2022年高考数学一轮复习热点难点精讲精析72空间点线面之间的位置关系.docx

2022年高考一轮复习热点难点精讲精析：
7.2空间点、线、面之间的位置关系
一、空间点、直线、平面之间的位置关系
〔一〕异面直线的判定
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证明两直线为异面直线的方法：
1、定义法〔不易操作〕
2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否认假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。
3、客观题中，也可用下述结论：
过平面处一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：
※例题解析※
〖例〗如下列图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点。问：
〔1〕AM和CN是否是异面直线说明理由；〔2〕D1B和CC1是否是异面直线说明理由。
思路解析：〔1〕易证MN//AC，∴AM与CN不异面。〔2〕由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法。
解答：〔1〕不是异面直线。理由：连接MN、A1C1、AC。∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN// A1C1，又∵A1A CC1，∴A1ACC1为平行四边形。∴A1C1//AC，得到MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线。
〔2〕是异面直线。证明如下：
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面。假设D1B与CC1不是异面直线，那么存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾。∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线
〔二〕平面的根本性质及平行公理的应用
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1、平面的根本性质的应用
〔1〕公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内；
〔2〕公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面；
〔3〕公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。
2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。
3、公理2的推论：
〔1〕经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；
〔2〕经过两条相交直线，有且只有一个平面；
〔3〕经过两条平行直线，有且只有一个平面。
4、点共线、线共点、点线共面
〔1〕点共线问题
证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。
〔2〕线共点问题
证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。
〔3〕证明点线共面的常用方法
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。
※例题解析※
〖例〗如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=900，BCAD，BEFA，G、H分别为FA、FD的中点。
〔1〕证明：四边形BCHG是平行四边形；
〔2〕C、D、F、E四点是否共面为什么
思路解析：〔1〕G、H为中点GHAD，又BCAD GHBC；〔2〕方法一：证明D点在EF、GJ确定的平面内。方法二：延长FE、DC分别与AB交于M，，可证M与 重合，从而FE与DC相交。
解答：〔1〕
〔2〕方法一：
方法二：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，，∵BEAF，∴B为MA中点。∵BCAD，∴B为中点，∴M与重合，即FE与DC交于点M〔〕，∴C、D、F、E四点共面。
〔三〕异面直线所成的角
〖例〗空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为300，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小。
思路解析：要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线。取AC的中点，平移AB、CD，使角和所求的角在一个三角形中求解。
解答：取AC的中点G，连接EG、FG，那么EG//AB，GF//CD，且由AB=CD知EG=FG，∴∠GEF〔或它的补角〕为EF与AB所成的角，∠ＥＧＦ〔或它的补角〕为ＡＢ与ＣＤ所成的角。
∵ＡＢ与CD所成的角为300，∴∠ＥＧＦ=300或1500。由EG=FG知ΔEFG为等腰三角形，当∠ＥＧＦ=300时，∠GEF=750；当∠ＥＧＦ=1500时，∠GEF=150。故EF与AB所成的角为150或750。
注：〔1〕求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：①直接平移②中位线平移③补形平移；
〔2〕求异面直线所成角的步骤：
①作：通过作平行线，得到相交直线；
②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；
③求：通过解三角形，求出该角。
二、直线、平面平行的判定及其性质
〔一〕直线与平面平行的判定
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判定直线与平面平行，主要有三种方法：
〔1〕利用定义〔常用反证法〕；
〔2〕利用判定定理：关键是找平面内与直线平行的直线。可先直观判断平面内是否已有，假设没有，那么需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过直线作一平面找其交线。
〔3〕利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。
注：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面。
※例题解析※
〖例〗如图，矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC，BE//CF，∠BCF=900，求证：AE//平面DCF
思路解析：作EG⊥CF于GADEGAE//DGAE//平面DCF
解答：过点E作EG⊥CF交CF于G，连接DG，可得四边形BCGE为矩形。
又ABCD为矩形，所以ADEG，从而四边形ADGF为平行四边形，故AE//DG。因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE//平面DCF
〔二〕平面与平面平行的判定
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判定平面与平面平行的常用方法有：
〔1〕利用定义〔常用反证法〕；
〔2〕利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行；
〔3〕利用面面平行的传递性：
〔4〕利用线面垂直的性质：。
※例题解析※
〖例〗如下列图，正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长为4，E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点，求证：平面A1EF//平面BCGH
思路解析：此题证面面平行，可证明平面A1EF内的两条相交直线分别与平面BCGH平行，然后根据面面平行判定定理即可证明。
解答：ΔABC中，E、F分别为AB、AC的中点，∴EF//BC。又∵EF平面BCGH，BC平面BCGH，∴EF//平面BCGH。又∵G、F分别为A1C1，AC的中点，∴A1GFC。∴四边形A1FCG为平行四边形。∴A1F//GC。又∵A1F平面BCGH，CG平面BCGH，∴A1F//平面BCGH。又∵A1F∩EF=F，∴平面A1EF//平面BCGH
〔三〕直线与平面平行的性质及应用
〖例〗如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大。
思路解析：先利用线面平行的性质，判定截面形状，再建立面积函数求最值。
解答：∵AB//平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH，∴AB//FG，AB//EH，∴FG//EH，同理可证EF//GH，∴截面EFGH是平行四边形。设AB=a,CD=b,∠FGH=α〔α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角〕。
又设FG=x.GH=y,那么由平面几何知识可得
两式相加得
∴
∵
∴当且仅当时，取最大值，此时，即当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时，截面面积最大。
注：利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化。在平时的解题过程中，假设遇到线面平行这一条件，就需在图中找〔或作〕过直线与平面相交的平面。这样就可以由性质定理实现平行转化。至于最值问题，常用函数思想解决，假设题目中没有涉及边长，要大胆地设未知量，以便解题。
〔四〕平面与平面平行的性质及应用
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平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，表达了转化与化归的思想。三种平行关系如图：
