2022年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷.docx

2022年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷
一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕
1．〔3分〕〔2022•广州模拟〕比较﹣3，1，﹣2的大小，以下判断正确的选项是〔　　〕

A．
﹣3＜﹣2＜1
B．
﹣2＜﹣3＜1
C．
1＜﹣2＜﹣3
D．
1＜﹣3＜﹣2
2．〔3分〕〔2022•广州模拟〕要在一块长方形的空地上修建一个既是轴对称，又是中心对称图形的花坛，以下列图案中不符合设计要求的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

3．〔3分〕〔2022•广州模拟〕以下计算中，正确的选项是〔　　〕

A．
a6÷a2=a3
B．
a•a3=a3
C．
〔﹣ab〕2=a2b2
D．
2a+3b=5ab
4．〔3分〕〔2022•广州模拟〕方程x2=4x的解是〔　　〕

A．
x=4
B．
x=0
C．
x=2
D．
x=4或0
5．〔3分〕〔2022•广州模拟〕点〔1，2〕在反比例函数的图象上，那么k的值是〔　　〕

A．
0
B．
1
C．
﹣1
D．
﹣2
6．〔3分〕〔2022•自贡〕由七个大小相同的正方体组成的几何体如下列图，那么它的左视图是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

7．〔3分〕〔2022•丹东〕五名同学在“爱心捐助〞活动中，捐款数额为：8、10、10、4、6〔单位：元〕，这组数据的中位数是〔　　〕

A．
10
B．
9
C．
8
D．
6
8．〔3分〕〔2022•广州模拟〕如图，直线a∥b，那么∠A的度数是〔　　〕

A．
39°
B．
34°
C．
31°
D．
28°
9．〔3分〕〔2022•烟台〕不等式4﹣3x≥2x﹣6的非负整数解有〔　　〕

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
10．〔3分〕〔2022•广州模拟〕如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，那么ABCD的面积是〔　　〕

A．
30
B．
36
C．
54
D．
72
二、耐心填一填〔此题有6个小题，每题3分，共18分〕．
11．〔3分〕〔2022•广州模拟〕函数的自变量x的取值范围是　_________　．
12．〔3分〕〔2022•广州模拟〕生物学家发现一种超级细菌病毒的长度约为0.0000043mm，这个长度用科学记数法表示为　_________　mm．
13．〔3分〕〔2022•广州模拟〕从1～9这9个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是　_________　．
14．〔3分〕〔2022•广州模拟〕分解因式：ax2﹣2ax=　_________　．
15．〔3分〕〔2022•广州模拟〕矩形ABCD对角线AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交矩形一边于E，假设∠CAE=15°，那么∠BOC=　_________　．
16．〔3分〕〔2022•广州模拟〕如图，光源P在水平放置的横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子CD也呈水平状态．AB=4m，CD=12m，点P到CD的距离是3.9m，那么AB与CD间的距离是　_________　m．
三、解答题〔本大题共9小题，总分值102分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕
17．〔9分〕〔2022•广州模拟〕先化简，再求值：〔a+b〕〔a﹣b〕+b〔b﹣2a〕﹣a2，其中．
18．〔9分〕〔2022•珠海〕x1=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一根x2．
19．〔10分〕〔2022•广州模拟〕如图，点A〔3，1〕，连接OA．
〔1〕平移线段OA，使点O落在点B，点A落在点C，假设点B的坐标为〔1，2〕，请在图1中画出线段BC．
〔2〕将线段OA绕O逆时针旋转90°，点A的对应点是点D．在图2中画出旋转图形，并写出点D的坐标；并求直线AD的解析式．
20．〔10分〕〔2022•广州模拟〕要了解某地区九年级学生的身高情况，从中随机抽取150名学生的身高作为一个样本，身高均在141cm～175cm之间〔取整数厘米〕，整理后分成7组，绘制出频数分布直方图〔不完整〕．根据图中提供的信息，解答以下问题：
〔1〕补全频数分布直方图；
〔2〕该地区共有3000名九年级学生，估计其中身高不低于161cm的人数；
〔3〕估计该地区九年级学生身高不低于151cm的概率．
21．〔12分〕〔2022•广州模拟〕，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别是OC、OD中点．
求证：〔1〕△AOC≌△BOD；
〔2〕四边形AFBE是平行四边形．
22．〔12分〕〔2022•泰安〕某工厂的甲车间承担了加工2100个机器零件的任务，甲车间单独加工了900个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原方案提前12天完成任务．乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个
23．〔12分〕〔2022•广州模拟〕如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE•PO．
〔1〕求证：PC是⊙O的切线；
〔2〕假设OE=AE=1，求证∠PCA=∠B，并求sin∠PCA的值．
24．〔14分〕〔2022•广州模拟〕如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
〔1〕求NC，MC的长〔用t的代数式表示〕；
〔2〕当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形
〔3〕当t为何值时，射线QN恰好将△ABC的面积平分并判断此时△ABC的周长是否也被射线QN平分．
25．〔14分〕〔2022•河西区一模〕如图1，抛物线y=x2+x﹣4与y轴交于点A，E〔0，b〕为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C．
〔1〕求点A的坐标；
〔2〕当b=0时〔如图2〕，求△ABE与△ACE的面积．
〔3〕当b＞﹣4时，△ABE与△ACE的面积大小关系如何为什么
〔4〕是否存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形假设存在，求出b；假设不存在，说明理由．
2022年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕
1．〔3分〕〔2022•广州模拟〕比较﹣3，1，﹣2的大小，以下判断正确的选项是〔　　〕

