专题6-面积问题-教师版-03.doc

专题6-面积问题-教师版-03

20. （2012内蒙古呼和浩特12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC与△ABE的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵点A（﹣2，2）在双曲线上，∴k=﹣4。∴双曲线的解析式为。
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，∴设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1。
∴抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过点A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0）。
∴，解得：。∴抛物线的解析式为。
（2）∵抛物线的解析式为，
∴顶点E（），对称轴为x=。∵B（1，﹣4），∴﹣x2﹣3x=﹣4，解得：x1=1，x2=﹣4。∴C（﹣4，﹣4）。∴S△ABC=×5×6=15，由A、B两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线AB的解析式为：y=﹣2x﹣2。设抛物线的对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为（，1）。
∴EF=。∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3=。
（3）S△ABE=，∴8S△ABE=15。∴当点D与点C重合时，显然满足条件，当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其直线解析式为y=﹣2x﹣12。令﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x，解得x1=3，x2=﹣4（舍去）。
当x=3时，y=﹣18，故存在另一点D（3，﹣18）满足条件。综上所述，可得点D的坐标为（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）。
22. （2012湖北咸宁12分）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．
（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，?
（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．

【答案】解：（1）∵，∴。∴Rt△CAO∽Rt△ABE。
∴，即，解得。
（2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：，。
当0＜＜8时，，解得。
当＞8时，，解得，（为负数，舍去）。
当或时，。
（3）过M作MN⊥x轴于N，则。当MB∥OA时，BE=MN=2，OA=2BE=4。
∵，∴抛物线的顶点坐标为（5，）。
∴它的顶点在直线上移动。∵直线交MB于点（5，2），交AB于点（5，1），
∴1＜＜2。∴＜＜。
23. （2012湖北荆州12分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

【答案】解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），D（﹣1，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）。
将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1。∴抛物线的解析式为y=－（x﹣3）（x+1），即y=﹣x2+2x+3。
又∵y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4，∴点B（1，4）。
（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°，。在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，。∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°。∴AB是△ABE外接圆的直径。
在Rt△ABE中，，∴∠BAE=∠CBE。
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°，即CB⊥AB。
∴CB是△ABE外接圆的切线。
（3）存在。点P的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣）。
（4）设直线AB的解析式为y=kx+b．将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得。
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6。过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）。情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G。则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHD∽△FHM，得，即，解得HK=2t。∴
=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=﹣t2+3t。
情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V。
由△IQA∽△IPF，得．即，解得IQ=2（3﹣t）。∴
=×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣（3﹣t）2=（3﹣t）2=t2﹣3t+。综上所述：。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。
【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。
（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，从而得证。
（3）在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形。
①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3， 即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE，
满足△DEO∽△BAE的条件。因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）。
②DE为短直角边时，P2在x轴上。若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似∠DEP2=∠AEB=90°sin∠DP2E=sin∠BAE=。而DE=，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9。即P2（9，0）。
③DE为长直角边时，点P3在y轴上。若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，
则∠EDP3=∠AEB=90°cos∠DEP3=cos∠BAE=。则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷，OP3=EP3﹣OE=。即P3（0，﹣）。综上所述，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）。
（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个五边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。
24. （2012湖南郴州10分）阅读下列材料：我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：d= ．

例：求点P（1，2）到直线的距离d时，先将化为5x－12y－2=0，再由上述距离公式求得d= ．
解答下列问题：如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线上的一点M（3，2）．（1）求点M到直线AB的距离．
（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）将化为4x＋3y＋12=0，，由上述距离公式得：d= 。
∴点M到直线AB的距离为6。
（2）存在。设P（x，），则点P到直线AB的距离为：d= 。
由图象，知点P到直线AB的距离最小时x＞0，＞0，
∴d= 。∴当时，d最小，为。
当时，，∴P（，）。又在中，令x=0，则y=－4。
∴B（0，－4）。令y=0，则x=－3。∴A（－3，0）。∴AB==5。∴△PAB面积的最小值为 。
25. （2012湖南怀化10分）]如图，抛物线m：与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为,将抛物线m绕点B旋转，得到新的抛物线n,它的顶点为D.
（1）求抛物线n的解析式；
（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF.如果P点的坐标为，△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由.

