高考数学艺体生好题突围系列基础篇专题12立体几何.doc

专题12 立体几何

三视图
【背一背基础知识】
1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；
正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；
侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；
正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；
注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.
（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。
3.直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．
一般地，若俯视图中出现圆，则该几何体可能是球或旋转体，若俯视图是多边形，则该几何体一般是多面体；若主视图和左视图中出现三角形，则该几何体可能为椎体。
2.典型例题
例1已知三棱锥的俯视图与侧(左)视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧(左)视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为(　　)

【答案】C

例2已知一个三棱锥的正(主)视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧(左)视图的面积为(　　)

A. 　　　　
B.　　　　
C．1　　　　
D.
【答案】B

例3如图，若一个空间几何体的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的表面积是(　　)

A．1＋ B．2＋2 C. D．2＋
【答案】D

【练一练趁热打铁】
1. 如图1是一个几何体的三视图．若它的体积是3，则a＝________.

【答案】

2. 一个几何体的正(主)视图和俯视图如图2所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，且圆与三角形内切，则侧(主)视图的面积为(　　)

A．6＋π B．4＋π C．6＋4π D．4＋4π
【答案】A

3.如图,三棱柱的棱长为2,底面是边长为2的正三角形,,正视图是边长为2的正方形,俯视图为正三角形,则左视图的面积为（ ）
A．4 B． C． D．2

【答案】C

几何体的表面积和体积

【背一背基础知识】
1. .柱体、锥体、台体和球的表面积与体积
(1)表面积公式 (2)体积公式
①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)； ①柱体的体积V＝Sh；
②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)； ②锥体的体积V＝Sh；
③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)； ③台体的体积V＝(S′＋＋S)h；
④球的表面积S＝4πR2 ④球的体积V＝πR
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在。求三棱锥的体积，等积转化法是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上。
2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解。
3.典型例题
例1．一个几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积为________．

【答案】
【分析】由三视图可以知道该几何体是圆柱与长方体的组合体，要分别求出体积加和.
例2 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为(　　)

A．4π B．12π C．2π D．4π
【答案】A
【练一练趁热打铁】
1.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .
【答案】
【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，底面积为s.体积为V，则有，所以底面面积，所以.
2.三棱锥的侧棱两两垂直且长度分别为2cm，2cm，1cm，则其外接球的表面积是　cm2．
【答案】

异面直线所成角

【背一背基础知识】
1.异面直线的定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线
2.异面直线所成的角的范围：．
3.异面直线的判定方法：
4异面直线所求的角的求法：①平移法→构造三角形→解三角形→余弦定理
⑵平移→
【讲一讲基本技能】
1.必备技能:异面直线的平移方法常见的有三种平移方法：直接平移，中位线平移（尤其是图中出现了中点）
补形平移 “补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处
理，利用 “补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
2.典型例题
例1．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．

【答案】

例2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．

(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．
【答案】（1）见证明过程；（2）.

【练一练趁热打铁】
1. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．
【答案】

2. 如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为 .

【答案】

(1) 选择题（12*5=60分）
1.一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为(　　)

A．8＋
B．8＋
C．8＋
D．8＋
【答案】A

2.某几何体的正视图和侧视图均如图1－1所示，则该几何体的俯视图不可能是(　　)

图1－1
【答案】C

3.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(　　)

A．28＋6
B．30＋6
C．56＋12
D．60＋12
【答案】B

4.在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝2.△ABC是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
5.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是( )
A．　 B． C． D．

【答案】B
【解析】还原为几何体是一个球与圆柱的组合体，由三视图知球的半径为1，圆柱的底面圆半径为1，高为3，所以.
6.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（　　）

A． B． C． D．

7.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(　　)
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】C
8．将正方体(如图1－3①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为(　　)

图1－3
【答案】B　
【解析】 分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知对应的左视图应该为B.
9.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A.π B．4π C．4π D．6π
【答案】B
【解析】 由题意，球的半径为R＝＝，所以球的体积为V＝πR3＝4π.故选B.
10.下图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（ ）

A．72 B．36 C．24 D．12
【答案】D

11.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
12．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B

(2) 填空题（4*5=20分）
13.某几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积等于________．

【答案】56

14.如图1－3所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．

【答案】
【解析】本题考查棱锥的体积公式，VA－DED1＝VE－DD1A＝××1×1×1＝.
15．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．
【答案】
【解析】依题意有，三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC·PA＝××22×3＝.
16．四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的表面积为________．

【答案】(2＋)a2

14