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不确定环境下供应链的生产与订购决策问题不确定环境下供应链的生产与订购决策问题 【摘要摘要】本文主要研究如何在不确定环境下进行供应链的生产与订购决策，属于线性优化问题。通过对各种不确定因素的分析，得出以下结论：（1 1）实际生产量随机波动，市场需求量确定；最优订购量 最优计划生产量 生产商利润 销售商利润 总利润 模型二 400 407 9043 6825 15868 模型三 400 409 9130 6847 15987 模型一建立不科学，数据未被采纳；模型二通过建立等概率分布模型，运用 Matlab、Lindo 等工具得出；模型三通过建立穷举模型，运用 C 语言进行编程，得出结果。（2 2）实际生产量、市场需求随机波动；最优订购量 最优计划生产量 生产商利润 销售商利润 总利润 模型一 400 410 8049 5839 13888 模型二 400 419 9163 6735 15898 此问模型一继续使用等概率分布方法，实现过程是对（1）中模型二的继承与发展；同理，模型二是对（1）中模型三的再次运用。（3 3）两级实际生产量随机波动，市场需求量稳定；最优订购量 最优计划生产量 一级生产商利润 二级生产商利润 总利润 398 406 10435 11740 22640 本题继续沿用问题一中的模型二，根据实际存在的两级不确定因素，采用控制变量的方法，分别确定各级不确定因素对本决策的影响，通过分析不确定因素对决策的影响特征，确定最优决策，结果如上。（4 4）本问题是对问题三的进一步讨论。这里我们采用与问题二相类似的方法，即通过在市场需求波动范围内对市场需求的不同取值，用上述处理问题三的方法，分别求出相应的最优决策，然后用求等概率期望值的方法，求出本题在本文假设下的最优决策，实际数据在本文不做处理。【关键字关键字】线性规划 等概率分布 期望值 控制变量法 1 一、一、问题重述问题重述 1.11.1 问题背景问题背景 供应链管理是一种适应市场全球化和客户需求多样化而产生的一种管理技术，它强调供应链上各企业及其活动的整体集成，从而可更好地协调供应链上各企业间多种不确定因素之间的关系，以量化的手段给企业的各项分析和决策活动以支持，有效地协调和控制供应链上物料流、信息流、价值流，保持灵活和稳定的供需关系，使整个供应链上企业效益最大化。为了更好地实施供应链管理技术，研究供应链建模技术，明确企业生产和需求的不确定性，建立相应的供应链运作参考模型以实现供应链的优化是十分必要的。1 1.2 2 问题提出问题提出 供应链是一个复杂的系统，它包含多个节点企业，从商品生产商、各级销售商直至市场需求，构成了一个长长的具有层次的链，这里更是包含了诸多的不确定因素。因此，在不确定环境下研究供应链的生产和订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。根据建立的数学模型，求解供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量:（1）当计划生产量随机波动，市场需求量一定时，确定销售商最优订购量和生产商最优计划量:单位商品生产成本为 20，单位商品库存成本为 5，单位商品批发缺货成本（即由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为 15，单位商品销售缺货成本（即由于销售商的供应量不足客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为25，单位商品批发价格为 40，单位商品销售价格为 60，商品市场需求量为 400。商品生产量的波动区间为0.85,1.15，即若生产商计划生产量为 Q，则产品实际产量的区间为0.85Q,1.15Q；（2）当计划生产量、市场需求量均随机波动时，确定销售商最优订购量和生产商最优计划量:单位商品生产成本为 20，单位商品库存成本为 5，单位商品批发缺货成本（即由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为 15，单位商品销售缺货成本（即由于销售商的供应量不足客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为25，单位商品批发价格为 40，单位商品销售价格为 60。