过两曲线交点的曲线系方程及应用.pdf

过两曲线交点的曲线系方程及应用 高中数学第二册（上）（修订试验本）的第88页B组第4题是：两条曲线的方程是力 x,y =0和人（%，、）=。，它们的交点是尸 x0，九），求证方程：匕 x,y+2f2 x,y =0的曲线也经过点尸（2是任意实数）.本题证明较易，在此略.它揭示了“过两曲线交点的曲线系方程（不 含曲线人（，丁），在解决过两曲线交点问题极其简捷，下面举例说明.一、求直线方程例1求经过两条曲线/+3%-y=0和3X2+3y2+2x+y=0交点 的直线的方程.解：过两已知曲线的交点的曲线系方程是：x2+y2+3x-y+2 3%2+3y2+2x+y =0整理，得（3 2+1/+3几+1）+（2 2+3）X+（2 l y=O.令32+1=0,即4=-,，故所求的直线为37x 4y=0.二、求定点坐标例2求证：不论m取何实数，方程（3根+4 元+5 2zn y+7m一 6=0 所表示的曲线必经过一个定点，并求这一定点的坐标.解：由原方程整理，得 4x+5y6 +加（3x2y+7=0令4x+5y 6=03%2y+7=0解得x=-ly=2故知定点应是(一1,2).三、求圆的方程_ 7 9 7 7例3求经过两圆x+y+6x4=0和x+y+6y28=0的交点，并且圆心在直线xy 4=0上的圆的方程.解：过两圆交点的曲线系为(/+6元4)+4(/+/+6,-28)=0,整理得(1+2)X2+(1+2)y2+6x+6 2y-4-282=0 圆心为|.,j(2 7 1),由题意知在直线犬一y4=0上，即-3+三一4=0,解得4=7.代入知所求的圆方程是1+%1+%/+/%+7y-32=0.四、证明相关问题2 2 2 2例4证明椭圆币,=1与双曲线(卜1的交点在同一个圆上.2 2 2 2证明：由椭圆二十乙=1即为i+4y220=0,双曲线L 匕=1即20 5 12 3/4丁12=0,故过椭圆及双曲线的交点的所有曲线(不含L(x，y)=0)的方程为(x2+4y2-20)+A(x2-4y2-12)=0即(1+X)J+(444)y220 122=0 令1+2=444W0,得2=|，代入得1+=17这说明椭圆与双曲线的交点在同一个圆J+=i7上.运用曲线系解曲线方程问题张宽锁在解析几何中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这 种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些 更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的应用。引入：高中数学第二册(上)P88第4题是：如果两条曲线方程是f1(x,y)=0 和 fz(x,y)=0,它们的交点是 P(xo,y),求证：方程 L(x,y)+X f2(x,y)=。的曲线也经过点P(人是任意常数)。由此结论可得出：经过两曲线t(x,y)=0 和fz(x,y)=0交点的曲线系方程为：fi(x,y)+X f2(x,y)=0。利用此结论 可得出相关曲线系方程。一.直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。它的方程称直线系方程。几种常见的直线系方程：(1)过已知点P(x0,y0)的直线系方程yy0=k(x x0)(k为参数)(2)斜率为k的直线系方程y=kx+b(b是参数)(3)与已知直线Ax+By+C=O平行的直线系方程Ax+By+入=0(入为参数)(4)与已知直线Ax+By+C=O垂直的直线系方程BxAy+入=0(入为参数)(5)过直线L：Aix+Biy+Ci=O与b：Azx+Bzy+C?：。的交点的直线系方程：Aix+Biy+Ci+入(A2x+B2y+C2)0(入为参数)【例1】已知直线k x+y+2=0与k：2x 3y 3=0,求经过的交点且与已知直 线3x+y1=0平行的直线L的方程。解：设直线L的方程为2x 3y 3+入(x+y+2)=0。(入+2)x+(入-3)+2 入-3=0。CL与直线3x+y1=0平行,X+2 X-3 2入一3-=-#-3 1-1 o解得：入=2。所以直线L的方程为：15x+5y+16=0【例2】求证：m为任意实数时，直线(ml)x+(2ml)y=iii5恒过一定点P,并 求P点坐标。分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意 两直线的交点。解：由原方程得m(x+2y1)(x+y 5)=0,|X+2y-1=.解萧=9即 x+y-5=0 1y=-4 直线过定点P(9,-4)注：方程可看作经过两直线交点的直线系。