【安微省马鞍山市】2017年高考一模数学(理科)试卷-答案.pdf

1/13 安微省马鞍山市安微省马鞍山市 2017 年高考年高考一模一模数学（理科）数学（理科）试卷试卷 答答 案案 一、选择题 15ACADC 610DBCCD 1112CC 二、填空题 1360 145 1522(1)(1)5xy 16(2,1)-三、解答题 17解：（）由已知及正弦定理可得，sin3 coscBbC，sinB0，tanC=3，=3C（）由（）可得，2221cosC=22abcab，2222abcab，又2222acb，3ab，由题意可知，213 3sin21 324ABCSabCb，2=28b，可得：=2 7b（12 分）18 解：（）2015 年数据的中位数是 58，平均数是2831 314141444558606175778415929857.3 2016年数据的中位数是 51，平均数是17182330394951 5255586263697046.315 2016 年 11 月12 月比 2015 年 11 月12 月的空气质量有提高（）2016 年的 15 个数据中有 4 天空气质量为一级，故 X 的所有可能取值是 0，1，2，3，利用3411315(kkP Xk）可得：2/13 33(0)91P X，44(1)91P X，66(2)455P X，4(3)455P X X 0 1 2 3 P 3391 4491 66455 4455 446644()0 123914554555E X 19解：（）证明：由题意不妨设1OSOD，则2SD，2CDAD，2SASC，SAD，SCD为等边三角形，当PSD是的中点时，APSD，CPSD，又APCPP，SDPAC平面（）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则可得，(1,0,0)B，(0,1,0)C，(0,0,1)S，(1,0,0)D，(0,1,0)A 假设存在符合题意的点P，可设SPSD，(,0,1)P(,1,1)AP，(0,2,0)AC，设平面PAC的一个法向量为(,)nx y z，则(1)020 xyzy 不妨取(1,0,)n，又(1,1,0)BC 由22110|10(1)2可得23840，解得2(2)3 舍去所以符合题意的点P是棱SD上靠近点D的三等分点（12 分）3/13 20（）椭圆2222:1(0)xyEabab的焦距是 4，焦点坐标是(2,0),(2,0)由题意可得，椭圆E过(2,2)点，22222(22)(20)(22)(20)4 2a 则2 2a，222bac 椭圆E的方程是22184xy；（）由题意得，左焦点(2,0)F，右焦点坐标为(2,0)若直线l垂直于x轴，则点(2,2)M，(2,2)N(4,2)(4,2)14FMFN；若直线l不垂直于x轴，可设l的方程为(2)yk x，设点11)(,M x y，22)(,N xy 联立22(2)184yk xxy，得到2222)(1 28880kxk xk 则22121222888,1212kkxxx xkk 2222112212122228418(2,)(2,)(1)2(1)()4(1)141212kFMFNxyxykx xkxxkkk 21801812k，414FMFN，FMFN的取值范围是4,14 21解：（）由已知，当1a 时，1()lnf xx xx，21()ln1,(0)fxxax，()fx在(0,)上单调递增，且(1)0f，01x时，()0fx，1x 时，()0fx，()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增（）（方法一）由题可得，1ln,(0)g xax xax xx（），则21()lng xa xx，0a，()g x在(0,)上单调递增，令0(0)g x，4/13 则2001lnaxx，由001ax知，且00 xx时，()0g x，0 xx时，()0g x，0min0002ln1()()0lnxg xg xxx，01ln2x，0ex，2ea，a的取值范围是2(0,e（方法二）由题可得2()1ln0f xaa xaxx恒成立，令21()lnh xa xax，则322()()()a xxaah xx，20 xa时，()0h x，2xa时，()0h x，min22()()ln02ah xhaaa，2ln1a，解得：2ea，a的取值范围是20,e（22解：（）由22coscos(1)11sin1sinxxxyyy （3 分）由22sin()2sincos22422yx 即220C xy:（6 分）（）直线20 xy与圆22(1)1xy相交于A，B两点，又22(1)1xy的圆心(0,1)，为半径为 1，故圆心到直线的距离22|0 12|221(1)d ，222|2 1(=22AB）（10 分）5/13 23解：（）当1a 时，不等式为14|3xx ，即3|14|xx，24,3|2,1342,113xxxx xxx，3244xx或1324x或1424xx，解得0 x，或4x，故原不等式的解集为04|x xx，或（5 分）（）111|111|f xxaxaaxa （），()1f x 的解集为0,2，10112aaa ，（7 分）11112(0,0)22mnmnmn，2mn（当且仅当11122mn即2m，1n 时取等号），mn的最小值为2（10 分）6/13 安微省马鞍山市安微省马鞍山市 2017 年高考年高考一模一模数学（理科）数学（理科）试卷试卷 解解 析析 一、选择题 1【考点】交集及其运算【分析】由题意求出集合 B，由交集的运算求出 AB【解答】解：集合 A=0，1，2，B=x|x=32a，aA，集合 B=3，1，1，则 AB=1，故选 A【点评】本题考查了交集及其运算，属于基础题 2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数=为纯虚数（其中 