商品市场需求量的期望为 400，市场需求量的波动区间为0.8,1.2，即实际市场需求量的区间为320,480。商品生产量的波动区间为0.85,1.15，即若生产商计划生产量为 Q，则产品实际产量的区间为0.85Q,1.15Q；（3）在两级生产不确定性的供应链环境下，当两级生产量均不确定时，确定二 2 级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划量:单位原产品生产成本为 20，单位原产品库存成本为 5，单位原产品缺货成本（即由于一级生产商的供应量不足二级生产商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为 15，单位产成品生产加工成本为 10，单位产成品库存成本为 7，单位产成品缺货成本（即由于二级生产商的供应量不足市场的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为30，二级生产商投入单位原产品产出产成品数量为 0.7（比如煤炭供应链中，洗煤厂入洗 1 吨原煤，产出 0.7 吨精煤），原产品价格为 40，产成品价格为 95，产成品市场需求量为 280。原产品生产量的波动区间为0.85,1.15，产成品生产量的波动区间为0.9,1.1。基于问题（3），在两级生产不确定的供应链中，如果产成品的市场需求量也是一个随机变量，如何改进你所建立的数学模型，确定二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。二二 模型假设模型假设 2 2.1.1 问题（问题（1 1）、（）、（2 2）模型假设与约定模型假设与约定 库存成本：只存在于生产商未批发出的商品、销售商未销售出的商品之中；生产成本：成本项中考虑了采购成本、运输成本、制造成本等，不再考虑除库存成本以外的其他成本；利润最优：当生产商的利润和销售商的利润之和达到最大时，为利润最大值，销售商的订购量和生产商的计划产量有最优解，同时满足生产商和销售商的利润均为正值；假设订购的商品全部卖出；不考虑配送量限制、产能限制、库存量限制以及运输时间限制等；多余订购量的实际生产量、多于市场需求的订购量同样计入生产成本；采用等概率分布模型求解。2 2.2.2 问题（问题（3 3）模型假设与约定）模型假设与约定 生产成本：成本项中考虑了采购成本、运输成本、制造成本等，不再考虑除库存成本以外的其他成本；利润最优：当生产商的利润和销售商的利润之和达到最大时，为利润最大值，销售商的订购量和生产商的计划产量有最优解，同时满足生产商和销售商的利润均为正值；不考虑配送量限制、产能限制、库存量限制以及运输时间限制等；多余订购量的实际生产量、多于市场需求的订购量同样计入生产成本；采用控制变量法建立模型求解；3 三、符号说明三、符号说明 3.1 3.1 问题（问题（1 1）的符号说明）的符号说明 表表 3.3.1 1.1.1 模型模型（1 1）、（）、（2 2）重要符号说明重要符号说明 名称名称 符号符号 单位商品生产成本 a 单位商品库存成本 b 单位商品批发缺货成本 d 单位商品销售缺货成本 e 单位商品批发价格 m 单位商品销售价格 n 销售商订购量 P 生产商计划生产量 Q 生产量波动系数 0.85,1.15cQ 生产商实际生产量 cQQ 销售商的销售量 R 市场需求量 S 生产商的利润函数,f P Q 销售商的利润函数,g P Q 总利润函数(,)h P Q 3.2 3.2 问题（问题（2 2）的符号说明）的符号说明 问题（2）的符号在问题（1）的基础上，加一个市场需求波动的程度，用CS表示，即：市场需求量与市场需求波动的期望值 S 的关系为CS S。CS为一随机变量，0.8,1.2cS 3.3 3.3 问题（问题（3 3）的符号说明）的符号说明 4 表表 3.3.23.3.2 问题（问题（3 3）重要符号说明）重要符号说明 名称名称 符号符号 原产品生产成本 a 一级生产商库存成本 b 二级生产商库存成本 c 一级生产商缺货成本 d 二级生产商缺货成本 e 原产品加工成本 f 原产品销售价格 m 产成品销售价格 n 市场需求 S 二级生产商获得原产品 T 二级生产商生产产成品 W 原产品计划订购量 P 二级生产商实际生产的成品数与加工的原产品数的比例 cP 原产品计划生产量 Q 原产品生产量的波动系数 0.85,1.15cQ 产成品的销售量 R 产成品生产量的波动系数 0.9,1.1cR 生产商的利润函数,f P Q 销售商的利润函数,g P Q 总利润函数(,)h P Q 5 四、四、问题分析问题分析 在不确定环境下对供应链各个环节进行准确的预测，是制定相应生产与订购决策问题的重要依据，同时对企业的发展和盈利有着巨大的作用。