信号与系统课后习题答案—第1章.doc

第1章 习题答案
1－1 题1－1图所示信号中，哪些就是连续信号？哪些就是离散信号？哪些就是周期信号？哪些就是非周期信号？哪些就是有始信号？
解： ① 连续信号：图（a）、（c）、（d）； ② 离散信号：图（b）； ③ 周期信号：图（d）；麥銚擻櫝淚峡鎵。
④ 非周期信号：图（a）、（b）、（c）； ⑤有始信号：图（a）、（b）、（c）。
1－2 已知某系统得输入f(t)与输出y(t)得关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统就是否为线性时不变系统。镇鎊敛鋒鐃諧凄。
解： 设T为此系统得运算子，由已知条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统得线性与时不变性。匮页啞枢鶘綻铊。
① 线性
1）可加性
不失一般性，设f(t)=f1(t)+f2(t)，则
y1(t)=T[f1(t)]=|f1(t)|，y2(t)=T[f2(t)]=|f2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f1(t)+f2(t)]=|f1(t)+f2(t)|，而鳩铳遠葱閡橼励。
|f1(t)|＋|f2(t)|≠|f1(t)+f2(t)|
即在f1(t)→y1(t)、f2(t)→y2(t)前提下，不存在f1(t)＋f2(t)→y1(t)＋y2(t)，因此系统不具备可加性。浆碜邺谱洼討荣。
由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统就是否具备齐次性特性。
2）齐次性
由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) （其中a为任一常数）騸繃铂鳝琐塒誚。
即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。逦拥馭睪飪兑滌。
② 时不变特性
由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t0)=T[f(t-t0)]=|f(t-t0)|，扬鮪砻蛳铌譙貢。
即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t0)→y(t-t0)，因此，此系统具备时不变特性。
依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。
1－3 判定下列方程所表示系统得性质：

解：（a）① 线性
1）可加性
由 可得 则

即在，因此系统具备可加性。
2）齐次性
由即，设a为任一常数，可得

即，因此，此系统亦具备齐次性。
由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。
② 时不变性
具体表现为：
将方程中得f(t)换成f(t-t0）、y(t)换成y(t-t0)（t0为大于0得常数），
即
设，则，因此
也可写成，
只有f(t)在t=0时接入系统，才存在，当f(t)在t≠0时接入系统，
不存在，因此，此系统为一时变系统。
依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。
（b）① 线性
1）可加性
在由规定得对应关系得前提下，可得

即由，系统满足可加性。
2）齐次性
由，即，两边同时乘以常数a，有

即，因此，系统具备齐次性。
由1）、2）可判定此系统为一线性系统。
② 时不变性
分别将（t0为大于0得常数）代入方程
左右两边，则
左边＝

而
所以，右边＝＝左边，故系统具备时不变特性。
依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。
（c）① 线性
1）可加性
在由式规定得对应关系得前提下，可得

即在得前提下，有式存在，即系统满足可加性。
2）齐次性
由，即，两边同时乘以常数a，有
，
即有 ，因此，系统具备齐次性。
依据上述1）、2），此系统为一线性系统。
② 时不变性
分别将 （t0为大于0得常数）代入方程 左右两边，则

因此，系统就是时变得。
依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。
（d）① 线性
1）可加性
在由式规定得对应关系得前提下，可得

而不就是：
即在得前提下，并不存在
因此系统不满足可加性，进而系统不具备线性特性。（下面得齐次性判定过程可省略）
2）齐次性
由，即，两边同时乘以常数a，有
，即式不成立，不存在
因此，系统也不具备齐次性。
单独此结论，也可判定此系统为一非线性系统。
② 时不变性
分别将 （t0为大于0得常数）代入方程 左右两边，则

即以式规定得关系为前提，存在
因此，系统就是非时变得。
依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。
1－4 试证明方程所描述得系统为线性系统。
[提示：根据线性得定义，证明满足可加性与齐次性。]
证明：1）证明齐次性

2）证明可加性

由以上1）、2），可知系统就是线性得。
1－5 试证明题1－4得系统满足时不变性。[提示：将方程中得t换为t-t0,导出f(t-t0)与y（t-t0)对应。]鸡镙执吓垲條谀。
证明：
分别将 （t0为大于0得常数）代入方程 左右两边，则

即以式规定得关系为前提，存在
因此，系统满足时不变性。
1－6 试一般性得证明线性时不变系统具有微分特性。[提示：利用时不变性与微分得定义推导。]
证明：
设线性时不变系统得激励与响应得对应关系为，则

由线性可加性可得
因此
所以
即 线性时不变系统具有微分特性。
1－7 若有线性时不变系统得方程为，若在非零f(t)作用下其响应，试求方程
得响应。
解：
已知，由线性关系得齐次性特性，有

又由线性系统得微分特性，有

再由线性关系得可加性特性，可得