A．
﹣3＜﹣2＜1
B．
﹣2＜﹣3＜1
C．
1＜﹣2＜﹣3
D．
1＜﹣3＜﹣2
考点：
有理数大小比较．菁优网版权所有
分析：
此题是对有理数的大小比较，根据有理数性质即可得出答案．
解答：
解：有理数﹣3，1，﹣2的中，根据有理数的性质，
∴﹣3＜﹣2＜0＜1．
应选A．
点评：
此题主要考查了有理数大小的判定，难度较小．
2．〔3分〕〔2022•广州模拟〕要在一块长方形的空地上修建一个既是轴对称，又是中心对称图形的花坛，以下列图案中不符合设计要求的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
分析：
根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与原图形重合；中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转180°能够和另一个图形重合，找到既能沿某条直线折叠，能够与原图形重合的图形，也能绕着某个点旋转180°能够与原图形重合的图形．
解答：
解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
应选B．
点评：
此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，注意掌握判断是否为轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形两局部折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．
3．〔3分〕〔2022•广州模拟〕以下计算中，正确的选项是〔　　〕

A．
a6÷a2=a3
B．
a•a3=a3
C．
〔﹣ab〕2=a2b2
D．
2a+3b=5ab
考点：
同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
A、根据同底数幂的除法法那么计算；
B、根据同底数幂的乘法法那么计算；
C、根据积的乘方法那么计算；
D、根据合并同类项的法那么计算，再判断对错．
解答：
解：A、a6÷a2=a4，此选项错误；
B、a•a3=a4，此选项错误；
C、〔﹣ab〕2=a2b2，此选项正确；
D、2a+3b=2a+3b，此选项错误．
应选C．
点评：
此题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，解题的关键是掌握相关运算法那么，不能混淆．
4．〔3分〕〔2022•广州模拟〕方程x2=4x的解是〔　　〕

A．
x=4
B．
x=0
C．
x=2
D．
x=4或0
考点：
解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
分析：
此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解．
解答：
解：原方程可化为：x2﹣4x=0，
∴x〔x﹣4〕=0
解得x=0或4；
应选D．
点评：
此题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用适宜的方法，此题方程两边公因式较明显，所以此题运用的是因式分解法．
5．〔3分〕〔2022•广州模拟〕点〔1，2〕在反比例函数的图象上，那么k的值是〔　　〕

A．
0
B．
1
C．
﹣1
D．
﹣2
考点：
反比例函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
把〔1，2〕代入反比例函数，得到关于k的一元一次方程，求出方程的解即可．
解答：
解：把〔1，2〕代入反比例函数，
2=，
解得：k=﹣1，
应选C．
点评：
此题主要考查对反比例函数的图象上的坐标特征，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能理解题意是解此题的关键．题型较好．
6．〔3分〕〔2022•自贡〕由七个大小相同的正方体组成的几何体如下列图，那么它的左视图是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析：
找到从左面看所得到的图形即可．
解答：
解：从左面看可得到第一列为3个正方形，第二列有一个正方形．
应选D．
点评：
此题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
7．〔3分〕〔2022•丹东〕五名同学在“爱心捐助〞活动中，捐款数额为：8、10、10、4、6〔单位：元〕，这组数据的中位数是〔　　〕

