古典概率模型和几何概率模型.pptx

11.4 1.4 古典概率模型古典概率模型和几何概率模型和几何概率模型 如何确定事件的概率是如何确定事件的概率是概率论中的基本问题概率论中的基本问题 古典概率模型和几何概古典概率模型和几何概率模型是概率论中两种最基率模型是概率论中两种最基本的概率模型，在这两种概本的概率模型，在这两种概率模型下计算事件的概率是率模型下计算事件的概率是本节的主要任务本节的主要任务2一、古典概率模型一、古典概率模型 1 1 只有有限多个基本事件，并记它们为只有有限多个基本事件，并记它们为1,2,，n ；一类最简单的随机试验具有下述特征一类最简单的随机试验具有下述特征:2 2 每个基本事件发生的概率相等，即每个基本事件发生的概率相等，即 这种可等能的概率模型曾经是概率论发展初期的这种可等能的概率模型曾经是概率论发展初期的主要研究对象，谓之为主要研究对象，谓之为古典概率模型古典概率模型，简称为，简称为古古典概型典概型3 古典概型在概率论中有很重要的地位，一方古典概型在概率论中有很重要的地位，一方面是因为它比较简单，许多概念既直观又容易理面是因为它比较简单，许多概念既直观又容易理解，另一方面是因为它概括了许多实际问题，有解，另一方面是因为它概括了许多实际问题，有广泛的应用广泛的应用 对于古典概型下的任何事件对于古典概型下的任何事件A A，若，若A A中所包含中所包含4求概率问题转化为求概率问题转化为计数问题计数问题.排列组合排列组合是计算古典概率的重要工具是计算古典概率的重要工具.基本计数原理基本计数原理1.加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m类方式，类方式，第一类方式有第一类方式有n1种方法，种方法，第二类方式有第二类方式有n2种方法种方法,第第m类方式有类方式有nm种方法种方法.则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1+n2+nm 种方法种方法.特点特点:一步完成一步完成5 例如，某人要从甲地到乙地去例如，某人要从甲地到乙地去,甲地甲地乙地乙地 可以乘火车可以乘火车,也可以乘轮船也可以乘轮船.火车有两班火车有两班轮船有三班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3+2 种方法种方法回答是回答是6基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法.2.乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法.特点：多步完成特点：多步完成 例如例如,A地到地到B地有两种走法地有两种走法,B地到地到C地有三种地有三种走法走法,C地地 到到 D地有四种走法地有四种走法,则则 A地到地到 D 地共有地共有种走法种走法.7特别特别,k=n时称时称全排列全排列排列、组合的定义及计算公式排列、组合的定义及计算公式1.排列排列:从从n个元素中取个元素中取 k个个不同不同元素的排列数为：元素的排列数为：阶乘阶乘 若允许重复若允许重复,则从则从n个元素中取个元素中取 k个元素的个元素的排列数为：排列数为：注意注意82.组合组合:从从n个元素中取个元素中取 k个元素的组合数为：个元素的组合数为：推广推广:n个元素分为个元素分为s组，各组元素数目分别为组，各组元素数目分别为r1,r2,rs的分法总数为的分法总数为9例例7 7 在盒子里有在盒子里有1010个相同的球，分别标上号码个相同的球，分别标上号码1 1，2 2，10 10。从中任取一球，求此球的号码为偶数。从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。的概率。解解 设设m表示所取的球的号码为表示所取的球的号码为m(m=1,2,=1,2,10),10)，则则试验的样本空间为试验的样本空间为S=1,2,10，因此基本事件总因此基本事件总数数n=10。又设又设A表示表示“所取的球号码为偶数所取的球号码为偶数”这一事件，则这一事件，则A=2,4,6,8,10，所以所以A中含有中含有k=5 5个样本点，故个样本点，故 10古典概型的基本类型举例古典概型的基本类型举例古典概率的计算关键在于计算基本事件总古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。数和所求事件包含的基本事件数。由于样本空间的设计可由各种不同的方法，由于样本空间的设计可由各种不同的方法，因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。多样。但可归纳为如下几种基本类型。111、抽球问题、抽球问题 例例8 8 设盒中有设盒中有3个白球，个白球，2个红球，现从盒中任抽个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。个球，求取到一红球一白球的概率。解解 设设A取到一红球一白球取到一红球一白球答:取到一红一白的概率为3/5。12 一般地，设盒中有一般地，设盒中有N个球，其中有个球，其中有M个白个白球，现从中任抽球，现从中任抽n个球，则这个球，则这n个球中恰有个球中恰有k个个白球的概率是白球的概率是13例例9 9 某箱中装有某箱中装有m+n个球，其中个球，其中m个白球，个白球，n个黑球。