i 为虚数单位），则=0，0，解得 a=2 故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3【考点】等差数列的通项公式【分析】设等差数列的首项为 a1，由已知列式求得 a1，进一步求得公差，再由通项公式求得 a4 【解答】解：设等差数列的首项为 a1，a5=11，S5=35，解得：a1=3 d=a4=a1+3d=3+32=9 故选：A【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前 n 项和，是基础的计算题 4【考点】正弦函数的对称性【分析】利用余弦函数的对称性质可知，2x=k 可得对称轴，2x=k+，可得其对称中心，根据2k2x2k 单调递减，可得增区间 7/13 【解答】解：函数 f（x）=cos（2x）（xR），其周期 T=，一个周期有两个零点，即 f（x1）=f（x2）=0，则 x1x2=k（kZ）故 A 不对 余弦函数的性质可知：由 2x=k+，可得其对称中心为（，0），经考察，故 B 不对 由 2x=k 可得其对称中轴 x=k+，（kZ），经考察，故 C 不对 由 2k2x2k 可得增区间为，f（x）在区间（，）上是增函数 故选 D【点评】本题考查余弦函数的对称性的应用，属于中档题 5【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程【分析】判断双曲线的焦点坐标所在轴，然后求解双曲线方程【解答】解：双曲线的一个焦点坐标为（0，2），焦点坐标在 y 轴，方程设为，可得：m，解得 m=1，所求双曲线方程为：x2=1 故选：C【点评】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，是基础题 6【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用线面面面平行与垂直的判定及其性质定理即可判断出关系【解答】解：A“m，m”是“”的既不充分也不必要条件，因此不正确；Bmn 时，“m”是“n”的既不充分也不必要条件，因此不正确；Cn 时，“m”是“mn”的充分但不必要条件，因此不正确；Dm，n 时，“mn”是“”的充要条件，正确 故选：D【点评】本题考查了线面面面平行与垂直的判定及其性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7【考点】简单随机抽样【分析】根据 254 粒内夹谷 28 粒，可得比例，即可得出结论【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为 1524=168 石，故选：B【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础 8/13 8【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得（2+）（）=（2 ）当且仅当 与（2 ）方向相同时，取等号，问题得以解决【解答】解：，是平面上的三个单位向量，且 =，则（2+）（）=22 +=2（2 ）1=（2 ）1=，当且仅当 与（2 ）方向相同时，取等号，故选：C【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题 9【考点】几何概型【分析】根据二元一次不等式组表示的平面区域的原理，分别作出集合 和集合 A 对应的平面区域，得到它们都直角三角形，计算出这两个直角三角形的面积后，再利用几何概型的概率公式进行计算即可【解答】解：区域=（x，y）|x0，y0，x+y2，表示的图形是第一象限位于直线 x+y=2 的下方部分，面积 S=2 再观察集合 A=（x，y）|x1，y1，x+y1，表示的图形的面积为=，根据几何概率的公式，得向区域 上随机投一点 P，P 落入区域 A 的概率为 P=故选 C【点评】本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概率模型，准确画作相应的平面区域，熟练地运用面积比求相应的概率，是解决本题的关键，属于中档题 10【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图知该几何体是棱长为 1 是正方体，在一个顶点处挖去半径为 1 的球体，结合图中数据求出其表面积【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为 1 是正方体，在一个顶点处挖去半径为 1 的球体，如图所示；9/13 则其表面积为 S=612312+412=6+故选：D【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是易错题 11【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系进行求解即可【解答】解：奇函数 f（x）在区间（0，+）单调递增，函数 f（x）在区间（，0）上单调递增，由 f（1）=0，f（x2）0，即 f（x2）f（1）或 f（x2）f（1），得 x21 或1x20，则 x3 或 1x2，故选 C 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键 12【考点】数列与函数的综合【分析】首先判断函数 f（x）为偶函数，由题意可得 f（0）=0，运用数列的递推式：n=1 时，a1=S1；当 n2 时，an=SnSn1，可得数列an+1为首项为 2，公比为 2 的等比数列，运用等比数列的通项公式，结合题意可得 对任意 nN*恒成立，设 g（n）=，作差判断 g（n）的单调性，可得最大值，即可得到所求范围【解答】解：函数 