A．
10
B．
9
C．
8
D．
6
考点：
中位数．菁优网版权所有
专题：
应用题．
分析：
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
解答：
解：题目中数据共有5个，
故中位数是按从小到大排列后第三数作为中位数，
故这组数据的中位数是8．
应选C．
点评：
此题属于根底题，考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确定义．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．
注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，那么正中间的数字即为所求；如果是偶数个，那么找中间两位数的平均数．
8．〔3分〕〔2022•广州模拟〕如图，直线a∥b，那么∠A的度数是〔　　〕

A．
39°
B．
34°
C．
31°
D．
28°
考点：
平行线的性质；三角形的外角性质．菁优网版权所有
专题：
数形结合．
分析：
先根据两直线平行，同位角相等求出70°角的同位角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答：
解：如图，∵a∥b，
∴∠1=70°，
∴∠A=∠1﹣31°=70°﹣31°=39°．
应选A．

点评：
此题主要考查了两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，准确识图是解题的关键．
9．〔3分〕〔2022•烟台〕不等式4﹣3x≥2x﹣6的非负整数解有〔　　〕

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
一元一次不等式的整数解．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
首先利用不等式的根本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
解答：
解：不等式4﹣3x≥2x﹣6，
整理得，5x≤10，
∴x≤2；
∴其非负整数解是0、1、2．
应选C．
点评：
此题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答此题的关键．解不等式应根据不等式的根本性质．
10．〔3分〕〔2022•广州模拟〕如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，那么ABCD的面积是〔　　〕

A．
30
B．
36
C．
54
D．
72
考点：
平行四边形的性质；三角形的面积；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
专题：
压轴题；转化思想．
分析：
求▱ABCD的面积，就需求出BC边上的高，可过D作DE∥AM，交BC的延长线于E，那么四边形ADEM也是平行四边形，那么AM=DE；在△BDE中，三角形的三边长正好符合勾股定理的逆定理，因此△BDE是直角三角形；可过D作DF⊥BC于F，根据三角形面积的不同表示方法，可求出DF的长，也就求出了BC边上的高，由此可求出四边形ABCD的面积．
解答：
解：作DE∥AM，交BC的延长线于E，那么ADEM是平行四边形，
∴DE=AM=9，ME=AD=10，
又由题意可得，BM=BC=AD=5，那么BE=15，
在△BDE中，∵BD2+DE2=144+81=225=BE2，
∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，
过D作DF⊥BE于F，
那么DF==，
∴S▱ABCD=BC•FD=10×=72．
应选D．

点评：
此题主要考查平行四边形的性质和勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
二、耐心填一填〔此题有6个小题，每题3分，共18分〕．
11．〔3分〕〔2022•广州模拟〕函数的自变量x的取值范围是　x≠﹣3　．
考点：
函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
分析：
根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+3≠0，解可得自变量x的取值范围．
解答：
解：根据题意，有x+3≠0，
解可得x≠﹣3；
故自变量x的取值范围是x≠﹣3．
故答案为：x≠﹣3．
点评：
此题主要考查了分式有意义的条件是分母不等于0．
12．〔3分〕〔2022•广州模拟〕生物学家发现一种超级细菌病毒的长度约为0.0000043mm，这个长度用科学记数法表示为　4.3×10﹣6mm．
考点：
科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
分析：
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答：
解：0.0000043=4.3×10﹣6；
故答案为：4.3×10﹣6．
点评：
此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．〔3分〕〔2022•广州模拟〕从1～9这9个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是．
考点：
概率公式．菁优网版权所有
分析：
让从1～9中2的倍数的个数除以数的总数9即为所求的概率．
解答：
解：从1～9这9个自然数中，2的倍数有：2，4，6，8，共4个，
任取一个是2的倍数的概率是：．
点评：
明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．〔3分〕〔2022•广州模拟〕分解因式：ax2﹣2ax=　ax〔x﹣2〕　．
考点：
因式分解-提公因式法．菁优网版权所有
专题：
常规题型．
分析：
提取公因式ax，整理即可得解．
解答：
解：ax2﹣2ax=ax〔x﹣2〕．
故答案为：ax〔x﹣2〕．
点评：
此题考查了提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题的关键．
15．〔3分〕〔2022•广州模拟〕矩形ABCD对角线AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交矩形一边于E，假设∠CAE=15°，那么∠BOC=　120°　．
考点：
矩形的性质．菁优网版权所有
分析：
根据∠CAE=15°和AE平分∠BAD，即可求得∠BAO=60°，再根据OA=OB即可判定△ABO为等边三角形，即可求∠AOB，进而求出∠BOC的度数．
解答：
解：∵∠CAE=15°和AE平分∠BAD，
∴∠BAO=45°+15°=60°，
又∵AO=BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠BOC=180°﹣60°=120°．
故答案为：120°．
点评：
此题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，考查了等边三角形的判定和等边三角形各内角为60°的性质，此题中求证△ABO为等边三角形是解题的关键．
16．〔3分〕〔2022•广州模拟〕如图，光源P在水平放置的横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子CD也呈水平状态．AB=4m，CD=12m，点P到CD的距离是3.9m，那么AB与CD间的距离是　2.6　m．
考点：
相似三角形的应用．菁优网版权所有
专题：
数形结合．
分析：
易得△PAB∽△PCD，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比可得AB与CD间的距离．
解答：
解：如图，作PF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，
∴△PAB∽△PCD，
∴=，
=，
解得EF=2.6，
故答案为2.6．