个黑球。(1)(1)从中任意抽取从中任意抽取r+s个球，试求所取的球中恰好有个球，试求所取的球中恰好有r个白球和个白球和s个黑球的概率；个黑球的概率；解解 试验试验E：从从m+n球中取出球中取出r+s个，每个，每r+s个球构成个球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为的一个基本事件，不同的基本事件总数为设事件设事件A：“所取的球中恰好有所取的球中恰好有r个白球和个白球和s个黑球个黑球”，总共有多少个基本事件呢？总共有多少个基本事件呢？所以，事件所以，事件A发生的概率为发生的概率为14(2)(2)从中任意接连取出从中任意接连取出k+1(k+1m+n)个球，如果每一个球，如果每一个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。解解 试验试验E：从从m+n球中接连地不放回地取出球中接连地不放回地取出k+1个个球每球每k+1个排好的球构成个排好的球构成E的一个基本事件，不同的一个基本事件，不同的基本事件总数为的基本事件总数为 设事件设事件B：“第第k+1个个取出的球是白球取出的球是白球”，由于第由于第k+1个球是白球，可先从个球是白球，可先从m个白球中取一个留个白球中取一个留下来作为第下来作为第k+1个球，一共有个球，一共有 其余其余k个球可以是余下的个球可以是余下的m+n-1-1个球中任意个球中任意k个球的排个球的排列，总数为列，总数为种保留下来的取法，种保留下来的取法，事件事件B所包含的基本事件总数为所包含的基本事件总数为15所以最后所取的球是白球的概率为所以最后所取的球是白球的概率为注：注：P(B)与与k无关，即不论是第几次抽取，抽到白球的无关，即不论是第几次抽取，抽到白球的概率均为概率均为 16 在实际中，有许多问题的结构形式与抽球在实际中，有许多问题的结构形式与抽球问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个，抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个，求求“被抽出的若干个事物满足一定要求被抽出的若干个事物满足一定要求”的概的概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的选率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。而不必过多的交代实际背景。172、分球入盒问题、分球入盒问题解解 设设A：每盒恰有一球，每盒恰有一球，B：空一盒空一盒例例1010 将将3 3个球随机的放入个球随机的放入3 3个盒子中去，问：个盒子中去，问：（1 1）每盒恰有一球的概率是多少？）每盒恰有一球的概率是多少？（2 2）恰好空一盒的概率是多少？）恰好空一盒的概率是多少？18一般地，把一般地，把n个球随机地分配到个球随机地分配到N个盒子中个盒子中去去(n N)，则每盒至多有一球的概率是：则每盒至多有一球的概率是：19例例11 11 设有设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/1/N落在落在N(nN)个盒子中的每一个盒子里，且每个个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：概率：A=某指定的一个盒子中没有球某指定的一个盒子中没有球B=某指定的某指定的n个盒子中各有一个球个盒子中各有一个球C=恰有恰有n个盒子中各有一个球个盒子中各有一个球D=某指定的一个盒子中恰有某指定的一个盒子中恰有m个球个球(mn)解解 把把n个球随机地分配到个球随机地分配到N个盒子中去个盒子中去(nN),),总共总共有有Nn种放法。即基本事件总数为种放法。即基本事件总数为Nn。事件事件A：指定的盒子中不能放球，因此，指定的盒子中不能放球，因此，n个球中的个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的每一个球可以并且只可以放入其余的N-1-1个盒子中。个盒子中。总共有总共有(N1)1)n种放法。因此种放法。因此 20事件事件B：指定的指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n!种放法，因此种放法，因此 事件事件C：恰有恰有n个盒子，其中各有一球，即个盒子，其中各有一球，即N个盒子中任选个盒子中任选出出n个，选取的种数为个，选取的种数为CNn 在这在这n个盒子中各分配一个球，个盒子中各分配一个球，n个盒中各有个盒中各有1 1球球(同上同上)，n!种放法；事件种放法；事件C的样本点总数为的样本点总数为事件事件D：指定的盒子中，恰好有指定的盒子中，恰好有m个球，这个球，这m个球可从个球可从n个球中个球中任意选取，共有任意选取，共有Cnm种选法，而其余种选法，而其余n-m个球可以任意分配到个球可以任意分配到其余的其余的N-1-1个盒子中去，共有个盒子中去，共有(N-1)-1)n-m种，所以事件种，所以事件D所包含的所包含的样本点总数为样本点总数为Cnm(N-1)-1)n-m21某班级有某班级有n 个人个人(n 365)，问至少有两个人的生日在同一天问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？