高优指导2021高考数学一轮复习考点规范练33基本不等式及其应用理含解析北师大版.doc

考点规范练33　基本不等式及其应用
　考点规范练A册第22页　 
基础巩固组
1.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有(　　)

A.最大值为0 B.最小值为0
C.最大值为-4 D.最小值为-4
答案:C
解析:∵x<0,∴f(x)=--2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时取等号.
2.(2015郑州模拟)设a>0,b>0.若a+b=1,则的最小值是(　　)
A.2 B. C.4 D.8
答案:C
解析:由题意=2+≥2+2=4,当且仅当,即a=b=时,取等号,所以最小值为4.
3.(2015浙江金华十校模拟)已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
答案:B
解析:由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,
∴m+n=2(a+b)≥4=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).
4.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是(　　)
A. B. C.2 D.
答案:C
解析:由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时,等号成立),
则12xy+3xy≤30,即xy≤2,
故xy的最大值为2.
5.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(　　)
A.80元 B.120元 C.160元 D.240元
答案:C
解析:设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4(m2).容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.
6.(2015西安一中模拟)设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,则的最大值为(　　)
A.2 B. C.1 D.
答案:C
解析:由ax=by=3,.
又a>1,b>1,所以ab≤=3,
所以lg(ab)≤lg 3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立.
7.已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为(　　)
A.5 B.4 C. D.2〚导学号92950823〛
答案:B

解析:约束条件满足的可行域如图中的阴影部分所示.由图可知,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取最小值时,最优解为(2,1).
所以2a+b=2,
则b=2-2a,
所以a2+b2=a2+(2-2a)2
=5a2-8a+20=5+4,
即当a=,b=时,a2+b2有最小值4.
8.已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　　. 
答案:36
解析:由基本不等式可得4x+≥2=4,当且仅当4x=即x=时等号成立,∴=3,即a=36.
9.函数y=(x>1)的最小值为　　　　　. 
答案:2+2
解析:∵x>1,∴x-1>0.
∴y=
=
==x-1++2
≥2+2=2+2.
当且仅当x-1=,即x=1+时,取等号.
10.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价%,若p>q>0,则提价多的方案是　　　　　.〚导学号92950824〛 
答案:乙
解析:设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a.
由于(1+p%)(1+q%)<
=,
故提价多的是方案乙.
11.设a,b均为正实数,求证:+ab≥2.
证明:因为a,b均为正实数,
所以≥2,
当且仅当,即a=b时,等号成立,
又因为+ab≥2=2,
当且仅当=ab时,等号成立,
所以+ab≥+ab≥2,
当且仅当即a=b=时,等号成立.
能力提升组
12.(2015江西三县部分高中一模)已知不等式<0的解集为{x|a<x<b},点A(a,b)在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则的最小值为(　　)
A.4 B.8 C.9 D.12〚导学号92950825〛
答案:C
解析:不等式<0⇔(x+2)(x+1)<0,
解得-2<x<-1.
∴不等式<0的解集为{x|-2<x<-1},
∴a=-2,b=-1.
∵点A(-2,-1)在直线mx+ny+1=0上,
∴-2m-n+1=0,化为2m+n=1.∵mn>0,
∴=(2m+n)=5+≥5+2×2×=9,当且仅当m=n=时取等号.
∴的最小值为9.
13.(2015安徽宿州模拟)已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为(　　)
A.9 B.12 C.18 D.24〚导学号92950826〛
答案:B
解析:因为a>0,b>0,不等式恒成立,
所以m≤.
因为(a+3b)=6+≥6+2=12,
当且仅当a=3b时取等号.所以m的最大值为12.故选B.
14.(2015沈阳四校联考模拟)设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,则的最小值为　　　　　. 
答案:
解析:作出不等式组对应的平面区域如图所示.

由z=ax+by(a>0,b>0)得y=-x+,
则直线的斜率k=-<0,截距最大时,z也最大.
平移直线y=-x+,由图像可知当直线y=-x+经过点A时,
直线y=-x+的截距最大,此时z最大,
由解得
即A(4,6),此时z=4a+6b=6,即+b=1,
∴
=+2
=,
当且仅当,即a=b时取等号,此时b=,a=时取等号.
15.(2015南昌模拟)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　　　　　. 
答案:6
解析:由已知,得xy=9-(x+3y),即27-3(x+3y)=3xy≤(当且仅当x=3y时等号成立),
令x+3y=t,则t2+12t-108≥0,解得t≥6,即x+3y≥6.
16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单位:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(单位:万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1 450(单元:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
解:(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元,
依题意得:当0<x<80时,L(x)=(0.05×1 000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250.
当x≥80时,L(x)=(0.05×1 000x)-51x-+1 450-250=1 200-.
则L(x)=
(2)当0<x<80时,
L(x)=-(x-60)2+950.
此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.
当x≥80时,L(x)=1 200-
≤1 200-2=1 200-200=1 000.
当且仅当x=时,即x=100时,L(x)取得最大值1 000.
因为950<1 000,
所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为1 000万元.〚导学号92950828〛

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