点评：
考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形对应边的比等于对应高的比．
三、解答题〔本大题共9小题，总分值102分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕
17．〔9分〕〔2022•广州模拟〕先化简，再求值：〔a+b〕〔a﹣b〕+b〔b﹣2a〕﹣a2，其中．
考点：
整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
分析：
先按照整式混合运算的法那么把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式=a2﹣b2+b2﹣2ab﹣a2
=﹣2ab，
当a=2﹣，b=+2时
原式=﹣2×〔2﹣〕×〔+2〕
=﹣2．
点评：
此题考查的是整式的混合运算，整式化简的过程就是合并同类项的过程．
18．〔9分〕〔2022•珠海〕x1=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一根x2．
考点：
解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．菁优网版权所有
分析：
将x1=﹣1代入原方程，可求出m的值，进而可通过解方程求出另一根．
解答：
解：由题意得：〔﹣1〕2+〔﹣1〕×m﹣5=0，解得m=﹣4；
当m=﹣4时，方程为x2﹣4x﹣5=0
解得：x1=﹣1，x2=5
所以方程的另一根x2=5．
点评：
此题主要考查了一元二次方程解的意义，以及运用解的定义解决相关问题的能力．
19．〔10分〕〔2022•广州模拟〕如图，点A〔3，1〕，连接OA．
〔1〕平移线段OA，使点O落在点B，点A落在点C，假设点B的坐标为〔1，2〕，请在图1中画出线段BC．
〔2〕将线段OA绕O逆时针旋转90°，点A的对应点是点D．在图2中画出旋转图形，并写出点D的坐标；并求直线AD的解析式．
考点：
作图-旋转变换；待定系数法求一次函数解析式；作图-平移变换．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据平移线段OA，使点O落在点B，得出B点移动方向，再根据点A〔3，1〕，得出C点坐标，即可得出图象；
〔2〕根据将线段OA绕O逆时针旋转90°，得出D点坐标，画出图象即可，再利用待定系数法求一次函数解析式即可．
解答：
解：〔1〕根据O点向上平移2个单位，再向右平移一个单位长度，即可得出C点在A处向上平移2个单位，再向右平移一个单位长度，得出C点坐标〔4，3〕，
如图1；

〔2〕如图2，D〔﹣1，3〕，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A〔3，1〕、D〔﹣1，3〕代入y=kx+b，得：
，
解得，
∴直线AD的解析式为．

点评：
此题分别考查了坐标与图形的变换中图形的平移与旋转和待定系数法求一次函数解析式等知识，根据正确找出对应点的坐标是解题关键．
20．〔10分〕〔2022•广州模拟〕要了解某地区九年级学生的身高情况，从中随机抽取150名学生的身高作为一个样本，身高均在141cm～175cm之间〔取整数厘米〕，整理后分成7组，绘制出频数分布直方图〔不完整〕．根据图中提供的信息，解答以下问题：
〔1〕补全频数分布直方图；
〔2〕该地区共有3000名九年级学生，估计其中身高不低于161cm的人数；
〔3〕估计该地区九年级学生身高不低于151cm的概率．
考点：
频数〔率〕分布直方图；抽样调查的可靠性；概率公式．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据各小组的频数和等于总数即可算出；
〔2〕根据样本估计总体的方法，用总人数乘以样本的频率即可．
〔3〕用身高不低于151cm的人数除以总人数即可得到身高不低于151cm的概率．
解答：
解：〔1〕第三组的学生数为150﹣〔9+18+48+27+15+6〕=27；
如图．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔3分〕
〔2〕身高不低于161cm的人数为：〔人〕．
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔6分〕
〔3〕身高不低于151cm的概率为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔10分〕

