N={x|y=lg(x+2)},则M∩N等于(　　)

A.[0,+∞) B.(-2,0]
C.(-2,+∞) D.(-∞,-2)∪[0,+∞)
答案:B
解析:因为集合M=,
所以M={x|x≤0},
N={x|y=lg(x+2)}={x|x>-2},
所以M∩N={x|x≤0}∩{x|x>-2}={x|-2<x≤0}.
2.全称命题:任意x∈R,x2>0的否定是(　　)
A.任意x∈R,x2≤0
B.存在x∈R,x2>0
C.存在x∈R,x2<0
D.存在x∈R,x2≤0
答案:D
解析:命题:任意x∈R,x2>0的否定是:存在x∈R,x2≤0.
3.将函数f(x)=sin的图像向右平移个单位,那么所得的图像对应的函数解析式是(　　)
A.y=sin 2x B.y=cos 2x
C.y=sin D.y=sin
答案:D
解析:∵f(x)=sin,
∴将函数f(x)=sin的图像向右平移个单位,得f=sin=sin,
所得的图像对应的函数解析式是y=sin.
4.已知函数y=f(x)的定义域为{x|x≠0},满足f(x)+f(-x)=0,当x>0时,f(x)=ln x-x+1,则函数y=f(x)的大致图像是(　　)

答案:A
解析:因为函数y=f(x)的定义域为{x|x≠0},
满足f(x)+f(-x)=0,
所以函数是奇函数,排除C,D.
当x=e时,f(10)=1-e+1=2-e<0,排除B,A正确.
5.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2+λ,则λ=(　　)
A. B. C.- D.-
答案:A
解析:在△ABC中,已知D是AB边上一点.
∵=2+λ,
又)
=,∴λ=.
6.

某几何体的三视图如图所示,其中左视图为半圆,则该几何体的体积是(　　)
A.
B.
C.
D.π
答案:A
解析:根据几何体的三视图,得
该几何体是平放的半圆锥,且圆锥的底面半径为1,母线长为3,
∴圆锥的高为=2;
∴该几何体的体积为V半圆锥=π×12×2π.
7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
答案:A
解析:∵双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,
双曲线的一个焦点在直线l上,
∴解得a=2,b=,
∴双曲线方程为=1.
8.

如图,在△ABC中,点D在AC上,AB⊥BD,BC=3,BD=5,sin∠ABC=,则CD的长为(　　)
A. B. C.2 D.5
答案:B
解析:由题意可得sin∠ABC=
=sin=cos∠CBD,
再根据余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=27+25-2×3×5×=22,可得CD=.
9.过P(2,0)的直线l被圆(x-2)2+(y-3)2=9截得的弦长为2时,直线的斜率为(　　)
A.± B.± C.±1 D.±
答案:A
解析:(方法一)设直线的斜率为k,则直线方程为y=k(x-2),
即kx-y-2k=0.
圆心为C(2,3),半径r=3,
圆心到直线的距离d=.
由题意得2=2,即32-=1,解得k=±.
(方法二)如图,圆心C(2,3),半径3,取弦PA的中点D,PD=1,

则CD=2,tan∠PCD=.
由对称性知所求直线斜率为±.
10.已知抛物线方程为y2=8x,直线l的方程为x-y+2=0,在抛物线上有一动点P到y轴距离为d1,P到l的距离为d2,则d1+d2的最小值为(　　)
A.2-2 B.2 C.2-2 D.2+2
答案:C
解析:∵点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,
∴过焦点F作直线x-y+2=0的垂线,此时d1+d2最小.
∵F(2,0),
∴d1+d2=-2=2-2.
11.若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值是(　　)
A.1 B. C.1或 D.1或-
答案:C
解析:设过O(0,0)与f(x)相切的切点为P(x0,y0),
则y0=-3+2x0,且k=f'(x0)=3-6x0+2.①
又k=-3x0+2,②
由①,②联立,得x0=或x0=0,
所以k=-或2.
∴所求切线l的方程为y=-x或y=2x.
直线l与曲线y=x2+a相切,当切线为y=2x时,联立方程可得x2+a-2x=0满足Δ=4-4a=0,a=1.
当切线为y=-x时,
可得得x2+x+a=0.
依题意,Δ=-4a=0.∴a=.
综上,a=1或a=.故选C.
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-11,a5+a9=-2,则当Sn取最小值时,n等于(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
答案:C
解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,
由a2=-11,a5+a9=-2,得
解得
∴an=-15+2n.
由an=-15+2n≤0,解得n≤.
∴当Sn取最小值时,n等于7.
二、填空题(本大题共4题,每小题5分,共20分)
13.(2015辽宁锦州二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于　　　　　　. 
答案:3
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2,
|AB|=x1+x2+p=p,
即有x1+x2=p,
由直线l的倾斜角为60°,
则直线l的方程为y-0=,
即y=x-p,联立抛物线方程,
消去y并整理,得
12x2-20px+3p2=0,
则x1x2=,可得x1=p,x2=p.
则=3.
14.若变量x,y满足约束条件且z=x+3y的最小值为4,则k=　　　　　. 
答案:1
解析:由z=x+3y,得y=-x+,画出不等式对应的可行域,
平移直线y=-x+,由平移可知当直线y=-x+经过点B时,
直线y=-x+的截距最小,此时z取得最小值为4,
即x+3y=4,
由解得即B(1,1),
点B同时也在直线y=k上,则k=1.