二.圆系概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。几种常见的圆系方程：(1)同心圆系：(x xo)2+(y y0)2=r x0 y0为常数，r为参数。(2)过两已知圆 3：fi(x,y)=x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0o和C2：f2(x,y)=x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为：x2+y2+D1x+E1y+F1+X(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(A#1)若入=1 时，变为(DiDz)X+(EIE2)y+F1-F2=0,则表示过两圆的交点的直线。其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的 公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线。(3)过直线与圆交点的圆系方程：设直线L：Ax+By+C=O与圆C：x?+y2+Dx+Ey+F=0相交，则过直线L与圆C交 点的圆系方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+入(Ax+By+C)=0。【例3】高中数学第二册(上)P82第8题是：求经过两圆x?+y2+6x 4=0和 x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x y 4=0上的圆的方程。解：根据（2 设所求圆的方程为:x2+y2+6x 4+X x2+y2+6y28 =0o即（1+入）x?+1+入）y?+6x+6 入 y 4+28 入）=0。3 r 3X其中圆心为（1+久1+入），又该圆心在直线X y 4=0上-3 3K“仆-+-4=0即1+K 1+九,得人=7。二所求圆方程为x2+y2 x+7y 32=0o【例4】高中数学第二册（上）P72第9题是：求经过两条曲线必+尸+3乂-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交点的宜线方程。分析：此题常规方法是联立解方程组得交点坐标，再川两点式写出直线方程。若用（2 中方法则非常简单。解：先化为圆的一般式方程：X，+/+x+-y=0 3 3y 即7x 4y=0。此为所求直线方程。【例5】求过直线2x+y+4=0和圆x2+/+上：一4了+1=口的交点，且过原点的圆方 程。解：根据（3,设所求圆的方程为：x2+y2+2x-4y+1+X 2x+y+4 =0o1即x2+y2+2 l+K x+K-4 y+l+4K =0,因为过原点，所以 1+4入=0,得入=一心22317nx+y+x-y=0故所求圆的方程为：2 4三.椭圆系_+2_=1 _+-2.=1（1）与椭圆a?b2（半焦距为c 共焦点的椭圆系方程：入九-（入（2 与椭圆b具有相同离心率的椭圆系方程为小.（入 0。【例6】求经过点（2,3,且与椭圆9x?+4y2=36有共同焦点的椭圆方程。解：因已知椭圆焦点在y轴上，且。2=5,则可设所求椭圆方程为：入九+54 9,+-=1-_又经过点（2,3,代入方程得：九九+5,解得：入=10或入=2（舍去）【例7 求与椭圆4 3 有相同离心率且经过点（2,一用 的椭圆的标准方程。解：由题意，设所求椭圆方程为二+2L=t画）3 ot_22+（-73 2椭圆过点（2,一 布），故 4 3=1故所求的椭圆方程是S 6。三.双曲线系 1 与双曲线 共焦点的双曲线系方程：入d-K=l 0 入。2=次 _zi=i 2 与双曲线了 干一共渐近线的双曲线系方程为了 F-（入W0 3 等轴双曲线系方程为：x2-y2=X X#0【例8】求与双曲线而 T-共渐近线且过点A 24,-3）的双曲线方程。分析：一般解法是分类讨论，还需解方程组。利川（2 可简化运算。解：设所求双曲线方程为：X j卜-=A16 9（入 WO 因为过点A 2,-3）,12 9 1-=X,X=所以16 9 4 ox2 _ y2 _ 1所求双曲线方程为：石一万二一三y2 x?=1即9 4。后记：应川曲线系方程不当时也会失效。【例9 求以圆x2+y2=5与抛物线y2=4x的公共弦为直径的圆的方程。分析：常规解法是：得圆方程：（x1 2+y2=4若用曲线系方程思想，则可构造方程为 x2+y2 5 +入 y2 4x =0 *即 x2+1+X y2 4 X x 5=0o则入=0时为圆方程，显然为已知圆，不是所求圆。