自学考试线性代数至真题模拟和答案.doc

自学考试线性代数至真题和答案

资料仅供参考
全国 7月自学考试线性代数(经管类)试题
课程代码:04184

全国 10月自考《线性代数(经管类)》试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||||表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设行列式=2，则=（ ）
A．-6 B．-3
C．3 D．6
2．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（ ）
A．E+A-1 B．E-A
C．E+A D．E-A-1
3．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）
A．可逆，且其逆为 B．不可逆
C．可逆，且其逆为 D．可逆，且其逆为
4．设1，2，…，k是n维列向量，则1，2，…，k线性无关的充分必要条件是
（ ）
A．向量组1，2，…，k中任意两个向量线性无关
B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l11+l22+…+lkk≠0
C．向量组1，2，…，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示
D．向量组1，2，…，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
5．已知向量则=（ ）
A．（0，-2，-1，1）T B．（-2，0，-1，1）T
C．（1，-1，-2，0）T D．（2，-6，-5，-1）T
6．实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
7．设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是
（ ）
A．+是Ax=0的解 B．+是Ax=b的解
C．-是Ax=b的解 D．-是Ax=0的解
8．设三阶方阵A的特征值分别为，则A-1的特征值为（ ）
A． B．
C． D．2,4,3
9．设矩阵A=，则与矩阵A相似的矩阵是（ ）
A． B．
C． D．
10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ）
A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B．正定矩阵的行列式一定小于零
C．正定矩阵的行列式一定大于零 D．正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11．设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det ((AB)3)=__________．
12．设3阶矩阵A=，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________．
13．设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A-1=__________．
14．实向量空间Rn的维数是__________．
15．设A是m×n矩阵，r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________．
16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．
17．设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，则=__________．
18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．
19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．
20．二次型的正惯性指数是__________．
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式．
22．设矩阵A=，且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵B．
23．设向量组求其一个极大线性无关组，并将其余向量经过极大线性无关组表示出来．
24．设三阶矩阵A=，求矩阵A的特征值和特征向量．

25．求下列齐次线性方程组的通解．

26．求矩阵A=的秩．
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设三阶矩阵A=的行列式不等于0，证明：
线性无关．

全国 10月自考《线性代数(经管类)》答案

全国 10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分)
1．设行列式=1，=-2，则=（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
2．设矩阵A=，则A-1=（ ）
A． B． C． D．
3．设A为m×n矩阵，A的秩为r，则（ ）
A．r=m时，Ax=0必有非零解 B．r=n时，Ax=0必有非零解
C．r<m时，Ax=0必有非零解 D．r<n时，Ax=0必有非零解
4．设4阶矩阵A的元素均为3，则r(A)=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．设1为3阶实对称矩阵A的2重特征值，则A的属于1的线性无关的特征向量个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
6．设A为2阶矩阵，将A的第1行加到第2行得到B，若B=，则A=__________．
7．设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=__________．
8．若向量组线性无关，则数a的取值必满足__________．
9．设向量，则=__________．
10．设A=，b=，若非齐次线性方程组Ax=b有解，则增广矩阵的行列式=__________．
11．齐次线性方程组x1+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为__________．
12．设向量，则的长度=__________．
13．已知-2是矩阵A=的特征值，则数x=__________．
14．已知矩阵A=与对角矩阵D=相似，则数a=__________．
15．已知二次型正定，则实数t的取值范围是__________．
三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16．计算行列式D=.
17．已知向量且，求
（1）数k的值； （2）A10.
18．已知矩阵A=，B=，求矩阵X，使得XA=B.
19．求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.
20．已知齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系为，求r(A)及该齐次线性方程组.
21．设向量组.求一个非零向量，使得与均正交.
22．用配方法化二次型为标准形，并写出所用的可逆性变换.
四、证明题（本题7分）
23．设A是m×n矩阵，证明齐次线性方程组Ax=0与ATAx=0同解.

