资源描述
10.6 双曲线
核心考点·精准研析
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,那么点P的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
2.圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,那么动圆圆心M的轨迹方程为 ( )
A.x2-=1 B.-y2=1
C.x2-=1(x≤-1) D.x2-=1(x≥1)
3.双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),那么此双曲线的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
4.(2023·唐山模拟)P是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,那么△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________.
5.假设双曲线的渐近线方程为y=±x,且经过点(4,),那么双曲线的方程为________. 【解析】1.选B.如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,所以|MF2|=2.因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,
所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,所以由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.
2.选C.设圆M的半径为r,由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,得|MC1|=1+r, |MC2|=3+r,|MC2|-|MC1|=2<6,所以点M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支,且2a=2,a=1,又c=3,那么b2=c2-a2=8,所以点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
3.选C.因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c=5,=,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以此双曲线的方程为-=1.
4.(利用定义解三角形)如下图,内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|,|MB|,|MC|,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质有|CF1|= |AF1|,
|AF2|= |BF2|,|PC|=|PB|,
所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,
又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c,
|OA|=|AF1|-|OF1|=a.因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以M的横坐标为a.
答案:a
5.方法一:因为双曲线的渐近线方程为y=±x,
所以可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).
因为双曲线过点(4,),所以λ=16-4×()2=4,所以双曲线的标准方程为-y2=1.
方法二:因为渐近线y=x过点(4,2),而<2,
所以点(4,)在渐近线y=x的下方,在y=-x的上方(如图).
所以双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
由条件可得 解得
所以双曲线的标准方程为-y2=1.
答案:-y2=1
1.双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线还是双曲线的一支,假设是双曲线的一支,那么需确定是哪一支.
(2)在“焦点三角形〞中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立|PF1|与|PF2|的关系.
2.求双曲线标准方程的方法
(1)定义法
根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:
①c2=a2+b2;
②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
(2)待定系数法
①一般步骤
②常用设法
(ⅰ)与双曲线-=1共渐近线的方程可设为-=λ(λ≠0);
(ⅱ)假设双曲线的渐近线方程为y=±x,那么双曲线的方程可设为-=λ(λ≠0);
(ⅲ)假设双曲线过两个点,那么双曲线的方程可设为+=1(mn<0)或mx2+ny2=1(mn<0).
【秒杀绝招】
求双曲线的标准方程时,假设渐近线方程为y=±x,但不知道焦点所在坐标轴,可直接设-=λ(λ≠0).例如第5题.
考点二 直线与双曲线的位置关系
【典例】1.双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,那么其渐近线与圆(x-a)2+y2=a2的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点
(1)求双曲线C2的方程.
(2)假设直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.
【解题导思】
序号
联想解题
1
一看到①直线与圆的位置关系问题,即联想到利用弦心距与半径的大小关系判别;②出现双曲线离心率为时,一定为等轴双曲线,渐近线方程为y=±x
2
当题目中出现数量积时,首选方法是联立方程,利用根与系数的关系表示数量积,进而可求出参数范围
【解析】1.选C.因为一条渐近线方程为ay-bx=0,又离心率为=,所以a=b,所以一条渐近线方程为y-x=0,由(x-a)2+y2=a2知圆心为(a,0),半径为a,圆心到直线的距离d==a>a,所以直线与圆相离.
2.(1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),那么a2=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1.
故C2的方程为-y2=1.
(2)将y=kx+代入-y2=1,
得(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得
所以k2≠且k2<1.①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
那么x1+x2=,x1x2=-.
所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.
又由·>2,得x1x2+y1y2>2,
所以>2,即>0,
解得<k2<3.②
由①②得<k2<1,
故k的取值范围为∪.
直线与双曲线位置关系的解决策略
(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0时,用判别式Δ来判定.
(2)用“点差法〞可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验.
(3)弦长公式:设直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k,那么|AB|=|x1-x2|.
1.过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,那么满足|AB|=6的直线l共有________条.
【解析】当直线l的倾斜角为90°时,|AB|=6;当直线l的倾斜角为0°时,|AB|=2<6.故当|AB|=6时有三条直线符合题意.
答案:3
2.设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程.
(2)直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t(O为坐标原点),求t的值及点D的坐标.
【解析】(1)由题意知a=2,
因为一条渐近线为y=x,即bx-ay=0,
所以由焦点到渐近线的距离为,得=.
又因为c2=a2+b2,所以b2=3,
所以双曲线的方程为-=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0)(x0>0),
那么x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
将直线方程y=x-2代入双曲线方程-=1得x2-16x+84=0,
那么x1+x2=16,y1+y2=(x1+x2)-4=12.
所以解得
所以t=4,点D的坐标为(4,3).
考点三 双曲线的几何性质
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)考查双曲线的离心率、最值问题、范围问题、渐近线问题.
(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合、分类讨论及化归与转化等思想方法.
2.怎么考:结合双曲线定义及焦点三角形等考查离心率及渐近线方程.
3.新趋势:双曲线的离心率及渐近线仍是考查的重点.