15.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线垂直于直线l:x-2y-5=0,双曲线的一个焦点在l上,则双曲线的方程为　　　　　　　　　　　　. 
答案:=1
解析:∵双曲线的一个焦点在直线l上,
令y=0,可得x=5,即焦点坐标为(5,0),
∴c=5.
∵双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线垂直于直线l:x-2y-5=0,∴=2.
∵c2=a2+b2,∴a2=5,b2=20.
∴双曲线的方程为=1.
16.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且,则的值为　　　　　. 
答案:
解析:设两个圆柱的底面半径分别为R,r,高分别为H,h,
∵,∴,
∵它们的侧面积相等,∴=1,
∴,
∴.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知函数f(x)=sin-4sin2wx+2(w>0),其图像与x轴相邻两个交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将f(x)的图像向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)的图像恰好经过点,求当m取得最小值时,g(x)在上的单调增区间.
解:(1)函数f(x)=sin-4sin2wx+2(w>0)
=sin 2wx-cos 2wx-4·+2
=sin 2wx+cos 2wx
=sin,
根据图像与x轴相邻两个交点的距离为,可得函数的最小正周期为2×,求得ω=1,
故函数f(x)=sin.
(2)将f(x)的图像向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)=sinsin的图像,
再根据g(x)的图像恰好经过点,
可得sin=0,故m=,
所以g(x)=sin.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,求得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z,故函数g(x)的增区间为,k∈Z.
再结合x∈,可得增区间为.
18.

(12分)如图,已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,且AB=BE=AF=1,BE∥AF,AB⊥AF,∠CBA=,BC=,P为DF的中点.
(1)求证:PE∥平面ABCD;
(2)求三棱锥A-BCE的体积.
(1)证明:取AD的中点M,连接MP,MB,