预测是控制和规划的基础，预测的精度是生产和订购决策的前提，预测方法的好坏是预测精度的关键。这个线性规划问题的目标是实现利润最优，决策受到以下几个因素影响：市场需求量，各级生产商的实际生产量等，同时销售商的订购量影响甚至决定生产商的计划产量 4.1 4.1 问题（问题（1 1）分析）分析 为了求出在生产商品量的不稳定前提下的最优解，将生产商、销售商和市场抽象为结点，将它们之间对应的各种关系抽象为各自之间关系的有向线段，构造成关于生产营销关系的有向网络图，用线段边上的信息表明之间存在的联系。图图 4.1.14.1.1 问题（问题（1 1）生产营销关系网络图生产营销关系网络图 按照题目所给，将决策变量、目标函数、和约束条件用数学符号及式子表示出来，然后用 LINDO 求解即可求出最优解。又由题意：生产商制定的实际产量随计划产量随机波动，为消除这一随机因素的影响，我们采用求数学期望的方法，具体可见模型求解。4.2 4.2 问题（问题（2 2）分析）分析 本问题是在问题一得基础上进行了进一步的讨论，即考虑市场需求的随机变化量 S 对决策的影响。因此，我们仍可使用问题一中建立的优化模型，但要对其进行修正，即将市场需求量看作随机值，通过求取不同的市场需求量对应的最佳决策的期望值来确定本线性规划问题的最优解。4.4.3 3 问题（问题（3 3）分析）分析 与问题（1）类似，本问题也是一个不确定环境下供应链的生产与订购决策问题，显然本题与问题（1）的区别为存在两级生产不确定性。对此我们采用控 6 制变量的方法，通过先确定一级生产商的生产不确定性，研究二级生产商的生产不确定性与最佳决策之间的关系，然后再确定二级生产商的生产不确定性，研究一级生产商的生产不确定性与最佳决策之间的关系，最后通过综合分析这两种情况下的关系，得到最佳决策。根据题意，我们做出一级生产商和二级生产商之间的关系图，如下图所示：图图 4.3.14.3.1 生产营销关系网络图生产营销关系网络图 按照题目所给，将决策变量、目标函数、和约束条件用数学符号及式子表示出来，然后用 LINDO 求解即可求出最优解。具体可见模型求解。五、五、模型建立与求解模型建立与求解 5.1 5.1 问题（问题（1 1）模型建立与求解）模型建立与求解 设(,)f P Q为生产商获得的利润，(,)g P Q为销售商获得的利润，(,)h P Q为生产商和销售商获得的总利润，于是 (,)(,)(,)h P Qf P Qg P Q (5 5.1.1).1.1)同时为满足共同获利的原则，销售商和生产商获得的利润均不小于 0，即：,f P Q0,g P Q0 (5 5.1.2)1.2)从图图 4 4-1 1 决策受到的各种影响之间的关系中，我们知道市场需求量S影响销售商对商品的订购量P，销售商对商品的订购量P又影响生产商的生产计划Q，生产商的生产计划Q与实际产量之间又有CQ倍的关系，而销售量又与实际产量和销售商对商品的订购量P有关。结合以上关系，我们可以求得目标函数中,f P Q和,g P Q的表达式，进而确定目标函数。根据,f P Q和,g P Q的表 7 达式确立的条件，我们可以得出相应的约束条件。到此，我们已经确立了此线性规划问题的决策变量、目标函数、和约束条件，用 LINDO 软件即可轻松求得此线性规划问题的最优解，最后进行模型检验即可。由于本问题中存在一个随机变量CQ，顾此线性规划问题的解具有不确定性，为解决这一问题，我们采用求期望值的方法，即根据不同的CQ值求得相应的最优值，然后求其期望值得出最终结果。5.1.1 5.1.1 子模型一子模型一 【模型建立】【模型建立】本模型遵守模型假设中的所有要求，并约定订购量和计划生产量相等，即PQ，此时市场需求为400S，cQ为波动系数且0.85,1.15cQ，总利润为(,)h P Q。根据cQ的取值范围可以分为两部分：当0.85,1cQ 时，实际生产量小于订购量；当1,1.15cQ 时，实际生产量大于订购量。具体如下式：0.85,1;1,1.15;cccQQQ （5.1.1.15.1.1.1）1.当 0.85,1cQ 时，比较订购量、计划生产量、市场需求之间的关系，分为三类，有：;0.85,1;ccccQ PPSQQ PSPSQ PP (5.1.1.2)(5.1.1.2)2.