错误原因分析：由已知两曲线方程得到方程（*）,方程（*）是过已知两曲线交点 的曲线，但方程（*）不能包含过已知两曲线交点的所有曲线，比如：两直线x+y=0,x y=0 的交点是（0,0,而 y?=4x,x1?+y2=l 等曲线也都过（0,0,但这些曲线不能从直线系中得到。所以，应用时要具体问题具体分析。点击指数方程与对数方程蒋明权指数方程与对数方程的解法是高中数学的一个重要知识点，近年来，在这方面很少 单独命题，但在解一些大题目时，经常会用到这些知识。为此本文就指数方程与对 数方程的常见解法进行了探讨，希望能引起读者的重视。一.取对数法【例1】方程Xlgx-x2=1000的解集为 o解：原方程变形为x2=1000,取对数得 lgxlsx+2=3,即(Igx)2+21gx-3=0,解得 lgx=l 或 lgx=-3,于是 x=10 或 x=1000。即应填I，、1x=10S&=-10001点拨：JX)二玳型方程可变形为f(x)=g(x)；Jx)二N型方程可变形为 f(x)lga=g(x)lgb；af00=b 型方程可变形为 f(x)=logabo二.换元法【例2 方程厉)X+(74+715/=8的解集为解：对原方程变形为(小+后产-8(74+715)x+1=0,设y二(也+而)X,原方程可化为:y2-8y+l=0,解得 y=4+或 y=4-V15 o亦即&+岳)=4+715,或(出+向=4一厉,于是x=2或x=-2o即应填即=域=一2)。点拨：对于f(a)=O型方程，只须设尸a*,原方程就变形为f(y)二0。三.整体代换法1例 3方程 log3(3x-l)log3(3x-1-3)=2 的解集为 o-(3X-1)解：原方程变形为log3(3-l)log33=2,BP：log3(3x-l)2-log3(3x-l)-2=0,y=log3(3x-l),原方程可化为:y2-y-2=0,解得 y=T 或 y=2,亦即 log3(3x-l)=-Llog3(3x-l)=2o4于是3*二号，或3、二10。解得 x=log34-l 或 x=log310o即应填(XIX=log 3 4-1或x=唾 3 1。点拨：把一个代数式当作一个整体进行换元，以达到减少运算量的目的。四.图象法【例4】方程Igx二sinx的根的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个解：设yHgx,y2=sinx,在同一坐标系作出它们的图象；这两条曲线只有3个交点，易知方程Igx二sinx的根的个数是3个。即应选C。【例5】设方程Igx二10-x的根是Q,方程10、=10-x的根是B,则Q+B的值是()A.100 B.10 C.5 D.4解：设yi=lgx,y2=10 x,丫3=10-x在同一坐标系作出它们的图象:于是Q0Afn3=|0B|,由于函数设y尸Igx与y2=l(r关于直线尸x对称，因而|OA|=|BCfra+p=|OA|+|OB|=|BC|+|OA|=|OC|=10即应选B。点拨：利川数形结合的方法来解决代数问题，具有直观形象，生动新颖的特点，此 法在高中数学中具有广泛的应用。v五.逆用定义法【例6】已知关于X的方程2a2x-2-7ax l+3=0有一个根是2,求a的值和方程其余的根。解：x=2是关于x的方程2a2x 2-7ax l+3=0的一个根，1/.2a2 7a+3=0,解得 2 或 a=3J_(1)当时，对原方程变形为8(1)2X-14(1)X+3=0于是中或少七解得 x=2 或 x=l log23o(2)当 a=3 时，对原方程变形为 2 32(X-1)-14 3x l+3=0,1于是二一或3解得 x=l-log32 或 x=2o综上所述，a的值为1或3。1当a二2时，方程的另一根是x=l log23；当a=3时，方程的另一根是x=l log23。六.变换主元法【例7】设对数方程lg(ax)=21g(x-l),讨论当a在什么范围内取值时，该方程有解,并求出它的解。解：Tax。且 xl,当 a0,xl 时，原方程可化为ax二(x-1尸。(XT变换主元，求出原方程有解的条件，即求当xl时，a=X 的值域。纪义(次-3)2Va=x Jx Q(xl)o,当a0时，原方程有解，解方程 x2-(2+a)x+l=0,2+a 士+4a 2+a-Ja2+4ax=-互得 2。而 2,2+a+Va2+4a x=-2 o因而当a0时，原方程有解为2+a+Va2+4a x=-2 o点拨：主元与非主元是相对的，是可以互相转变的。在解题过程中，可根据需要,进行不断的调整。