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考点04 函数概念及其表示
1．函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为( )
A. B．
C．(－1，0)∪ D．(－∞，－1)∪
【答案】D
【解析】.要使函数有意义，需满足解得x＜且x≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，)．
2.已知集合A={x|x2-2x≤0},B={y|y=log2(x+2),x∈A},则A∩B为( )
A.(0,1) B.[0,1]
C.(1,2) D.[1,2]
【答案】D
【解析】由题意,集合A={x|x2-2x≤0}=[0,2],
因为x∈A,则x+2∈[2,4],
所以B={y|y=log2(x+2),x∈A}=[1,2],
所以A∩B=[1,2].故选D.
3．已知函数f(x)＝若f(2 019)＝0，则a＝( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
【答案】B.
【解析】由于f(2 019)＝f(－2 019)＝f(－404×5＋1)＝f(1)＝a＋1＝0，故a＝－1.
4.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( )
A.y=x B.y=lg x
C.y=2x D.y=
【答案】D
【解析】y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞).A项中,y=x的定义域和值域均为R;B项中,y=lg x的定义域为(0,+∞),值域为R;C项中,y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞);D项中,y=的定义域与值域均为(0,+∞).故选D.
5．若函数f(x)满足f(1－ln x)＝，则f(2)等于( )
A. B．e
C. D．－1
【答案】B.
【解析】解法一：令1－ln x＝t，则x＝e1－t，于是f(t)＝，即f(x)＝，故f(2)＝e.
解法二：由1－ln x＝2，得x＝，这时＝＝e，
即f(2)＝e.
6.若函数y=f(x)的值域是[1,3],则函数F(x)=1-f(x+3)的值域是( )
A.[-8,-3] B.[-5,-1]
C.[-2,0] D.[1,3]
【答案】C
【解析】∵1≤f(x)≤3,∴1≤f(x+3)≤3,-3≤-f(x+3)≤-1,∴-2≤1-f(x+3)≤0.故F(x)的值域为[-2,0].
7．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )
A．1 B．
C. D．
【答案】D
【解析】.f＝3×－b＝－b，
当－b≥1，即b≤时，f＝2－b，
即2－b＝4＝22，得到－b＝2，即b＝；
当－b＜1，即b＞时，f＝－3b－b＝－4b，
即－4b＝4，得到b＝＜，舍去．
综上，b＝，故选D.
8. 若任意都有，则函数的图象的对称轴方程为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】令 ，代入则
联立方程得
解方程得=
所以对称轴方程为
解得
所以选A。
9．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
【答案】C
【解析】.对于选项A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于选项B，f(x)＝x－|x|＝
当x≥0时，f(2x)＝0＝2f(x)，当x＜0时，f(2x)＝4x＝2·2x＝2f(x)，恒有f(2x)＝2f(x)；
对于选项D，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)；对于选项C，f(2x)＝2x＋1＝2f(x)－1.
10．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①y＝x－；②y＝x＋；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①
【答案】B
【解析】对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；对于③，f＝
即f＝故f＝－f(x)，满足．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
11.若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(1)=( )
A.2 B.0
C.1 D.-1
【答案】A
【解析】令x=1,得2f(1)-f(-1)=4,①
令x=-1,得2f(-1)-f(1)=-2,②
联立①②,解得f(1)=2.
12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
【答案】B
【解析】.取特殊值法，若x＝56，则y＝5，排除C，D；若x＝57，则y＝6，排除A，选B.
13.已知f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为( )
A.[-1,2] B.[-1,0]
C.[1,2] D.[0,2]
【答案】D
【解析】∵当x≤0时,f(x)=(x-a)2,又f(0)是f(x)的最小值,
∴a≥0.当x>0时,f(x)=x++a≥2+a,当且仅当x=1时取“=”.要满足f(0)是f(x)的最小值,需2+a≥f(0)=a2,即a2-a-2≤0,解之,得-1≤a≤2,综上可知a的取值范围是[0,2].故选D.
14．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为( )
A．－ B．－
C．－或－ D．或－
【答案】B
【解析】.当a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1.
由f(1－a)＝f(1＋a)得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不合题意；当a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－，所以a的值为－，故选B.