当 1,1.15cQ 时，比较订购量、计划生产量、市场需求之间的关系，分为三类，有：;1,1.15;ccccPQ PSQPSQ PSPQ P (5.1.1.3)(5.1.1.3)【模型求解模型求解】下面进行具体讨论：（1）当0.85,1cQ 时；（i）cQ PPS实际生产量订购量市场需求，可以得到函数：()()chQ P abmS bnmp 总利润；(5.1.1.4)(5.1.1.4)（ii）cQ PSP实际生产量市场需求订购量，可以得到函数：()()chQ P abP beneS 总利润；(5.1.1.5)(5.1.1.5)8 （iii）cSQ PP市场需求实际生产量订购量，可以得到函数：()()2chQ P abeSP abnPmP 总利润。(5.1.1.6)(5.1.1.6)（2）当1,1.15cQ 时：（i）cPQ PS订购量实际生产量市场需求，可以得到函数：()()chQ P abdS bndp 总利润；(5.1.1.7)(5.1.1.7)（ii）cPSQ P订购量市场需求实际生产量，可以得到函数：()chQ P aeneS 总利润；(5.1.1.8)(5.1.1.8)（iii）cSPQ P市场需求订购量实际生产量，可以得到函数：()chQ P aeneS 总利润。(5.1.1(5.1.1.9).9)就本题而言，代入已知数据，会发现:(1)当0.85,1cQ 时，()ch Q P函数多数单调递增，为使总利润有最大值，则此时1cQ，即可得（i）,2600020*PShP订购量市场需求总利润;(5.1.1.4)(5.1.1.4)（ii）,65*10000PShP订购量市场需求总利润;(5.1.1.5)(5.1.1.5)（iii）,70*10000SPhP市场需求订购量总利润 (5.1.1.6)(5.1.1.6)(2)当1,1.15cQ 时，()ch Q P函数均单调递减，为使总利润有最大值，则此时1cQ，即可得（i）,2800025*PShP订购量市场需求总利润；(5.1.1.7)(5.1.1.7)（ii）,65*10000SPhP市场需求订购量总利润；(5.1.1.8)(5.1.1.8)（iii）,65*10000SPhP市场需求订购量总利润。(5.1.1.9)(5.1.1.9)此时，总利润h为关于P的一元函数，为使利润有最大值，由（1）、（2）可得，P的理想取值为R,即400PS。综上可得，1,400cQPQ波动系数订购量计划生产量，由于假设太过理想化，此模型存在缺陷，不具有一般性，下面对模型进行改进。5.1.2 5.1.2 子模型二子模型二 【模型建立】【模型建立】根据生产者生产商品的数量与销售者销售商品的数量之间的关系不同，我们将问题分成两部分：当销售商的订购量不大于生产商的实际产量时生产过剩，反之生产不足。又根据假设（订购的商品全部卖出），我们不难得出 9 (5.5.1.1.2.12.1)联系实际知RS 下面进行具体讨论：1.生产过剩生产过剩 此时，生产者实际生产出来的产品数量大于等于销售者的订购量，即(),cPQ Q RP。由题意，销售者只接受其订购量P的商品，生产者无需交纳缺货成本，则根据 获利=总收入-总支出 ；可分别求出生产商和销售商的获利，具体如下：对于销售商，其总收入包括以销售价售出的商品获得的利润*P n，总支出包括商品批发成本*P m，缺货获利0,商品库存成本为0，销售缺货成本()*SPe,于是 (,)*()*g P QP nP mSPe (5.5.1.1.2.22.2)对于生产商，其总收入包括以批发价售出的商品获得的利润*P m，总支出包括生产成本*cQ Q a，缺货成本0,商品库存成本为()*cQ QPb，于是 (,)*()*ccf P QP ma Q QQ QPb (5.5.1.1.2.32.3)由式(5 5.1.1).1.1)可知目标函数为(,)(,)(,)h P Qf P Qg P Q (5.5.1.1.2.42.4)又根据约束条件(5 5.1.1.2 2)及题设，可得约束条件为：RPS (5.5.1.1.2.52.5)PCQ Q (5.5.1.1.2.62.6)(,)0g P Q (5.5.1.1.2.7)2.7)(,)0f P Q (5.5.1.1.2.82.8)2.生产不足生产不足 此时，生产者实际生产出来的产品数量小于销售者的订购量，即(PCQ Q)，R=CQ Q。