“黄金椭圆”性质初探满新民召1离心率为一1 的椭圆被称做“黄金椭圆”，它有不少有趣的性质，本文约定椭圆方+士1程为广 b2(ab0)o现举五例说明。1.若椭圆是黄金椭圆，则a,b,c成等比数列。证明：因为椭圆为黄金椭圆，c 所以&空E与1b2=a2-c2=a2 一(当ll)a275-1 2=-a=ac2，故a,b,c成等比数列。上述命题的逆命题也真。事实上，由b?二ac及b?=a?一c?,得a2c2=ac,e2+e-1=0,c=-因为OVeVl,所以 2,故此椭圆为黄金椭圆。2.若椭圆为黄金椭圆，设A(a,0),B(0,b),F(-c,0),则 ABF为直角三 角形。证明：在4ABF中，阳=+,|BF|2=b2+c2,|AF|2=(a+c),所以即又椭圆为黄金椭圆。由性质1有b2=ac,所以+也F=a2+2ac+c2=(a+c)2=|AF|2即4ABF为直角三角形。上述命题的逆命题也为真命题。事实上，由4ABF为直角三角形，得|AB+|BF=|AF，即(a2+b2)+(b2+c2)=(a+c)2,所以，b2=aco故此椭圆为黄金椭圆。3.若椭圆是黄金椭圆，P、Q为椭圆上任意两点，M为线段PQ的中点，若PQ与0M 的斜率存在，则.J5-1kpQ koM=-/O证明：设 M(xo,y0),P(xo+m,y0+n),贝II Q(x0-m,y0-n),y k n 于是 kM=X。mo因为点P、Q在椭圆上，(Xo+m)2(y0+n)2 _+_=1 所以a2 b2，(X。-m)，(y0-n)_+-=I a2 b?,4mx0 4ny0 _ Q一，得a?b2,n b2x0 _=-_所以m My。，又椭圆为黄金椭圆,所以b2=ac,n y0 b2 c 75-1RPQ*ROM=-=_=-=-m x0 a a 2上述命题的逆命题也成立。事实上，由上得知11 n y0 b2PQ*R0M=-一=-m x0 a_75-1_C2 a,所以b2=ac,故此椭圆为黄金椭圆。4.若椭圆是黄金椭圆，P为椭圆上任意一点，P在x轴上的射影为比 椭圆在P点的M-i 2法线交X轴于N,则lM|2。证明：设 P xo,y。）。将b2x2+a2y2=a2b2两边对x求导，得2b2x+2a2y y”=0,”-李所以 ay。即椭圆在点P的法线的斜率k=-i=4-y b2x0故点P的法线方程为：（X-XQ）y-y0=b x。/h2令尸。，得阿小卜f k。|ON|_a2-b2_c2 所以画二=又椭圆为黄金椭圆，网c2芳、所以|0M|2。上述命题的逆命题也成立。事实上，由上可知|ON|_a2-b2_c2_r75-L2 画一一二一-)C 1 J-=-kb=ac所以a 2故此椭圆为黄金椭圆。5.若椭圆是黄金椭圆，设 Ai(a,0),A2(a,0),Bi(0,b),B2(0,b),则菱形ABA2B2的内切圆过焦点。7=1证明：设A2B2：a b，即bx+ay=ab。1 abd=又点(0,0)到直线bx+ay=ab的距离 夜+,/_ a2b2 _ a2ac _ a2c所以 a2+b2 a2+ac a+c_(b2+c2)c _(ac+c2)ca+c a+c_(a+c)c2 _匚2a+c,故焦点在内切圆上。上述命题的逆命题也成立。事实上，由上知、反+,将ba。一1代入，化简得3a2c，cM,所以 e4-3e2+l=0oV5-1,e=-因为0e0,b0,且满足关系式loga2=2，求a,b的值。loga4=log3分析：已知关系式中的底数不相同，因此可设10取2=2=m,转化为指数来来解决*4=1 唯 3解：设 loga2=2=m,则1=2,(多次=4于是有=寸 因为ara0,-=2 RPwi=-1所以2，于是 loga2=logb3=-1,解得 2 3O例 2.设 log23=a,log37=b,求 log4256 的值。分析：两个已知对数式的底数不相同，无法直接进行计算，所以首先应考虑统一底 数，从条件看应该把底数统一为3。解：由log23=a,可得log 3 2log3 56 log37+31og3 210g 40 JO=-=-所以 log3 42 log32+log37+l就+3而+a+1。例3.若loga2Vlogb2V0,则a,b满足的关系是()(A)lab(B)lba(C)0abl(D)0bal分析：两个对数式底数不同，但真数相同，把两个对数式看作是两个对数函数在自 变量取同一个值时的两个不同的函数值，可通过图象来分析。解：loga2,logb2可以看成是对数函数y二logax,y=logbX在x=2时的两个函数值,可得大致图象(如图)。显然，a,b均小于1,根据对数函数的底数和图象的关系可得OVbVaVl,故选(D)。难点2.