∵P为DF的中点,
∴MP􀱀AF,
又∵BE􀱀AF,
∴BE􀱀MP,
∴四边形BEPM是平行四边形.
∴PE∥BM.
又PE⊈平面ABCD,BM⫋平面ABCD,
∴PE∥平面ABCD.
(2)解:在△ABC中,由余弦定理可得:
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=1+()2-2×1××cos=1,
∴AC=1.∴AC2+AB2=BC2.
∴AC⊥AB.
∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,
∴AC⊥平面ABEF.
∵S△ABE=BE·AB=×1×1=,
∴VA-BCE=VC-ABE=S△ABE×AC=×1=.
19.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,长轴长是短轴长的2倍.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,其中A点为椭圆的左顶点,若椭圆的上顶点P始终在以AB为直径的圆内,求实数k的取值范围.
解:(1)根据题意,得
解得a=2,b=1.
∴椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)由(1)及题意,知顶点A为(-2,0),
∴直线l的方程为y=k(x+2),
与椭圆方程联立,得
消去y,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0;
设点B为(x0,y0),则x0-2=-,
∴x0=,y0=.
又椭圆的上顶点P在以AB为直径的圆内,
∴∠APB为钝角,即<0.
∵P(0,1),A(-2,0),B,
∴=(-2,-1),.
∴<0,
即20k2-4k-3<0,解得k∈.
20.(12分)已知各项为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的通项公式bn=(n∈N+),若S3=b5+1,b4是a2和a4的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解:(1)∵数列{bn}的通项公式bn=(n∈N+),
∴b5=6,b4=4,
设各项为正数的等比数列{an}的公比为q,q>0,
∵S3=b5+1=7,∴a1+a1q+a1q2=7,①
∵b4是a2和a4的等比中项,
∴=a2·a4==16,解得a3=a1q2=4,②
由①②得3q2-4q-4=0,
解得q=2,或q=-(舍),
∴a1=1,∴an=2n-1.
(2)当n为偶数时,
Tn=(1+1)·20+2·2+(3+1)·22+4·23+(5+1)·24+…+[(n-1)+1]·2n-2+n·2n-1
=(20+2·2+3·22+4·23+…+n·2n-1)+(20+22+…+2n-2),
设Hn=20+2·2+3·22+4·23+…+n·2n-1,①
2Hn=2+2·22+3·23+4·24+…+n·2n,②
①-②,得-Hn=20+2+22+23+…+2n-1-n·2n
=-n·2n=(1-n)·2n-1,
∴Hn=(n-1)·2n+1,
∴Tn=(n-1)·2n+1+·2n+.
当n为奇数,且n≥3时,
Tn=+(n+1)·2n-1=·2n-1++(n+1)·2n-1=·2n-1+,
经检验,T1=2符合上式,
∴Tn=
21.(12分)已知点M是圆心为C1的圆(x-1)2+y2=8上的动点,点C2(-1,0),若线段MC2的中垂线交MC1于点N.
(1)求动点N的轨迹方程;
(2)若直线l:y=kx+t是圆x2+y2=1的切线且l与点N的轨迹交于不同的两点P,Q,O为坐标原点,若=μ,且≤μ≤,求△OPQ面积的取值范围.
解:(1)由已知得|MN|=|NC2|,则|NC1|+|NC2|=|NC1|+|MN|=2>|C1C2|=2,
故动点N的轨迹是以C1,C2为焦点,以2为长轴长的椭圆,a=,c=1,b2=1,
动点N的轨迹方程为+y2=1.
(2)∵直线l:y=kx+t是圆x2+y2=1的切线,
∴=1,∴t2=k2+1.
直线l:y=kx+t代入椭圆方程可得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则Δ=16k2-8t2+8=8k2>0可得k≠0.
∴x1+x2=-,x1x2=,
∴y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=,
∵t2=k2+1,
∴x1x2=,y1y2=,
∴=μ=x1x2+y1y2=,
∵≤μ≤,∴,
∴≤k2≤1,
∵|PQ|=
=2.
令λ=k4+k2,∵≤k2≤1,
∴λ∈.
|PQ|=2·=2·上递增,
∴≤|PQ|≤.
∵直线PQ是圆x2+y2=1的切线,
∴O到PQ的距离为1,
∴S△OPQ=|PQ|,即|PQ|≤.
故△OPQ面积的取值范围是.
22.(12分)已知函数f(x)=x--aln x,
(1)若f(x)无极值点,求a的取值范围;
(2)设g(x)=x+-(ln x)2,当a取(1)中的最大值时,求g(x)的最小值;
(3)证明:>ln(n∈N+).
(1)解:求导可得f'(x)=,
∵函数f(x)无极值,∴方程x2-ax+1=0在(0,+∞)上无根或有唯一根,
∴方程a=x+在(0,+∞)上无根或有唯一根,
又x+≥2(x=1取等号),
故=2,∴a≤2.
(2)解:a=2时,f(x)=x--2ln x,g(x)=x+-(ln x)2,
由(1)知,f(x)在(0,+∞)上是增函数,
当x∈(0,1)时,f(x)=x--2ln x<f(1)=0,即x-<2ln x<0;
当x∈(1,+∞)时,f(x)=x--2ln x>f(1)=0,即x->2ln x>0;
∴x>0时,≥|2ln x|=|ln x2|,
令x2=t>0,∴≥|ln t|,
平方得t+-2≥(ln t)2,∴t>0时,t+-2≥(ln t)2成立,当且仅当t=1时取等号,
∴当x=1时,函数g(x)取最小值2.
(3)证明:由上知,x>1时,x+-(ln x)2>2,
∴x>1时,>ln x成立,
令x=,得>ln,即>ln,
∴不等式:>ln+…+ln>ln+…+ln
=ln=ln.
即>ln(n∈N+).

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