全国 10月线性代数(经管类)试题答案课程代码：04184
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分)
1-5 BBDAC
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
6． 7．16 8． 9． 10．0 11．2 12．5 13．-4 14．5 15．
三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16．解：.
17．解：（1）因为
（2）A10
18.解：（AT，BT）=

则，故
19．解：

向量组的秩为3，一个极大线性无关组为，且.
20．解：易知n=3，且则r(A)=1
又自由未知量为，则同解方程组为，即为所求方程组.
21．解：设，由于与均正交，则
，系数矩阵

同解方程组为为自由未知量
一个基础解系为，即.
22．解：配方法得，
令 即可逆线性变换为
故标准行为.
四、证明题（本题7分）
23．证明：

10月高等教育自学考试全国统一命题考试
04184线性代数（经管类）试卷
本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。
说明：本试卷中，表示矩阵的转置矩阵，表示矩阵的伴随矩阵，是单位矩阵，表示方阵的行列式，表示矩阵的秩。
一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1. 设3阶行列式=2，若元素的代数余子公式为（i,j=1,2,3)，则 【 】
A. B.0 C.1 D.2
2. 设为3阶矩阵，将的第3行乘以得到单位矩阵，
则=【 】
A. B. C. D.2
3. 设向量组的秩为2，则中 【 】
A. 必有一个零向量
B. B.任意两个向量都线性无关
C.存在一个向量可由其余向量线性表出
D.每个向量均可由其余向量线性表出
4. 设3阶矩阵,则下列向量中是的属于特征值的特征向量为 【 】
A. B. C. D.
5. 二次型的正惯性指数为 【 】
A.0 B.1 C.2 D.3
二、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、
6. 设，则方程的根是
7. 设矩阵,则=
8. 设为3阶矩阵，,则行列式=
9. 设矩阵,,若矩阵满足,则=
10. 设向量,,,则由线性表出
的表示式为
11. 设向量组线性相关，
则数
12. 3元齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数
为
13. 设3阶矩阵满足，则必有一个特征值为
14. 设2阶实对称矩阵的特征值分别为和1，则
15. 设二次型正定，
则实数的取值范围是

三、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16. 计算4阶行列式的值。

17. 已知矩阵，求。

18. 设矩阵,且矩阵满足,求。

19. 设向量
,试确定当取何值时能由线性表出，并写出表示式。

20. 求线性方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。

21. 设矩阵与对角矩阵相似，求数与可逆矩阵，使得。

22. 用正交变换将二次型化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。

四、证明题（本题7分）
23.设向量组线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数使得。

10月高等教育自学考试全国统一命题考试
线性代数（经管类）试题答案及评分参考
（课程代码04184）
一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1. D 2.A 3.C 4.B 5.C
二、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
6. 5
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. ＜＜
三、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16. 解 = ......3分
......9分
17. 解 ......2分
..........7分
从而 ......9分
18. 解 由,得 ......2分
又由可逆 ......5分
由,可得
两边左乘,得到
......9分
19解 设， ......2分
该线性方程组的增广矩阵为
......6分
由于能有线性表出，则必有
此时，方程组有唯一解
表示式为 ......9分
20. 解 方程组的增广矩阵
......2分
可知＜＜4，方程组有无穷多解 ......4分
由同解方程组
求出方程组的一个特解,
导出组的一个基础解系为 ......7分
从而方程组的通解为

为任意常数） ......9分
21. 解 由条件可知矩阵的特征值为 ......2分
由，得 ......4分
对于，由线性方程组求得一个特征向量为

对于，由线性方程组求得两个线性无关的特征向量为

令,则 ......9分
22. 解 二次型的矩阵 ......2分
由
故的特征值为 ......4分
对于，求解齐次线性方程组，得到基础解系

将其单位化，得 ......7分
令,则为正交矩阵，
经正交变换，化二次型为标准形 ......9分
四、 证明题（本题7分）
23. 证 由于向量组线性相关，故存在不全为零的常数，使得
......2分
其中必有。否则，如果，则上式化为
其中不全为零，由此推出线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 ......5分
类似地，可证明 ........7分