由题意，销售者只能接受生产者生产的CQ Q的商品，生产者未完成销售者的要求需交纳缺货成本，于是根据 R CQ Q (PCQ Q)；P(PCQ Q);10 获利=总收入-总支出;可分别求出生产商和销售商的获利，具体如下：对于销售商，其总收入包括以销售价售出的商品获得的利润*CQ Q n，总支出包括商品批发成本*CQ Q m，缺货获利()*cP Q Qd,商品库存成本为0，销售缺货成本()*cSQQe,于是(,)*()*()*cccf P QQ Q nPQ QdSQ Qe (5.5.1.1.2.92.9)对于生产商，其总收入包括以批发价售出的商品获得的利润*CQ Q m，总支出包括生产成本*CQ Q a，缺货成本*CPQ Qd,商品库存成本为0,于是 (,)*()*cccg P QQ Q mQ Q aPQ Qd (5.5.1.1.2.102.10)由式(5 5.1.1).1.1),可知目标函数：(,)(,)(,)h P Qf P Qg P Q (5.5.1.1.2.112.11)又根据约束条件(5 5.1.1.2 2)及题设，可得约束条件为：CPQ Q (5.5.1.1.2.122.12)CQ QS (5.5.1.1.2.132.13)(,)0f P Q (5.5.1.1.2.142.14)(,)0g P Q (5.5.1.1.2.152.15)【模型求解】【模型求解】由题可知：20,5,15,25,40,0.8560,1.15400,cabdemnSQ。带入模型得：1.生产过剩生产过剩 (,)*60*40(400)*254510000g P QPPPP (5.5.1.1.2.22.2)(,)*4020*()*54525cccf P QPQ QQ QPPQ Q (5.5.1.1.2.32.3)目标函数：(,)90*25*10000ch P QPQ Q (5.5.1.1.2.42.4)约束条件：400RPS (5.5.1.1.2.52.5)11 PCQ Q (5.5.1.1.2.62.6)(,)45*100000g P QP (5.5.1.1.2.72.7)(,)45*25*0cf P QPQ Q (5.5.1.1.2.82.8)以下通过选取不同的CQ值，分别求取一系列的最优值，然后通过求其期望值，确定最优解。在 LINDO 软件下，写入代码（见【附录附录 1 1】），对不同的cQ可得到表 5.1.2.1。表表 5.1.2.1 生产过剩生产过剩模型模型求解表求解表 波动系数波动系数cQ 订购量订购量P 计划量计划量Q 总利润总利润(,)(,)f P Qg P Q 0.85 400 471 15991.25 0.87 400 460 15995.00 0.89 400 450 15987.50 0.91 400 440 15990.00 0.93 400 431 15979.25 0.95 400 423 15953.75 0.97 400 413 15984.75 0.99 400 405 15976.25 1.00 400 400 16000.00 1.01 400 397 15975.75 1.03 400 389 15983.25 1.05 400 381 15998.75 1.07 400 374 15995.50 1.09 400 367 15999.25 1.11 400 361 15982.25 1.13 400 354 15999.50 1.15 400 348 15925.40 由表可以看出，400P，即销售商的最优订购量为 400。用 Matlab 对cQQ与进行数据拟合（具体代码见【附录 1】），得到图 5.1.2.1。12 图图 5.1.2.1 cQQ与拟合曲线拟合曲线 将这些点进行拟合得多项式 3230.33171.04581.13080.456710cccQQQQ，其中0.85,1.15cQ (5.5.1.1.2.162.16)为了避免实际生产量与计划产量之间的不确定性，现采用求等概率期望值的方法求Q的期望值，具体过程如下：1.150.851.153230.8511.150.8510.33171.04581.13080.4567101.150.85407cccccQQdQQQQdQ(5.5.1.1.2.172.17)由此，销售商的最优订购量400P，生产商的最优计划产量407Q，此时，销售商盈利6825g，生产商盈利9043f，两者总利润为15868fg。2.