点评：
此题主要考查频率的求法，频数分布直方图的画法，以及利用所学统计知识分析数据、解决实际问题的能力．
21．〔12分〕〔2022•广州模拟〕，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别是OC、OD中点．
求证：〔1〕△AOC≌△BOD；
〔2〕四边形AFBE是平行四边形．
考点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
〔1〕利用条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；
〔2〕此题AO=BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE=OF就可以了．
解答：
证明：〔1〕∵AC∥BD，
∴∠C=∠D，
在△AOC和△BOD中
∵．
∴△AOC≌△BOD〔AAS〕；

〔2〕∵△AOC≌△BOD
∴CO=DO．
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴OF=OD，OE=OC，
∴EO=FO 又∵AO=BO．
∴四边形AFBE是平行四边形．
点评：
此题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，防止混用判定方法．
22．〔12分〕〔2022•泰安〕某工厂的甲车间承担了加工2100个机器零件的任务，甲车间单独加工了900个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原方案提前12天完成任务．乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个
考点：
分式方程的应用．菁优网版权所有
分析：
先设甲车间每天加工零件x个，那么乙车间每天加工零件1.5x个，由题意列分式方程即可得问题答案．
解答：
解：设甲车间每天加工零件x个，那么乙车间每天加工零件1.5x个．
根据题意，得，
解之，得x=60，
经检验，x=60是方程的解，符合题意，
1.5x=90．
答：甲乙两车间每天加工零件分别为60个、90个．
点评：
此题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到适宜的等量关系是解决问题的关键．此题需注意应设较小的量为未知数．
23．〔12分〕〔2022•广州模拟〕如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE•PO．
〔1〕求证：PC是⊙O的切线；
〔2〕假设OE=AE=1，求证∠PCA=∠B，并求sin∠PCA的值．
考点：
切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
几何综合题．
分析：
〔1〕连接OC，根据PC2=PE•PO和∠P=∠P，证△PCO∽△PEC，推出∠PCO=∠PEC，求出∠PCO=90°即可；
〔2〕根据PC是⊙O的切线和AB为⊙O的直径，求出∠BCO=∠PCA，推出∠PCA=∠B，求出OE=1，AE=2，OC=OB=OA=3，BE=4，根据勾股定理求出EC=2，求出BC=2，根据sin∠PCA=sin∠B=，代入求出即可．
解答：
〔1〕证明：连接OC，
∵PC2=PE•PO，
∴，
∵∠P=∠P，
∴△PCO∽△PEC，
∴∠PCO=∠PEC，
∵CD⊥AB，
∴∠PEC=90°，
∴∠PCO=90°，且OC为半径，
∴PC是⊙O的切线．

〔2〕解：∵PC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=∠PCO=90°，
∴∠BCO=∠PCA，
又∵OB=OC，
∴∠BCO=∠B，
∴∠PCA=∠B，
∵OE=AE=1，
∴OE=1，AE=2，OC=OB=OA=3，BE=4，
∵CD⊥AB，
∴EC===2，
∴BC===2，
∴sin∠PCA=sin∠B===．

点评：
此题综合考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．
24．〔14分〕〔2022•广州模拟〕如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
〔1〕求NC，MC的长〔用t的代数式表示〕；
〔2〕当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形
〔3〕当t为何值时，射线QN恰好将△ABC的面积平分并判断此时△ABC的周长是否也被射线QN平分．
考点：
直角梯形；三角形的面积；平行四边形的判定．菁优网版权所有
专题：
探究型．
分析：
〔1〕依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC﹣BN=BC﹣AQ=BC﹣AD+DQ，BC、AD，DQ就是t，即解，然后在直角三角形ABC中，由AB与BC的长根据勾股定理可求CA=5，从而得到cos∠NCM==，而cos∠NCM也等于 ，最后把表示出的CN代入即可表示出CM；
〔2〕四边形PCDQ构成平行四边形，根据平行四边形的对边相等得到PC=DQ，列出方程4﹣t=t即解；
〔3〕根据QN平分△ABC的面积，得到三角形CMN的面积等于三角形ABC面积的一半，根据三角形的面积公式，利用表示出的CN与MN的值表示出三角形CMN的面积，让其等于三角形ABC面积的一半，得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，然后把t的值代入表示出的MC与NC中，求出两线段的和，再根据AB、AC与BC的值求出三角形ABC的周长的一半，看与MC和NC两线段的和是否相等，从而判断出此时△ABC的周长是否也被射线QN平分．
解答：
解：〔1〕∵AQ=3﹣t，
∴CN=4﹣〔3﹣t〕=1+t，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42，
∴AC=5，
在Rt△MNC中，cos∠NCM===，CN=1+t，
∴CM===；