15．已知函数f(x)＝的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．[－3，0)
C．[－3，－1] D．{－3}
【答案】B
【解析】当0≤x≤4时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴f(x)∈[－8，1]；当a≤x＜0时，
f(x)＝－为增函数，f(x)∈，
所以⊆[－8，1]，－8≤－＜－1，
∴≤2a＜1.
即－3≤a＜0.
16．设函数y＝f(x)在R上有定义，对于给定的正数M，定义函数fM(x)＝则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M＝1，则fM(0)的值为( )
A．2 B．1
C. D．－
【答案】B
【解析】由题意，令f(x)＝2－x2＝1，得x＝±1，因此当x≤－1或x≥1时，x2≥1，－x2≤－1，∴2－x2≤1，fM(x)＝2－x2；当－1＜x＜1时，x2＜1，∴－x2＞－1，∴2－x2＞1，fM(x)＝1，所以fM(0)＝1，选B.
17．设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A. B．[0，1]
C. D．[1，＋∞)
【答案】C
【解析】.当a＝2时，f(2)＝4，f(f(2))＝f(4)＝24，
显然f(f(2))＝2f(2)，故排除A，B.
当a＝时，f＝3×－1＝1，f＝f(1)＝21＝2.显然f＝2f.故排除D.选C.
18.已知函数f(x)=若a[f(a)-f(-a)]>0,则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【答案】D
【解析】当a>0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为a2+a-3a>0,解得a>2.
当a<0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为-a2-2a<0,解得a<-2.
综上所述,a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞),故选D.
19.已知函数y=(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则loga+loga=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】C
【解析】当a>1,且x∈[0,1]时,1≤ax≤a,所以0≤a-ax≤a-1,所以a-1=1,即a=2.
所以loga+loga=log2=log28=3.
当0<a<1,且x∈[0,1]时, a≤ax≤1,所以a-1≤a-ax≤0,不符合题意.故原式=3.
20.已知f=2x+3,f(m)=6,则m= .
【答案】-
【解析】令x-1=m,则x=2m+2.
∴f(m)=2(2m+2)+3=4m+7.
∴4m+7=6,解得m=-.
21.设函数y=ex+-a的值域为A,若A⊆[0, +∞),则实数a的取值范围是 .
【答案】(-∞,2]
【解析】∵y=ex+-a≥2-a,
∴A=[2-a,+∞)⊆[0,+∞).
∴2-a≥0,a≤2.
22．若f(x)＝，则f(x)的定义域为________．
【答案】
【解析】要使原函数有意义，则log(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，所以－＜x＜0，所以原函数的定义域为.
23．已知函数f(x)＝若f(1)＝，则f(3)＝________．
【答案】
【解析】由f(1)＝，可得a＝，所以f(3)＝＝.
24已知f(x)=若f(1-a)=f(1+a)(a>0),则实数a的值为 .
【答案】1
【解析】∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,由f(1-a)=f(1+a)得2-a=,即a2-2a+1=0,所以a=1.故答案为1.
25．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
【答案】[0，3)
【解析】因为函数y＝的定义域为R，
所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，
即函数y＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．
当a＝0时，函数y＝的图象与x轴无交点；
当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a＜0，解得0＜a＜3.
综上，实数a的取值范围是[0，3)．
26.已知函数f(x)=的值域是[0,+∞),则实数m的取值范围是 .
【答案】[0,1]∪[9,+∞)
【解析】由题意得,函数f(x)=的值域是[0,+∞),则当m=0时,函数f(x)=的值域是[0,+∞),显然成立;当m>0时,则Δ=(m-3)2-4m≥0,解得0<m≤1或m≥9.综上可知,实数m的取值范围是[0,1]∪[9,+∞).
27．已知函数f(x)＝2x＋1与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形，则函数y＝g(x)的解析式为________．
【答案】g(x)＝9－2x
【解析】设点M(x，y)为函数y＝g(x)图象上的任意一点，点M′(x′，y′)是点M关于直线x＝2的对称点，则又y′＝2x′＋1，∴y＝2(4－x)＋1＝9－2x，即g(x)＝9－2x.
28．设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，]
【解析】由题意得或解得f(a)≥－2.
由或
解得a≤.
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