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第一节 导数的概念及运算
A级·根底过关
|固根基|
1.定积分(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2 B．e＋1
C．e D．e－1
解析：选C (2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，应选C．
2．(2023届福建福州八县联考)函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，那么f(1)＝( )
A．－e B．2
C．－2 D．e
解析：选B 由得f′(x)＝2f′(1)－，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，那么f(1)＝2f′(1)＝2.
3．(2023届湖南娄底二模)f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－，那么函数图象在x＝－1处的切线方程是( )
A．2x－y＋1＝0 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y－1＝0 D．x＋2y－2＝0
解析：选A ∵当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝－.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝(x<0)，∴f′(x)＝，
∴f′(－1)＝2，f(－1)＝－1，
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.应选A.
4．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影局部)，那么该闭合图形的面积是( )
A．1 B．
C． D．2
解析：选B 由联立得x1＝0，x2＝2.
所以S＝(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝－＋x2＝－＋4＝.应选B．
5．(2023届辽宁瓦房店四校联考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，从刹车开始，其速度与时间的关系式为v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)，从开始刹车到停止，汽车行驶的路程(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
解析：选C 由7－3t＋＝0，得t＝4或t＝－(不符合题意，舍去)，故汽车经过4 s后停止，在此期间汽车行驶的路程为s＝dt＝7t－t2＋25ln(1＋t)＝4＋25ln 5.应选C．
6．(2023届山东济宁期末)函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，假设g(x)＝xf(x)，那么g′(1)＝( )
A．3 B．2
C．1 D．
解析：选D 由题意得，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(1)＝f(1)＋f′(1)．∵函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，∴f′(1)＝，f(1)＝1，∴g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝1＋＝.应选D．
7．(2023届广东珠海调研)设函数f(x)＝xsin x＋cos x的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为g(t)，那么函数y＝g(t)的局部图象可以是( )
解析：选A 由f(x)＝xsin x＋cos x，得f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，所以g(t)＝tcos t．因为函数g(t)是奇函数，所以排除选项B、D；又当t∈时，g(t)>0，排除选项C．应选A.
8．(2023届湖北黄冈模拟)直线y＝是曲线y＝xex的一条切线，那么实数m的值为( )
A．－ B．－e
C． D．e
解析：选B 设切点坐标为，对y＝xex求导，得y′＝(xex)′＝ex＋xex，假设直线y＝是曲线y＝xex的一条切线，那么有y′|x＝n＝en＋nen＝0，解得n＝－1，此时有＝nen＝－，∴m＝－e.应选B．
9．(2023届广东深圳二模)函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋是奇函数，那么曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的倾斜角为( )
A. B．
C． D．
解析：选B 由函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，可得a＝0，那么f(x)＝x＋，∴f′(x)＝1－，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率k＝f′(1)＝1－2＝－1，可得所求切线的倾斜角为，应选B．
10．(2023届湖南湘潭模拟)经过(2，0)且与曲线y＝相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A．2 B．
C．1 D．3
解析：选A 设切点为，m≠0，∵y′＝－，∴切线的斜率k＝－，那么切线方程为y－＝－(x－m)，代入(2，0)，可得－＝－(2－m)，解得m＝1，那么切线方程为y－1＝－x＋1，即y＝－x＋2，切线与坐标轴的交点坐标为(0，2)，(2，0)，那么切线与坐标轴围成的三角形面积为×2×2＝2.应选A.
11．(2023届陕西摸底)函数f(x)＝ex＋ax，g(x)＝exln x.
(1)假设对于任意实数x≥0，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当a＝－1时，是否存在实数x0∈[1，e]，使曲线C：y＝g(x)－f(x)在x＝x0处的切线与y轴垂直？假设存在，求出x0的值；假设不存在，说明理由．
解：(1)对于任意实数x≥0，f(x)＝ex＋ax>0恒成立，
当x＝0时，那么a为任意实数，f(x)＝ex＋ax>0恒成立；当x>0时，f(x)＝ex＋ax>0恒成立，即当x>0时，a>，
设H(x)＝－(x>0)，那么H′(x)＝－＝，
当x∈(0，1)时，H′(x)>0，那么H(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，H′(x)<0，那么H(x)在(1，＋∞)上单调递减，
所以当x＝1时，H(x)取得最大值，H(x)max＝H(1)＝－e，那么a>－e.
综上，a的取值范围为(－e，＋∞)．
(2)不存在实数x0∈[1，e]，使曲线C在x＝x0处的切线与y轴垂直．理由如下：
假设曲线C：y＝exln x－ex＋x在x＝x0处的切线与y轴垂直，那么方程M′(x0)＝0在x0∈[1，e]上有实数解，
由题意，得曲线C的方程为y＝exln x－ex＋x.
令M(x)＝exln x－ex＋x，
那么M′(x)＝＋exln x－ex＋1＝ex＋1.
设h(x)＝＋ln x－1，那么h′(x)＝－＋＝，
当x∈[1，e]时，h′(x)≥0，
故h(x)在[1，e]上单调递增，因此h(x)在区间[1，e]上的最小值为h(1)，
又h(1)＝＋ln 1－1＝0，所以h(x)＝＋ln x－1≥0在[1，e]上恒成立，
当x0∈[1，e]时，ex0>0，＋ln x0－1≥0，
所以M′(x0)＝ex0＋1>0.
即方程M′(x0)＝0无实数解，
故不存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝M(x)在x＝x0处的切线与y轴垂直.
B级·素养提升
|练能力|
12.如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选B 根据题意，得f′(x)≥，
那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的斜率k＝tan α≥.
结合正切函数的图象可得α∈.应选B．
13．(2023届山东师大附中高三模拟)f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝e，∀x∈R，2f(x)－f′(x)>0，那么不等式f(x)<e2x－1的解集为( )
A．{x|x<1} B．{x|x>1}
C．{x|x<e} D．{x|x>e}
解析：选B 设F(x)＝，那么F′(x)＝′＝.
因为2f(x)－f′(x)>0，e2x－1>0，所以F′(x)＝<0，即函数F(x)在R上单调递减．
又因为f(1)＝e，所以F(1)＝＝1.
不等式f(x)<e2x－1，即为<1＝，
即F(x)<F(1)，
所以f(x)<e2x－1的解集是{x|x>1}，应选B．
14．设函数f(x)＝2x3＋(a＋3)xsin x＋ax.假设f(x)为奇函数，那么曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A．y＝－x B．y＝－2x
C．y＝－4x D．y＝－3x
解析：选D ∵函数f(x)＝2x3＋(a＋3)xsin x＋ax为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，即2(－x)3＋(a＋3)(－x)·sin(－x)＋a·(－x)＝－2x3－(a＋3)xsin x－ax.
∴a＋3＝0，即a＝－3.
∴f(x)＝2x3－3x，那么f′(x)＝6x2－3.
∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝－3.
∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝－3x，应选D．
15．(2023届陕西摸底)曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与x轴及直线x＝a所围成的三角形面积为，那么实数a＝________．
解析：由y＝x3，得y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.令y＝0，得x＝，那么S＝××|3a－2|＝，解得a＝或a＝1.
答案：或1
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