【答案】解：（1）∵抛物线m的顶点为，∴m的解析式为=。
∴。∵抛物线n是由抛物线m绕点B旋转得到，∴D的坐标为。
∴抛物线n的解析式为：，即。
（2）∵点E与点A关于点B中心对称，∴E。设直线ED的解析式为，则，
解得。∴直线ED的解析式为。又点P的坐标为，
∴S==。∴当时，S有最大值。
但，∴△PEF的面积S没有最大值 。
（3）直线CM与⊙G相切。理由如下：
∵抛物线m的解析式为，令得。∴。
∵抛物线m的对称轴与轴的交点为G，∴OC=4，OG=3，。
∴由勾股定理得CG=5。又∵AB=10，∴⊙G的半径为5，∴点C在⊙G上。
过M点作y轴的垂线，垂足为N，则。
又，∴。
∴根据勾股定理逆定理，得∠GCM=900。∴。∴直线CM与⊙G相切。
26. （2012湖南娄底10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．（1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．

【答案】解：（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°。∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=∠FED=60°。
科网]∴∠MDB=∠NEC=120°。∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°。∴△BMD∽△CNE。
（2）过点M作MH⊥BC，∵以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，∴MH=MF。设BD=x，
∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°。∵∠B=30°，∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°﹣30°=30°=∠B。∴DM=BD=x。
∴MH=MF=DF﹣MD=4﹣x。在Rt△DMH中，
sin∠MDH=sin60°=，.Com]解得：x=16﹣8。
∴当BD=16﹣8时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切。
（3）过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，∵AB=AC，
∴BK=BC=×8=4。∵∠B=30°，∴AK=BK•tan∠B=4×。
∴S△ABC=BC•AK=×8×。由（2）得：MD=BD=x
∴MH=MD•sin∠MDH=x，∴S△BDM=•x•x=x2。
∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x。
∵△BMD∽△CNE，∴S△BDM：S△CEN=。∴S△CEN=（4﹣x）2。
∴y=S△ABC﹣S△CEN﹣S△BDM=﹣x2﹣（4﹣x）2=﹣x2+2x+
=﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4）。∴当x=2时，y有最大值，最大值为。
27. （2012湖南湘潭10分）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

【答案】解：（1）∵B（4，0）在抛物线的图象上∴，即：。
∴抛物线的解析式为：。
（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）。∴OA=1，OC=2，OB=4。∴。
又∵OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB。∴∠OCA=∠OBC。∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°。
∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径。
∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）。[来源:学科网ZXXK]
（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2。设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=，即： x2﹣4x﹣4﹣2b=0，
且△=0。∴16﹣4×（﹣4﹣2b）=0，解得b=4。∴直线l：y=x﹣4。∵，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大。∴点M是直线l和抛物线的唯一交点，有：
，解得：。∴ M（2，﹣3）。
28. （2012辽宁沈阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(－2，0)，点B坐标为 （0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x2+mx+n的图象经过A，C两点.（1） 求此抛物线的函数表达式；
（2） 求证：∠BEF=∠AOE；（3） 当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.

【答案】解：（1）∵A （－2， 0）， B （0， 2），∴OA=OB=2 。∴AB2=OA2+OB2=22+22=8。∴AB=2。
∵OC=AB，∴OC=2， 即C （0， 2）。∵抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点，得
，解得：。∴抛物线的表达式为y=－x2－x+2。
（2）证明：∵OA=OB，∠AOB=90° ，∴∠BAO=∠ABO=45°。又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ，∴∠BEF=∠AOE。
（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论：①当OE=OF时， ∠OFE=∠OEF=45°，
在△EOF中， ∠EOF=180°－∠OEF－∠OFE=180°－45°－45°=90°。
又∵∠AOB＝90°，则此时点E与点A重合， 不符合题意， 此种情况不成立。
②如图①， 当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°。在△EOF中，
∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°，∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°。∴EF∥AO。
∴ ∠BEF=∠BAO=45° 。又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°，∴∠BEF=∠ABO。
∴BF=EF。∴EF=BF=OF=OB=×2＝1 。∴ E(－1， 1)。
③如图②， 当EO=EF时， 过点E作EH⊥y轴于点H ，
在△AOE和△BEF中，∵∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF， ∴△AOE≌△BEF（AAS）。∴BE=AO=2。
∵EH⊥OB ，∴∠EHB=90°。∴∠AOB=∠EHB。∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。
在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45° ，∴EH=BH=BEcos45°=2×=。
∴OH=OB－BH=2－2。∴ E(－， 2－)。
综上所述， 当△EOF为等腰三角形时，点E坐标为E(－1， 1)或E(－， 2－)。
（4） P(0， 2)或P （－1， 2）。
【分析】（3）分OE=OF，FE=FO，EO=EF三种情况讨论即可。
（4）假设存在这样的点P。当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E(－， 2－)。
如图④所示，过点E作EH⊥y轴于点H，则OH=FH=2－。由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF。过点F作FN∥x轴，交PG于点N。易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG。
依题意，可得S△EPF=（）S△EDG=（）S△EFN，∴PE：NE=。
过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2－。
∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE=。∴PT=（）ST=（）（2－）=3－2。
∴PM=PT+TM=2，即点P的纵坐标为2。∴2=－x2－x+2，解得x1=0，x2=－1。
∴P点坐标为(0， 2)或（－1， 2）。综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（）倍，点P的坐标为(0， 2)或（－1， 2）。
29.如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，2)、D(0，3)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60º．(1)点B的坐标是 ，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