真数是和差的形式利川对数的运算性质可将运算级别较高的运算降底为级别较低的运算，而和与差是 运算中的最低级别，所以在处理真数是和差形式的对数问题时，难度较大，主要有 两种处理方法：整体考虑；对真数因式分解。例4.求满足等式+1 0+噱14/+1 2刈-34=0的x的值。分析：所给等式出现了对数之和的同时，又出现了一项含有X但又不带对数符号的 项，因此直接运用对数的运算法则及相关的性质无法运算，但两个带有对数符号的 项的结构相似，因此解答此题要从结构上整体考虑。解：由噱42+1-+1-21)-31=0,得噱+1-r)-r+lg(J4”+1-2x)-2x=0所以岳&+1)-工-lgt4r2+l-2r)-2r?令 f(x)=+1-1)一太贝II f(2x)=lg(V4r2+1-2x)-2x于是有 f(x)=f(2x),易证f(x)是R的减函数，又是奇函数,故由f(x)=f(2x),可得x=2x,x=0o难点3对数与对数相乘两对数相乘无法利川对数的运算性质求解，因此在解决此类问题时，要根据所给的 关系式认真分析其结构特点，主要有三种处理方法：利用换底公式；整体考虑;化各对数为和差的形式。例 5.设 log23 log34 log45 log56 log67 log78 log8m=log327,求 m 的值。分析：已知等式是七个对数之积，其特点是：从第二个对数开始的每一个对数的底 数是前一个对数的真数，真数是后一个对数的底数，因此采用换底公式将各对数换 成以2为底的两个对数的商，然后约分可达到目的。解：由已知条件得log23 log34 log45 log56 log67 log78 log8mlog?4.log?5 令 log2 6 log?7.log2 8,log.m=log23 lo2 3 log?4 log2 5 log2 6 log2 7 log2 8=log2m=log327=3所以m=8 o例 6.计算：(lg2)2lg250+(lg5)2lg40o分析：对数的乘积，无法直接运用对数性质，可以将对数lg250,lg40的真数分解 为积的形式，进而将对数转化为和差的形式。解：原式=(lg2)2lg(52X10)+(lg5)2lg(22X10)=(lg2)2(21g5+l)+(lg5)2(21g2+l)=(Ig2)2+21g2(Ig5)2+21g5(lg2)2+(lg5)2=(Ig2)2+21g21g5(Ig5+lg2)+(lg5)2=(lg2)2+21g21g5+(lg5)2=(lg2+lg5)2=(lgl0)2=lo辅助角公式在高考三角题中的应用柳毓对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下:y=asinx=bcosxE(smx,/+COSX a b a b由于上式中的Ji+4与、户，的平方和为1,故可记+/=cos 9,+1=sin 9,则y=Ja，+b2(sin xcos 6+cos x sin 6)=Ja2+b2 sin(x+&)V由此我们得到结论：jz-y/a=cos 6,/=sin 8asinx+bcosx 二 d sin(x+,(*)其中。由 来确定。通常称式子(*)为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为 y=Asin(ox+cp)+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。一.求周期y=2 cos(x+)cos(x-)+3 sin 2x例1(2006年上海卷选)求函数 4 4 的最小正周期。y=2cos(x+；)sin(x+；)+有 sin 2x=sin(2x+今+后 sin 2x=75sin 2x+cos2x=2 sin(2x+)解：6)所以函数y的最小正周期T二几。评注：将三角式化为y二Asin(3x+(P)+k的形式，是求周期的主要途径。二.求最值X 0,例 2.(2003 年北京市)已知函数 f(x)=cosx-Zsinxcosx-sinx。若 2,求f(x)的最大值和最小值。2 2 2 2 sin(2x)解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=4 o由 FTTi2x-=-sin(2x-)-2 2x-=,即汗=?乃当 4 4,即x=0时，4最小值 2；当 4 2 8时sin(2x-)4取最大值1。0,-广从而f(x)在 2上的最大值是1,最小值是1仅。三.求单调区间f=(2cos,tan(+),f=(V2 sin(+)例3.(2005年江西省)已知向量口 2 2 4b 2 4t 比1(_ _)f(x)=f2 4,令 a b,求函数f(x)在 0,上的单调区间。