生产不足生产不足 (,)*60()*15(400)*2530*10000ccccf P QQ QPQ QQ QQ Q(5.5.1.1.2.92.9)13 (,)*40*20()*1535*15*ccccg P QQ QQ QPQ QQ QP(5.5.1.1.2.102.10)目标函数为：(,)65*10000ch P QQ Q (5.5.1.1.2.112.11)约束条件为：CPQ Q (5.5.1.1.2.122.12)400CQ QS (5.5.1.1.2.132.13)(,)15*30*100000cf P QPQ Q (5.5.1.1.2.142.14)(,)35*15*0cg P QQ QP (5.5.1.1.2.152.15)以下通过选取不同的CQ值，分别求取一系列的最优值，然后通过求其期望值确定最优解（代码及数据表格表格 5.1.2.35.1.2.3见【附录 2】）。从结果中我们发现P始终大于等于400S，这是未考虑销售商的实际销售量必须小于等于400S 造成的，下面考虑实际销售量必须小于等于S，对模型修正如下：对于销售商，其总收入包括以销售价售出的商品获得的利润*60S，总支出包 括 商 品 批 发 成 本*40CQ Q，缺 货 获 利*15CPQ Q商 品 库 存 成 本 为*5CQ QS，销售缺货成本 0,于是*60*40*15*5156024000CCCCfSQ QPQ QQ QSPQ Q(5.5.1.1.2.182.18)对于生产商，其总收入包括以批发价售出的商品获得的利润CQ Q*40，总支出包括生产成本CQ Q*40，缺货成本（P-CQ Q）*15,商品库存成本为 0 于是*40*20*153515CCCCgQ QQ QPQ QQ QP(5.5.1.1.2.192.19)由式（5.1.15.1.1）可知目标函数 2524000ChQ Q (5.5.1.1.2.202.20)又根据约束条件(5.1.2)(5.1.2)及题设，可得约束条件为：CPQ Q (5.5.1.1.2.212.21)400CQ Q (5.5.1.1.2.222.22)14 1560240000CfPQ Q (5.5.1.1.2.232.23)35150CgQ QP (5.5.1.1.2.242.24)在 LINDO 软件下，写入如下的代码，对不同的cQ可得到表 5.1.2.2。代码：（见【附录附录 3 3】）表表 5.1.2.2 生产生产不足不足模型改进表模型改进表 波动系数cQ 订购量P 计划生产量Q 总利润(,)(,)f P Qg P Q 0.85 401 471 13991.25 0.87 401 460 13995.00 0.89 401 450 13987.50 0.91 401 440 13990.00 0.93 401 431 13979.25 0.95 401 422 13977.5 0.97 401 413 13984.75 0.99 401 405 13976.25 1.00 400 400 14000.00 1.01 401 397 13975.75 1.03 401 389 13983.25 1.05 401 381 13998.75 1.07 401 374 13995.5 1.09 401 367 13999.25 1.11 401 361 13982.25 1.13 401 354 13999.50 1.15 401 348 13995.00 由表可以看出，401P，即销售商的最优订购量为 401。用 Matlab 对cQQ与进行数据拟合（具体代码见【附录【附录 3】），得到图 5.1.2.2：15 图图 5.1.2.2 cQQ与拟合曲线拟合曲线 将这些点进行拟合得多项式 3230.34271.07921.16460.46810cccQQQQ，其中0.85,1.15cQ (5.1.2.25)(5.1.2.25)为了避免实际生产量与计划产量之间的不确定性，现采用求等概率期望值的方法求Q的期望值，具体过程如下：1.150.851.153230.8511.150.8510.34271.07921.16460.468101.150.85410cccccQQdQQQQdQ(5.1.2.26)(5.1.2.26)由此，销售商的最优订购量401P，生产商的最优计划产量410Q，此时，销售商盈利5415g，生产商盈利8045f，两者总利润为13460fg 比较1 2、两种情况，由于12中的总利润大于 中的总利润，所以取1中的解为此问题的最优解，即销售商的最优订购量400P，生产商的最优计划产量407Q，此时，销售商盈利5825g，生产商盈利8043f，两者总利润为13868fg。16 5.1.3 5.1.3 子模型三子模型三 【模型建立】【模型建立】子模型二是在销售商的销售量一定小于市场需求的假设下完成的，而这个假设具有一定的片面性，下面对子模型二进行改进。