〔2〕由于四边形PCDQ构成平行四边形，
∴PC=QD，即4﹣t=t，
解得t=2，
那么当t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形；

〔3〕∵NC=t+1，MN=，
∴S△MNC=NC•MN=×4×3，…〔8分〕
整理得：〔1+t〕2=8，
解得：t1=2﹣1，t2=﹣2﹣1〔舍〕…〔9分〕
∴当t=2﹣1时，△ABC的面积被射线QN平分．…〔10分〕
当t=﹣2﹣1时，MC+NC=+1+t=≠〔3+4+5〕，
∴此时△ABC的周长不被射线QN平分．…〔12分〕
点评：
此题考查了直角梯形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质以及三角形的面积，是一道探究型的题，解答此类题时，可采用逆向思维的方法，视结论为题设，多角度，多侧面去探寻满足题意的值，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用，采用数形结合的思想来解决问题．
25．〔14分〕〔2022•河西区一模〕如图1，抛物线y=x2+x﹣4与y轴交于点A，E〔0，b〕为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C．
〔1〕求点A的坐标；
〔2〕当b=0时〔如图2〕，求△ABE与△ACE的面积．
〔3〕当b＞﹣4时，△ABE与△ACE的面积大小关系如何为什么
〔4〕是否存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形假设存在，求出b；假设不存在，说明理由．
考点：
二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数图象上点的坐标特征；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
〔1〕将x=0，代入抛物线的解析式即可；
〔2〕当b=0时，直线为y=x，解由y=x和y=x2+x﹣4组成的方程组即可求出B、C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出面积；
〔3〕当b＞﹣4时，△ABE与△ACE的面积相等，理由是解由直线和抛物线组成的方程组，即可求出交点的坐标，作BF⊥y轴，CG⊥y轴，垂足分别为F、G，根据点的坐标得到△ABE和△ACE是同底的两个三角形，即可得出答案；
〔4〕存在这样的b，根据全等三角形的判定证△BEF≌△CEG，推出BE=CE，根据直角三角形的性质，当OE=CE时，△OBC为直角三角形，代入即可求出b的值．
解答：
解：〔1〕将x=0，代入抛物线的解析式得：y=﹣4，
得点A的坐标为〔0，﹣4〕，
答：点A的坐标为〔0，﹣4〕．

〔2〕当b=0时，直线为y=x，
由，
解得，，
∴B、C的坐标分别为B〔﹣2，﹣2〕，C〔2，2〕，
，，
答：△ABE的面积是4，△ACE的面积是4．

〔3〕当b＞﹣4时，S△ABE=S△ACE，
理由是：由，
解得，，
∴B、C的坐标分别为：
B〔﹣，﹣+b〕，C〔，+b〕，
作BF⊥y轴，CG⊥y轴，垂足分别为F、G，
那么，
而△ABE和△ACE是同底的两个三角形，
∴S△ABE=S△ACE．答：当b＞﹣4时，△ABE与△ACE的面积大小关系是相等．

〔4〕存在这样的b，
∵BF=CG，∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE=90°，
∴△BEF≌△CEG，
∴BE=CE，
即E为BC的中点，
所以当OE=CE时，△OBC为直角三角形，
∵B〔﹣，﹣+b〕，E〔0，b〕，
∴GE=EF=|﹣〔+b〕+b|==CG
GE=GC=，
∴，而OE=|b|，
∴，
解得b1=4，b2=﹣2，
∴当b=4或﹣2时，△OBC为直角三角形，
答：存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形，b的值是4或﹣2．

点评：
此题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，综合性强．