,=f：解：0七=22 cossin(+)+tan(+)tan(-)2 2 4 2 4 2 4A n 1+tan tan-1=22 cos(sin+cos)+-2v 2 2 2 2，i.x x1-tan 1+tan 2 2c X X o 2 X 1 2sincos+2 cos-1 2 2sinx+cosx2=72 sin(x+6-T0 x+5 _=下-(7+a)=士 Jl+a，=(-1+以尸=+M=以，+2以+1=0=以=-1 选(D)o 七.图象变换1 2 7 1 口y=cos+sinxcosx+1,x wR。例7(2000年全国)已知函数 2 2 该函数的图象可由y=sinx(xeR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？?=(1+cos 2x)+sin 2x+1解.4、,4/UT=(sin 2x cos +cos 2x sin 石)+j=gsin(2x+5+可将函数y=sinx的图象依次进行下述变换:(1)向左平移6,得到尸sin(x+6)的图象；(2)将(1)中所得图象上各点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得尸人 6,的图象；L 1 1(3)将(2)中所得图象上各点纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得yVsin(2x+W)的图象；5 _ n 5(4)将(3)中所得图象向上平移W个单位长度，得到尸，sin(2x+M)+W的图象。1 2 有 1 cos x+sinxcosx+1综上，依次经过四步变换，可得尸2 2 的图象。八.求值oc 1 _ 73例 8.已知函数 f(x)=一指 sin2 x+sinxcosx。设 CL (0,几)，f(2)=4 2,求sin OL的值。-(1-cos2x)+sin2x解：f(x)=2 22)-赵=sin 3 2 oa 重 招 1 有 0L+-由 f(2)=sin(3)2 4 2,0L+-得sin(311-d-71/JI 4/、n cx+一 (一,)又Q (0,兀)3*3,而shJ;亚故Q+3%),则2 _ 715cos(a+3)=4 sm a=sm/71、71,71、.71(CX+)coscos(oc+)sin=sin 3，3 37 3-孚港1+3加=8 o评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求sinQ时，巧川凑角法:71 71 71 71a=(a+3)-3,并且判断出a+1的范围，进而求出cos(Q+1)的确切值，使整 个求值过程方向明确，计算简捷。九.求系数1+cos2x X/x、-asm-COS(TT-)4sin(+x)-2 2例9.(2005年重庆)若函数f(x)=2 的最大值为2,试确定常数a的值。2 cos1 2 x解：f(x)=4cosxx x+asmcos 2 21 a.COSX+sinx=2 21 a,cos（p=其中角中由sinJJl+a?Jl+a?来确定。W=4 府由已知有4 4,解得a二士尼。十.解三角不等式例10.2005年全国HI 已知函数f x=sir?x+sin2x,x电列,求使f x 为正值的x的集合。解：f(x)=l-cos2x+sin2x72 sin(2x-)=1+4 o由 f(x)0,有 sin(2x-4 2则得2k兀-产一产官+彳,(ke Z)故 k n x 叶325知2Q+B在一、四象限。又 sin(2 ci+B)二sin2 ci cos B+cos2 a sin B(3)X(_3)+X”25 13 25 13型。325知2a+B在一、二象限。综上知2 Q+B在第一象限。同理可确定2 Q-B在第三象限。三.挖掘隐含条件来确定,sin2(x=-,2a、B，.八例3已知cos(QB)二2 3 都是锐角，求cos(a+8)的值。解析：由已知条件有02(x,又sin2oc=2 3则cos 2B=Jl-sin2 2tx=Jl-4)，手丁11因为 0sin2 a=3 2,丸所以 02Q 6,冗所以OVQVF。又因为OVB(万，_兀所以2 V-B 0 o由、得2(Q 8 12。又因为 cos(Q-8)=2,-a-0所以2 所以 sin(a-B)=-coscc-p),73=2 o从而 COS(CL+B)=cos2 CL-(CL-8)=cos2 Q cos(Q-8)+sin2 CL sin(a-0)竽争2五一百丁6巴评析：本例通过0sin2a=3 2,发现了隐含条件：OVQV正，将a-氏二-围缩小为2 12,进而由cos(a-8)=2,将a 8的范围确定为-02,从而避免了增解。