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自学考试线性代数至真题和答案资料仅供参考全国 7月自学考试线性代数(经管类)试题课程代码:04184全国 10月自考线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，|表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设行列式=2，则=（ ）A-6B-3C3D62设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（ ）AE+A-1BE-ACE+ADE-A-13设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A可逆，且其逆为B不可逆C可逆，且其逆为D可逆，且其逆为4设1，2，k是n维列向量，则1，2，k线性无关的充分必要条件是（ ）A向量组1，2，k中任意两个向量线性无关B存在一组不全为0的数l1，l2，lk，使得l11+l22+lkk0C向量组1，2，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示D向量组1，2，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5已知向量则=（ ）A（0，-2，-1，1）TB（-2，0，-1，1）TC（1，-1，-2，0）TD（2，-6，-5，-1）T6实数向量空间V=(x, y, z)|3x+2y+5z=0的维数是（ ）A1B2C3D47设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是（ ）A+是Ax=0的解B+是Ax=b的解C-是Ax=b的解D-是Ax=0的解8设三阶方阵A的特征值分别为，则A-1的特征值为（ ）ABCD2,4,39设矩阵A=，则与矩阵A相似的矩阵是（ ）ABCD10以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ）A正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B正定矩阵的行列式一定小于零C正定矩阵的行列式一定大于零D正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。11设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det (AB)3)=_12设3阶矩阵A=，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=_13设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A-1=_14实向量空间Rn的维数是_15设A是mn矩阵，r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为_16非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是_17设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，则=_18设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=_19设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则|Px|=_20二次型的正惯性指数是_三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式22设矩阵A=，且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵B23设向量组求其一个极大线性无关组，并将其余向量经过极大线性无关组表示出来24设三阶矩阵A=，求矩阵A的特征值和特征向量25求下列齐次线性方程组的通解26求矩阵A=的秩四、证明题（本大题共1小题，6分）27设三阶矩阵A=的行列式不等于0，证明：线性无关全国 10月自考线性代数(经管类)答案全国 10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分)1设行列式=1，=-2，则=（ ）A-3 B-1 C1 D32设矩阵A=，则A-1=（ ）A B C D3设A为mn矩阵，A的秩为r，则（ ）Ar=m时，Ax=0必有非零解Br=n时，Ax=0必有非零解Crm时，Ax=0必有非零解Drn时，Ax=0必有非零解4设4阶矩阵A的元素均为3，则r(A)=（ ）A1 B2 C3 D45设1为3阶实对称矩阵A的2重特征值，则A的属于1的线性无关的特征向量个数为（ ）A0 B1 C2 D3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6设A为2阶矩阵，将A的第1行加到第2行得到B，若B=，则A=_7设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=_8若向量组线性无关，则数a的取值必满足_9设向量，则=_10设A=，b=，若非齐次线性方程组Ax=b有解，则增广矩阵的行列式=_11齐次线性方程组x1+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为_12设向量，则的长度=_13已知-2是矩阵A=的特征值，则数x=_14已知矩阵A=与对角矩阵D=相似，则数a=_15已知二次型正定，则实数t的取值范围是_三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16计算行列式D=.17已知向量且，求（1）数k的值； （2）A10.18已知矩阵A=，B=，求矩阵X，使得XA=B.19求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.20已知齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系为，求r(A)及该齐次线性方程组.21设向量组.求一个非零向量，使得与均正交.22用配方法化二次型为标准形，并写出所用的可逆性变换.四、证明题（本题7分）23设A是mn矩阵，证明齐次线性方程组Ax=0与ATAx=0同解.全国 10月线性代数(经管类)试题答案课程代码：04184一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分)1-5 BBDAC二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6 716 8 9 100 112 125 13-4 145 15三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16解：.17解：（1）因为 （2）A1018.解：（AT，BT）= 则，故19解：向量组的秩为3，一个极大线性无关组为，且.20解：易知n=3，且则r(A)=1又自由未知量为，则同解方程组为，即为所求方程组.21解：设，由于与均正交，则，系数矩阵同解方程组为为自由未知量一个基础解系为，即.22解：配方法得， 令 即可逆线性变换为 故标准行为.四、证明题（本题7分）23证明： 10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。说明：本试卷中，表示矩阵的转置矩阵，表示矩阵的伴随矩阵，是单位矩阵，表示方阵的行列式，表示矩阵的秩。一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1. 设3阶行列式=2，若元素的代数余子公式为（i,j=1,2,3)，则 【 】A. B.0 C.1 D.22. 设为3阶矩阵，将的第3行乘以得到单位矩阵，则=【 】A. B. C. D.23. 设向量组的秩为2，则中 【 】A. 必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出4. 设3阶矩阵,则下列向量中是的属于特征值的特征向量为 【 】A. B. C. D.5. 二次型的正惯性指数为 【 】A.0 B.1 C.2 D.3二、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、6. 设，则方程的根是 7. 设矩阵,则= 8. 设为3阶矩阵，,则行列式= 9. 设矩阵,若矩阵满足,则= 10. 设向量,则由线性表出的表示式为 11. 设向量组线性相关，则数 12. 3元齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数为 13. 设3阶矩阵满足，则必有一个特征值为 14. 设2阶实对称矩阵的特征值分别为和1，则 15. 设二次型正定，则实数的取值范围是 三、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16. 计算4阶行列式的值。17. 已知矩阵，求。18. 设矩阵,且矩阵满足,求。19. 设向量,试确定当取何值时能由线性表出，并写出表示式。20. 求线性方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。21. 设矩阵与对角矩阵相似，求数与可逆矩阵，使得。22. 用正交变换将二次型化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。四、证明题（本题7分）23.设向量组线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数使得。 10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码04184）一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1. D 2.A 3.C 4.B 5.C二、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6. 57. 8.9.10.11.12.13.14.15. 三、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16. 解 = .3分 .9分17. 解 .2分 .7分从而 .9分18. 解 由,得 .2分又由可逆 .5分由,可得两边左乘,得到 .9分19解 设， .2分该线性方程组的增广矩阵为 .6分由于能有线性表出，则必有此时，方程组有唯一解表示式为 .9分20. 解 方程组的增广矩阵 .2分可知4，方程组有无穷多解 .4分由同解方程组求出方程组的一个特解,导出组的一个基础解系为 .7分从而方程组的通解为为任意常数） .9分21. 解 由条件可知矩阵的特征值为 .2分 由，得 .4分对于，由线性方程组求得一个特征向量为 对于，由线性方程组求得两个线性无关的特征向量为 令,则 .9分22. 解 二次型的矩阵 .2分由故的特征值为 .4分对于，求解齐次线性方程组，得到基础解系 将其单位化，得 .7分令,则为正交矩阵，经正交变换，化二次型为标准形 .9分四、 证明题（本题7分）23. 证 由于向量组线性相关，故存在不全为零的常数，使得 .2分其中必有。否则，如果，则上式化为其中不全为零，由此推出线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 .5分类似地，可证明 .7分