的概率有多大？分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。(1)生日问题：n个人的生日的可能情况，相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天)；(2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车中有n名旅客，它在N个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于n个球分到N个盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；(3)住房分配问题：n个人被分配到N个房间中；(4)印刷错误问题：n个印刷错误在一本具有N页书的一切可能的分布，错误球，页盒子。223.分组问题分组问题例例1212 3030名学生中有名学生中有3 3名运动员，将这名运动员，将这3030名学生平均分成名学生平均分成3 3组，求：组，求：（1 1）每组有一名运动员的概率；）每组有一名运动员的概率；（2 2）3 3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。解解 设设A：每组有一名运动员；每组有一名运动员；B：3名运动员集中在一组名运动员集中在一组23一般地，把一般地，把n个球随机地分成个球随机地分成m组组(nm),要求第要求第 i 组恰组恰有有ni个球个球(i=1,=1,m)，共有分法：共有分法：244.4.随机取数问题随机取数问题例例1313 从从1 1到到200200这这200200个自然数中任取一个个自然数中任取一个,(1)(1)求取到的数能被求取到的数能被6 6整除的概率；整除的概率；(2)(2)求取到的数能被求取到的数能被8 8整除的概率；整除的概率；(3)(3)求取到的数既能被求取到的数既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率。整除的概率。解 N(S)=200,N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25(1),(2),(3)的概率分别为：33/200,1/8,1/2525例例14 全班有全班有50个学生，问至少有两人生日相同的个学生，问至少有两人生日相同的概率为多少？（设一年有概率为多少？（设一年有365天）天）解解事件总数事件总数:有利场合数有利场合数:概率之大有点出乎意料概率之大有点出乎意料.从下表中可以看出从下表中可以看出,当人数超过当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有时，打赌说至少有两人同生日是有利的利的.26 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994有人同生有人同生日的概率日的概率人数人数27*二、几何概率模型二、几何概率模型几何概型几何概型借助于几何度量确定事件的概率，借助于几何度量确定事件的概率，习习惯上称这种概率为惯上称这种概率为几何概率几何概率类似于古典概类似于古典概型的有限性和等可能性，几何概型满足下述型的有限性和等可能性，几何概型满足下述两两个特征：个特征：其几何度量其几何度量度、面积或体积等）大小可用度、面积或体积等）大小可用表示；表示；1 1随机试验的样本空间随机试验的样本空间充满某个区域，充满某个区域，28事件事件A A的概率为的概率为对于几何概型下的任何事件对于几何概型下的任何事件A A，若，若A A对应于对应于中的某中的某个子区域，其几何度量可用个子区域，其几何度量可用表示，则表示，则2 2任意一点落在任意一点落在中任何子区域的概率只中任何子区域的概率只与与其几何度量有关，并与之成正比其几何度量有关，并与之成正比29例例1.121.12 某地铁车站每隔某地铁车站每隔5 5分钟有一列车通分钟有一列车通过，乘客到达车站的时刻是随机的，求一位乘过，乘客到达车站的时刻是随机的，求一位乘客候车时间不超过客候车时间不超过3 3分钟的概率分钟的概率记记A=A=候车时间不超过候车时间不超过3 3分钟分钟 则则 这里这里和和分别表示分别表示A A和和的长度的长度解解 设设x x为乘客到达车站的时刻，则样本空为乘客到达车站的时刻，则样本空间间30例例1.11.1 在区间（在区间（0,10,1）中随机地取两个数，）中随机地取两个数，求两数之差的绝对值小于求两数之差的绝对值小于1/21/2的概率的概率1A1解解 设设x x，y y为所取的两个数，则样本空间为所取的两个数，则样本空间记记31这里这里和和分别表示分别表示A A和和的面积的面积则则（a a为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，求原点区域的概率与该区域的面积成正比，求原点的概率的概率 例例1.141.14 随机地向半圆随机地向半圆 和该点的连线与轴的夹角小于和该点的连线与轴的夹角小于 解解 过原点作线段过原点作线段OCOC，使其与，使其与x x轴的夹角轴的夹角 为为 32记图中阴影部分区域为记图中阴影部分区域为D D，所求概率为所求概率为 其面积为其面积为