8的范一土匕-例4已知2 2 2 2且tan Q,tna B是一元二次方程/+3后+4=0的两个根，求Q+B的值。解析：由已知条件得tan Q+tan B=-300,所以 tna Q 0,tan B 0o又因为-yg互 B互。，所以2 2所以一兀V CL+B 0otan a+tan/又因为 tan（Q+B 二1tanatan?二 1-42 一一r所以a+B=3评析：本例根据韦达定理tan CL+tan B=-3次,tana tan B=4,挖掘出了隐含条件-VocV。互 B互。tan a 0,tan P b0 的右焦点为A,右准线为4,若过脑且垂直于x轴 的弦的长度等于B到准线Z的距离，求椭圆的离心率。解：如图，AB是过F1垂直于x轴的弦，FKI为世到准线z的距离，AD，于D,则|AFi|=-|AB IlADhlF.Cl，由题意知 2。由椭圆的第二定义知：三、求点的坐标x2_y=1例3双曲线 丁一的右支上一点P,到左焦点B与到右焦点F2的距离之比为2：L求点P的坐标。解：设点P(X。，y。)(xo0),双曲线的左准线为Z：X=-2,右准线为A X=2,d1=xo+l,d2=x0.l则点p到K k的距离分别为 2 2 0 2 O1|PFil di_X+2_2PF2 d2 1 T 3所以，。-3,解得x=y+丑 3回将其代入原方程，得 一 2。因此，点P的坐标为”2)o四、求离心率的范围x?y2y 1y=l(a b 0)例4已知椭圆/b2,鼻、F?分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P,使NFPF2=90。，求椭圆的离心率e的取值范围。(|PFi|=e x0+=a+ex0解：设点P(X。，y),则由第二定义得 I z)I PF?1=xja-ex0因为APFiB为直角三角形，所以IPFJ2+|PF?|2=|FXF2|2Ogp(a+ex0)2+(a-ex0)2=(2c)2=4c22 _ 2c2-a2解得I,由椭圆方程中x的范围知02c2-a2e2a2解得22e0)的焦点F,作一条直线垂直于它的对称轴，且与抛物线 相交于外E两点，线段巳巳叫做抛物线的通径。求通径Fa的长。解：设P】(叼力)，七(打火)。因直线巳r2过焦点F且垂直于对称轴，故力=-5%=押=-%内,由本文讲的性质知7172=-P2,故 y；=p yi=po|PiP2 Hyil+ly2 I=2PO练一练：1.MN是过抛物线/=2px焦点尸的动弦，由M、N分别向准线作垂线MA、NB,A、B 是垂足。求证：NAFB的大小是定值。2.过抛物线焦点F的直线交抛物线于Q、4两点，过QQ1的中点M作平行于对称轴 的直线，交抛物线于P,求证：lQ4lpMlo1 1 23.已知AB是过抛物线y*=2px(p0)焦点F的动弦。求证：|FA|+|FBp。函数中的三个“貌似神异”问题陈尧明在解有关函数问题时，经常会遇到一些“貌似神异”问题，这些问题容易混淆或干 扰同学们的解题思路，因而造成解题出错率高。现罗列三个问题，以引起大家的关 注。一、函数对称问题问题1：如果对函数片f(x)定义域内的任意一个x值，者B有f(x a)=m-幻，则函 b-a数y=f(X)的图象关于直线”亍 对称。b-a证明：设P(m,n)为函数y=f图象上任一点，则点P关于直线丁 的对称点 为PQ-a-m,n)o 由f(b-a-m)=f(b-(a+m)=f(a+m-a)=f(m)=n,显然点b-a3-2-1口)也在函数丫=底幻上，可知函数y=f(x)的图象关于直线=丁对称。问题2：如果a、b是实数，则函数丫=式7)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直 a+b线”2对称。证明：设P(m,n)为函数y=f(x-a)图象上任一点，贝y=f(m-a)。点p(m，n)a+b关于直线又=亍的对称点为P(a+b-m,n),由f(b-(a+b-m)=f(m-a)=n,说明 点P在函数y=f(b-x)的图象上。反之亦然，所以函数y=f(x-a)的图象与函数a+by=f(b-x)的图象关于直线区=丁 对称。评注：问题1是一个函数图象自身的对称关系，而问题2是两个函数图象之间的对 x-a+b-x b-a称关系。问题1可理解为自变量相加除以2(即=2=丁)，问题2可a+b理解为自变量相等解方程(即由X-匕-x,得丁)o二、函数奇偶关系问题问题3：如果函数=式+2)(a为不等于。的常数)是奇函数，则对定义域内任意x 值，都有 f(-x+a)=-f(x+a)。