由题意，在不同情况下分别写出生产商和销售商的利润公式,f g，再设三个0-1 变量将总利润公式简化，具体如下：（1）当生产商的实际生产量大于销售商的计划订购量（即cPQQ）时，销售者只接受其订购量P的商品，生产者无需交纳缺货成本，则根据 获利=总收入-总支出 ；可分别求出生产商和销售商的获利，具体如下：对于生产商，其总收入包括以批发价售出的商品获得的利润*P m，总支出包括生产成本*cQ Q a，缺货成本0,商品库存成本为()*cQ QPb，于是 (,)*()*ccf P QP ma Q QQ QPb (5.5.1.1.3 3.1 1)对于销售商，当其从生产商处拿到的商品量大于市场需求（即PS）时，其总收入包括以销售价售出的商品获得的利润*Sn，总支出包括商品批发成本*P m，由于生产商缺货获利0,商品库存成本为*PSb，于是 (,)*()*g P QS nP mPSb (5.35.3.3.23.2)当其从生产商处拿到的商品量小于等于市场需求（即PS）时，其总收入包括以销售价售出的商品获得的利润*P n，总支出包括商品批发成本*P m，由于生产商缺货获利0,销售缺货成本()*SPe，于是(,)*()*g P QP nP mSPe (5.35.3.3.33.3)（2）当生产商的实际生产量小于销售商的计划订购量（即cPQQ）时，销售者只能接受生产者生产的CQ Q的商品，生产者未完成销售者的要求需交纳缺货成本，于是根据 获利=总收入-总支出;可分别求出生产商和销售商的获利，具体如下：对于生产商，其总收入包括以批发价售出的商品获得的利润*CQ Q m，总支出包括生产成本*CQ Q a，缺货成本*CPQ Qd,商品库存成本为 0,于是 (,)*()*cccg P QQ Q mQ Q aPQ Qd (5.35.3.3.43.4)对于销售商，当其从生产商处拿到的商品量大于市场需求（即CQ QS）时，其总收入 17 包括以销售价售出的商品获得的利润*Sn，总支出包括商品批发成本*CQ Q m，由于生产商缺货获利*CPQ Qd,商品库存成本为*CQ QSb，于是(,)*()*CCCQ QQ Qg P QSnmSbPQ Qd (5.35.3.3.53.5)当其从生产商处拿到的商品量小于等于市场需求（即CQ QS）时，其总收入包括以销售价售出的商品获得的利润*CQ Q n，总支出包括商品批发成本*CQ Q m，由于生产商缺货获利*CPQ Qd,销售缺货成本()*CQ QSe，于是(,)*(*)*cccCg P QQ Q nQ Q mSdQQQePQ (5.35.3.3.63.6)其总收入包括以销售价售出的商品获得的利润*CQ Q n，总支出包括商品批发成本*CQ Q m，缺货获利()*cP Q Qd,商品库存成本为0，销售缺货成本()*cSQQe,于是(,)*()*()*cccf P QQ Q nPQ QdSQ Qe (5.35.3.3.73.7)对于生产商，其总收入包括以批发价售出的商品获得的利润*CQ Q m，总支出包括生产成本*CQ Q a，缺货成本*CPQ Qd,商品库存成本为 0,于是 (,)*()*cccg P QQ Q mQ Q aPQ Qd (5.35.3.3.83.8)再由（5.1.15.1.1）可得四种情况的目标函数(,)(,)(,)h P Qf P Qg P Q 对每个cQ依次取值，利用 VC+6.0 编程即可求得对应的PQ、的值，再利用数据拟合的方法，就可得到生产商的计划最优生产量和销售商的最优订购量。【模型求解模型求解】由题可知：20,5,15,25,40,0.8560,1.15400,cabdemnSQ。带入模型得：*40*20*5,*40*20*15,cccccccPQ QQ QPQ QPQ QQ QPQ QQ QPf 当cQ QP时，*60*40*5,*60*40*25,SPPSPSPPSPPSg 18 当cQ QP时，*60*40*5*15,*60*40*25*15,cccccccccSQ QQ Q SP Q QQ Q SQ QQ QS Q QP Q QQ Q Sg 设1,1,1,0,0,0,ccccQ QPQ QSPSQ QPPSQ QS ，则0且，带入,f g得：0902560152009025453040cccccSPPQ QPQ QhSQ QPQ QQ Q当时，h=当时，对cQ 从 0.85 到 1.15 以步长 0.02 取值，利用 VC+6.0 编程（具体程序见【附【附录录 4 4】）得到表格 5.1.3.1 