学
霸
好
方
法
1.离心率的求解:借助条件建立a,b,c之间的关系或利用特殊值法求解.
2.渐近线的求解:将标准形式中右侧常数变为0,整理即得.(牢记焦点到渐近线的距离)
3.交汇问题: 与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域.
双曲线的离心率
【典例】(2023·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.假设|PQ|=|OF|,那么C的离心率为 ( )
A. B. C.2 D.
【解析】选A.以OF为直径的圆的方程为+y2=,那么弦PQ所在的直线方程为x=,|PQ|=,根据|PQ|=|OF|可得=,即(a-b)2=0,得a=b,故c=a,所以e=.
双曲线的渐近线
【典例】(2023·德州模拟)椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=(a>0,b>0)的焦点相同,那么双曲线渐近线方程为 ( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
【解析】选A.依题意椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=(a>0,b>0)即-=1(a>0,b>0)的焦点相同,可得:a2-b2=a2+b2,即a2=3b2,
所以=,可得=,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
如何求双曲线的渐近线方程?
提示:(1)求双曲线中的a,b的值,进而得出双曲线的渐近线方程.
(2)求a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.
(3)令双曲线标准方程右侧为0,将所得代数式化为一次式即为渐近线方程.
与双曲线有关的范围问题
【典例】1.点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点.假设△ABF2是锐角三角形,那么该椭圆的离心率e的取值范围是 ( )
A.(0,-1) B.(-1,1)
C.(0,-1) D.(-1,1)
2.直线y=kx-1和双曲线x2-y2=1的右支交于不同两点,那么k的取值范围是________.
【解析】1.选B.由题意得F1(-c,0),F2(c,0),A,B.因为△ABF2是锐角三角形,所以∠AF2F1<45°,所以tan∠AF2F1<1,即<1.整理,得b2<2ac,所以a2-c2<2ac.两边同时除以a2并整理,得e2+2e-1>0,解得e>-1或e<--1(舍去).又因为0<e<1,所以椭圆的离心率e的取值范围为(-1,1).
2.由直线y=kx-1和双曲线x2-y2=1联立方程组,消去y得(1-k2)x2+2kx-2=0,因为该方程有两个不相等且都大于1的根,所以 解得1<k<,即k的取值范围为(1,).
答案:(1,)
双曲线中的范围问题如何求解?
提示:(1)假设条件中存在不等关系,那么借助此关系直接求解.
(2)假设条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系,如借助双曲线上点的坐标范围,方程中Δ≥0等来解决.
1.(2023·抚顺模拟)当双曲线M:-=1(-2≤m<0)的焦距取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为 ( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±2x D.y=±x
【解析】选C.由题意得c2=m2+2m+6=(m+1)2+5,当m=-1时,c2取得最小值,即焦距2c取得最小值,此时双曲线M的方程为x2-=1,所以渐近线方程为y=±2x.
2.设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P,Q,假设|PQ|=2|QF|,∠PQF=60°,那么该双曲线的离心率为
( )
A. B.1+
C.2+ D.4+2
【解析】选B.∠PQF=60°,因为|PQ|=2|QF|,所以∠PFQ=90°,设双曲线的左焦点为F1,连接F1P,F1Q,由对称性可知,四边形F1PFQ为矩形,|F1F|=2|QF|,|QF1|=
|QF|,所以e====+1.
1.双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,右焦点到一条渐近线的距离为,那么此双曲线的焦距等于 ( )
A. B.2 C.3 D.6
【解析】选B.由题意得,焦点F(c,0)到渐近线bx+ay=0的距离d==b=,又=,c2=a2+b2,所以c=,所以该双曲线的焦距为2.
2.(2023·池州模拟)双曲线C:-=1的左焦点为F,右顶点为A,虚轴的一个端点为B,假设△ABF为等腰三角形,那么双曲线C的离心率是( )
A. B. C.或 D.1+
【解析】选D.由于△ABF为等腰三角形,故FB=a+c,OF=c,OB=b,直角三角形OFB中,由勾股定理得b2+c2=,即c2-2ac-2a2=0,两边除以a2得e2-2e-2=0,解得e=1+(负根舍去).
1.双曲线-=1(a>0,b>0)的顶点到渐近线的距离为,焦点到渐近线的距离为,那么该双曲线的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选B.由双曲线的对称性可得两个焦点,顶点到两条渐近线的距离相等,所以任意取一个焦点和顶点即可.因为双曲线的渐近线方程为y=x,所以=,即ab=c,=,即b=,又因为c2=a2+b2,所以解得a2=4,b2=5,即方程为-=1.
2.双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),O为坐标原点,P,Q为双曲线的渐近线上的两点,假设四边形PFQO是面积为c2的菱形,那么该渐近线方程为
( )
A.y=±2x B.y=±x
C.y=±4x D.y=±x
【解析】选A.如下图,F(-c,0),PQ⊥OF,设P(x,y),那么菱形PFQO的面积为2× ×c×y=c2,所以y=c,故tan∠POF==2,即渐近线OP的方程为y=-2x,故双曲线的渐近线方程为y=±2x.
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