性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。
※例题解析※
〖例〗，平面α//平面β，AB、CD夹在α、β之间，A、C∈α，B、D∈β，E、F分别为AB、CD的中点，求证：EF//α，EF//β
思路解析：通过作辅助平面，利用面面平行得到线线平行，再证线面平行。
解答：当AB和CD共面时，经过AB、CD的平面与α、β分别交于AC、BD。∵α//β，∴AC//BD。又∵AE=EB，CF=FD，∴EF//AC。∵ACα，EFα，∴EF//α，同理EF//β，当AB和CD异面时，如图：
在CD现E所确定的平面内，过点E作C‘D’//CD与α、β分别交于点C‘、D’。经过相交直线AB和C‘D’作平面分别交α、β于AC‘、BD’。∵α//β，∴AC‘//BD’，又AE=EB，∴C‘E=ED’。∵C‘D’//CD，∴经过C‘D’和CD作平面与α、β分别交于C‘C和D’D。∵α//β，∴C‘C//D’D。
在平面四边形C‘D’DC中，∵C‘E=ED’，CF=FD，∴EF// D’D。∵D’Dβ，EFβ，∴EF//β，同理EF//α。
三、直线、平面垂直的判定及其性质
〔一〕直线和平面垂直的判定和性质
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证明直线和平面垂直的常用方法有：
〔1〕利用判定定理；
〔2〕利用平行线垂直于平面的传递性
〔3〕利用面面平行的性质
〔4〕利用面面垂直的性质。
当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直。
※例题解析※
〖例〗如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，假设∠PDA=450，求证：MN⊥平面PCD。
思路解析：
解答：如图，取PD的中点E，连接AE，NE。
〔二〕平面与平面垂直的判定
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证明面面垂直的主要方法是：①利用判定定理。在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论。②用定义证明。只需判定两平面所成二面角为直二面角。③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，那么另一个也垂直于第三个平面。
面面垂直的判定综合性强，可通过转化使问题得以解决，“线线垂直〞、“线面垂直〞、“面面垂直〞间的关系如图，
其中线线垂直是根底，线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件.
※例题解析※
〖例〗如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ(0<λ<1).
(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；
(2)是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由.
【方法诠释】(1)结合图形猜测EF与平面ABC垂直.由知EF∥CD，由∠BCD＝90°及AB⊥平面BCD可证得结论成立.
(2)由EF∥CD可知问题相当于过点B作一个平面与平面ACD垂直，而这样的平面一定存在，故只需计算出λ即可.
解析：(1)EF⊥平面ABC.
证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
在△BCD中，∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，
又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，
在△ACD中=λ(0<λ<1)，
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC.
(2)∵CD⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，
∴BE⊥CD，
故要使平面BEF⊥平面ACD，只需证BE⊥AC.
在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，
∴AB＝BDtan60°＝，
那么
当BE⊥AC时，
那么，即时，BE⊥AC，
又BE⊥CD，AC∩CD＝C，
∴BE⊥平面ACD，
∵BE⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ACD.
所以存在λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.
〔三〕平面与平面垂直性质的应用
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(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线〞.
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.
※例题解析※
〖例〗如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD是等边三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=4。
〔1〕设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
〔2〕求四棱锥P-ABCD的体积。
思路解析：〔1〕因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD；
〔2〕四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离。
解答：〔1〕在ΔABD中，
〔2〕过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高。又ΔPAD是边长为4的等边三角形，∴PO=。
注：〔1〕当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线。把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线段线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等。
〔2〕面面垂直时，通过作辅助线可转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用，必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系，通过证线面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明书的最常用方法。
〔四〕线面角、二面角求法
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高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一。有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查。
求这两种空间角的步骤：
根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作〔找〕出该角，再解三角形求出该角，步骤是作〔找〕认〔指〕求。
在客观题中，也可用射影法：
设斜线段AB在平面α内的射影为A’B’,AB与α所成角为θ,那么cosθ=.
设ΔABC在平面α内的射影三角形为,平面ABC与α所成角为θ,那么cosθ=.
※例题解析※
〖例〗三棱锥P-ABC中,PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点。
〔1〕证明：平面GFE//平面PCB；
〔2〕求二面角B-AP-C的正切值；
〔3〕求直线PF与平面PAB所成角的正弦值。
思路解析：〔1〕利用三角形的中位线性质；
〔2〕利用定义作出二面角B-AP-C的平面角；
〔3〕利用线面垂直构造直线与平面所成角。
解答：〔1〕因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，所以EF//BC，GF//CP。因为EF，GF平面PCB，所以EF//平面PCB，GF//平面PCB。又EF∩GF=F，所以平面GFE//平面PCB。
〔2〕过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H，连接HB。因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC，所以HB⊥PA，所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角。依条件容易求出CH=，所以tan∠BHC=，所以二面角B-AP-C的正切值是。
〔3〕如图，设PB的中点为K，连接KC，AK，因为ΔPCB为等腰直角三角形，所以KC⊥PB；又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，所以AC⊥平面PCB，所以AK⊥PB，又因为AK∩KC=K，所以PB⊥平面AKC；又PB平面PAB，所以平面AKC⊥平面PAB。在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M。因为平面AKC⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB，连接PM，那么∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角。容易求出PF=，FM=，所以sin∠MPF==.即直线PF与平面PAB所成的角的正弦值是