表表 5.1.3.1 子模型三数据表格子模型三数据表格 波动系数cQ 订购量P 计划量Q 总利润(,)(,)f P Qg P Q 0.85 401 471 15967.50 0.87 400 460 15980.00 0.89 400 450 15987.50 0.91 400 440 15990.50 0.93 400 432 15979.25 0.95 400 422 15964.00 0.97 400 413 15984.75 0.99 400 405 15976.25 1.00 400 400 16000.00 1.01 400 396 15975.55 1.03 400 388 15983.35 1.05 400 381 15998.85 1.07 400 374 15995.40 1.09 400 367 15999.35 1.11 400 360 15982.45 1.13 400 354 15999.30 1.15 400 348 15925.30 由表可以看出，由表可以看出，400P，即销售商的最优订购量为 400。用 Matlab 对cQQ与用模型二的方法进行数据拟合，求得409Q，即生产商的计划最优生产量为 409，此时，生产商获利6847f，销售商获利9130g，二者总获利15987fg。19 5.2 5.2 问题（问题（2 2）模型建立与求解模型建立与求解 5.2.15.2.1 子模型一子模型一 【模型建立】【模型建立】问题二的模型结构与问题一中的子模型二的结构基本一样，目标函数和约束条件均相同，只是在此模型中，市场需求是会波动的，波动程度为0.8,1.2cS。【模型求解模型求解】由题可知：市场需求量波动的期望值400S，市场需求量为SCS，其中0.8,1.2cS 是一个随机值。问题一中的结果为市场需求量为 400 时的决策，即1CS 时的结果，下面依次改变CS的取值，用问题一中的方法求相应的决策量，见下表：表表 5.2.1.1 各决策量数据表格各决策量数据表格 CS P Q f g h 0.8 320 325 4394 4675 9069 0.85 340 344 5318 5021 10439 0.9 360 366 6186 5250 11436 0.95 380 386 7097 5492 12589 1.0 400 407 8043 5825 13868 1.05 420 428 8906 6113 15019 1.1 440 448 9795 6396 16091 1.15 460 467 10716 6725 17441 1.2 480 489 11987 7051 19037 为解决随机变量CS对决策的影响，我们采用问题一中的处理方法，即通过求等概率期望的方法，具体过程如下：由表不难发现销售者的最佳订货量P等于市场需求量，与CS成正比关系，于是在市场需求量波动的情况下，通过去P的均值即可得出销售者的最佳订货量，即：P400。下面用 Matlab 软件对上表中的数据Q和CS进行拟合（程序代码见【附录附录 5】），得到拟合曲线如下图:20 图图 5.2.1.1 CS 与Q的拟合曲线 将这些点拟合得多项式 32(1.24743.80203.38491.2395)*100cccQSSS,其中cS0.8,1.2（5.2.15.2.1.1.1）为了避免实际生产量与计划产量之间的不确定性，现采用求等概率期望值的方法求Q的期望值，具体过程如下：1.20.81.2320.811.20.81(1.24743.80203.38491.2395)*1001.20.8410cccccQQdSSSSdS（5.2.5.2.2.22.2）综上，销售商的最优订购量400P，生产商的最优计划产量410Q，此时，销售商盈利5839g，生产商盈利8049f，两者总利润为13888fg。5.2.25.2.2 子模型二子模型二 【模型建立】【模型建立】此模型与问题一对应的子模型三的唯一区别就在于市场需求是波动的，市场需求量波动的期望值400S，市场需求量为SCS，其中0.8,1.2cS 是一个随机值，两个模型结构基本一致，只需要在 C 语言程序中稍加修改即可（程序见【附附录录 4】），得到数据表格 5.2.2.1.21 表表 5.2.2.1 对应对应cS下的下的PQ、的值的值 cS P Q fg 0.8 320 342 12782 0.85 340 357 13598 0.9 360 390 14394 0.95 380 429 15194 1 400 425 1