如果函数y=f(x+a)(a为不等于0的常数)是偶函数，则对定义域内任意x值，都 有 f(-x+a)=f(x+a)。证明：设P(m,n)为函数y=f(x+a)图象上任一点，则n=f(m+a),点p关于原点。的对称点为P(m，-n)。因为函数y=f(x+a)是奇函数，所以点P也在函数 y=f(x+a)的图象上,于是-n=f(-m+a),从而有f(-m+a)=-f(m+a)。由点p的任 意性，可知对定义域内任意x值，都有f(T+a)=-f(x+a)。同理可证明函数y=f(x+a)(a为不等于0的常数)是偶函数，则对定义域内任意x 值，都有f(-x+a)=f(x+a)。评注：函数的奇偶性是专指定义域内的自变量x而言，所以同学们很容易得到 以7+2)=-噂-2)或(又+2)=-”这明显是错误的，大家要注意。三、反函数问题问题4：若函数v=f存在反函数百广取),则f一以=x。问题5：若函数y=f存在反函数y=f-W),则ff-】3)=x。证明：对于问题4,设P(m,n)为函数丫=岭)图象上任一点，则f(m)=n。由函数y=f(x)存在反函数丫=厂，得m=fn),于是卜rn。由点p(m？n)的任意性可 知，对于定义域内的任意X,都有1设=x。对于问题5,同理可以证明函数片f存在反函数y=f(x),则克L(x)=x。评注：对于问题4与问题5,同学们往往会误认为。事实 上，对于问题4,广/卜区中的x是原函数y=f(x)定义域中的x,而对于问题5,ff-】(x)=x中的*是原函数片3)值域中的x,在严格意义下尸】附切不一定等于例如对于函数f(x)=l%x,有f-】(x)=2x,若取x=“，显然有隼-】(-1)=-1,而此时底一1)无意义。例说函数奇偶性的几种判断方法胡彬在函数奇偶性概念的学习中，应多方面、多角度地思考概念的内涵，要掌握函数奇 偶性定义的等价形式，注重寻求简捷的解题方法，函数奇偶性的定义是：如果对于 函数定义域内任意一个X,都有=(或f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫 做奇函数(或偶函数)。函数奇偶性的定义反映在定义域上：若f(x)是奇函数或偶函 数，则对于定义域D上的任意一个X,都有-XWD,即定义域是关于原点对称的。函 数奇偶性定义给出了判断奇偶函数的方法。下面给出函数奇偶性判断的其他等价形式，寻求比较简便的判别方法。1.相加判别法对于函数定义域内的任意一个X,若f(T)+f(X)=,则f(X)是奇函数；若 f(-x)+f(x)=2f(x),则f(x)是偶函数。例1判断函数f(x)=lg(x+GT，)的奇偶性。解法1：利用定义判断，由f(-x)=lg(-x+j(-x)2+l)1(Vx2+1 _ x)(42+1+X)11g-K=-=lgVx+1+x+1+X Vx2+1+Xlg(Vx2+1+x)-1=-lg(x+7x2+1)=-f(x),可知f(x)是奇函数。解法2：由xR,知-xwR。因为f(x)+f(-又)=媵+五号1)+g)号1)=lg(x+Jx+l)(-x+7(-x)2+1)=1g 1=0,所以f(x)=lg(x+Jx?+1)是奇函数。2.相减判别法对于函数定义域内任意一个x,若f(x)-f(-x)=2f(x),则f(x)是奇函数；若 f(x)-f(-x)=O 5则f(x)是偶函数。/、X X g(x)=-+一例2判断函数 2X-1 2的奇偶性。(-x x(X x)x(2x-1)g(-x)-g(x)=-+-=解：由 xR,知-xwR。因为 12-1 2J 12-1 2)2-1-x=x-x=O,所以以x)是偶函数。3.相乘判别法对于函数定义域内任意一个x,若=-产,则式对是奇函数;若 f(X).f(-X)=f2(X),则 f(X)是偶函数。f(x)=Xgx _l)(a；I工”1)例3证明函数 ax+l 是偶函数。f(x).f(-x)=空口.(FLi)=型证明：由 xR,知一 xw R。因为 a+1 a+l a*+1(困(17*)_卜布-1)丁一叫x)1+d a+l J,所以f是偶函数。4.相除判别法f(x)二 i对于函数定义域内任意一个X,设f(T)【，若 二,则f(X)是奇函数;若f(x)1-=1f(-X),则f(x)是偶函数。a+1f(x)=A(a0,a#l)例4证明函数 ax-l 是奇函数。证明：由胪-1。，知XX。且XWR,所以定义域关于原点对称。、n f(x)ax+1 a-x-l(ax+l)(a-x-1)-ax+a-x 1f(x)*Q，-=-=-=-=-1因为 f(-x)ax-l a+1(ax-l)(a-x+l)ax-a-51，所以,是奇函数。点评：上述各例，若川定义判定