【答案】解：（1）（6，2）。 30。（3，3）。
（2）当0≤x≤3时，如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得，∴EF=（3+x），
此时重叠部分是梯形，其面积为：当3＜x≤5时，如图2，

当5＜x≤9时，如图3，

当x＞9时，如图4，
。
综上所述，S与x的函数关系式为：
。
30. （2012四川眉山11分） 已知：如图，直线与x轴交于C点， 与y轴交于A点，B点在x
轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；
（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

【答案】解：（1）∵直线与x轴交于C点， 与y轴交于A点，
∴令y=0，得x=－1；令x=0，得y=3。∴A（0，3），C（－1，0）。
∵△OAB是等腰直角三角形，∴OB=OA=3。∴B（3，0）。
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为，
把A（0，3）代入，得，解得。
∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即。
（2）设AB所在直线的解析式为， 则，解得。
∵直线CD∥AB，∴设直线CD的解析式为。将C（－1，0）代入得，解得。
∴直线CD的解析式为。联立，解得。∴D点的坐标为（4，－5）。
（3）有。过点P作PH⊥x轴于点H，设P，则
当时，。
∴当P时，△PAB的最大面积为。

31. （2012西藏区8分）如图，在⊙O中，弦BC 垂直于半径OA，垂足为E ，D 是优弧BDC 上一点，
连接BD、AD、OC ，∠ADB＝300 。（1）求∠AOC 的度数；( 2 分）
（2）若弦BC = 6cm，求图中阴影部分的面积。( 6 分）

【答案】解：（1）∵BC⊥OA，∴BE=CE，。又∵∠ADB=30°，∴∠AOC=∠AOB=2∠ADB。∴∠AOC=60°。
（2）∵BC=6，∴CE=BC=3。在Rt△OCE中，，
∴。连接OB，∵，∴∠BOC=2∠AOC=120°。
∴ 。
33.（2012广西梧州10分）如图，抛物线的顶点为A，对称轴AB与x轴交于点B.
在x轴上方的抛物线上有C、D两点，它们关于AB对称，并且C点在对称轴的左侧，CB⊥DB。
（1）求出此抛物线的对称轴和顶点A的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找出点Q，使它到A、C两点的距离相等，并求出点Q的坐标；
（3）延长DB交抛物线于点E，在抛物线上是否存在点P，使得△DEP的面积等于△DEC的面积，若存
在，请你直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
【提示：抛物线的对称轴为，顶点坐标为】

【答案】解：（1）∵∴此抛物线的对称轴为x=6，顶点A的坐标（6，6）。
（2）过C作CG⊥x轴于G，CD交AB于点J。∵C、D关于AB对称，∴BC=BD，CD∥x轴。又∵CB⊥DB，
∴△BCD是等腰直角三角形。∴∠DCB=∠CBO=45°。∴△BCG为等腰直角三角形。∴GB=GC。
设C的横坐标为a，则GC=GB=6–a。将C（a，6–a）代入得6–a= –a2+12a–30，解得，a=4，a=9（不符合题意，舍去）。
∴C（4，2）。设Q（6，m）则AQ=6–m，CQ=。
∵AQ=CQ，∴=6–m，解得m=。∴Q（6，）。
（3）存在。P1（7，5）；P2（）；P3（）。
34.（2012四川遂宁10分）已知：如图，AB是⊙O的直径，D是弧的中点，弦AC与BD相交于点E，AD=,DE=2.(1)求直径AB的长
(2)在图2中，连接DO，DC，BC. 求证：四边形BCDO是菱形(3)求图2中阴影部分的面积。

【答案】解：（1）∵D是弧的中点，∴∠DAC=∠B。
∵∠ADE=∠BDA，∴△ADE∽△BDA。∴。∴。
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。在Rt△ABD中，由勾股定理，得。
（2）在Rt△ABD中，AB=2 AD，∴∠ABD=30°, ∠DAB=60°。∴∠ABD=∠DAC=∠CAB=30°。∴CD=BC。
∵在Rt△ABC中, ∠CAB=30°，∴AB=2 BC。∴OB=OD=BC=CD。∴四边形BCDO是菱形。
（3）菱形BCDO的面积：S=，扇形BCD的面积: ，
∴