f（x）=x2Sncosx+2ann 在定义域 R 内有唯一的零点，且 f（x）=（x）2Sncos（x）+2ann=x2Sncosx+2ann=f（x），即 f（x）为偶函数，可得 f（0）=0，则 Sn=2ann，由 n=1 时，a1=S1=2a11，可得 a1=1，当 n2 时，Sn1=2an1（n1），an=SnSn1=2ann2an1+（n1），化简可得 an=2an1+1，即有 an+1=2（an1+1），10/13 则数列an+1为首项为 2，公比为 2 的等比数列，可得 an+1=2n，即 an=2n1，则不等式对任意 nN*恒成立，即为 对任意 nN*恒成立，设 g（n）=，即有 g（n+1）=，g（n+1）g（n）=，当 n=1，2 时，g（1）g（2）=g（3），当 n3 时，g（n+1）g（n），即有 g（n）递减，可得 g（n）g（3）=g（2），可得 g（2）取得最大值，且为，则 则实数 的最小值是 故选：C【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，求最值，同时考查函数的奇偶性及零点的个数问题，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推式的运用和数列单调性，是解题的关键 二、填空题 13【考点】二项式系数的性质【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式的常数项【解答】解：（2x+）6展开式中的通项公式为 Tr+1=26r，令 6=0，求得 r=4，展开式中的常数项等于4=60，故答案为：60【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题 14【考点】程序框图【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当 n=1 时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=1，n=2a=2，b=2；当 n=2 时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=2，n=3a=3，b=3；当 n=3 时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=3，n=4a=4，b=4；当 n=4 时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=4，n=5a=5，b=5；当 n=5 时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=5，n=6a=6，b=6；11/13 当 n=6 时，不满足进行循环的条件，故输出的 S 值为 5，故答案为：5【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答 15【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】设出直线方程与抛物线 y2=x 相切，求出切点坐标就是圆心坐标，平行线之间的距离为半径，写出圆的方程即可【解答】解：直线 x+2y+b=0 与抛物线 y2=x 的相切时说起的圆的半径最小，可得：y2+2y+b=0，则=44b=0，解得 b=1，此时直线 x+2y+1=0 与抛物线相切，切点坐标为：（1，1），直线 x+2y+1=0 到直线 x+2y+6=0 的距离 d=，即圆的半径为 所以圆的方程为（x1）2+（y+1）2=5 故答案为：（x1）2+（y+1）2=5【点评】本题考查抛物线与位置关系的综合应用，求圆的方程确定出圆的圆心和半径是关键 16【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】画出函数的图象，f（x）=1 时有 3 个不等的实数根，f（x）=a 时，有 4 个不等的实数根，利用函数的图象，求解 a 的范围【解答】解：函数 f（x）=，的图象如图：关于 x 的方程 f2（x）+（a1）f（x）=a，即 f（x）=a 或 f（x）=1 f（x）=1 时有 3 个不等的实数根，f（x）=a 时，有 4 个不等的实数根，由函数 f（x）图象，可得a（1，2），a（2，1）故答案为（2，1）【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力 12/13 三、解答题 17【考点】正弦定理【分析】（）由已知及正弦定理可得，sinCsinB=sinBcosC，进而利用同角三角函数基本关系式可求 tanC=，即可得解 C 的值（）由（）利用余弦定理可求 a2+b2c2=ab，又 a2c2=2b2，可得 a=3b，利用三角形面积公式即可解得 b 的值【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 18【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）利用平均数计算公式即可得出（2）2016 年的 15 个数据中有 4 天空气质量为一级，故 X 的所有可能取值是 0，1，2，3，利用 P（X=k）=即可得出【点评】本题考查统计和离散型随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（）当当 P 是 SD 的中点时，APSD，CPSD，又 APCP=P，即可证明：SD平面 PAC；（）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面 PAC 的一个法向量，利用直线 BC 与平面 PAC 所成角的正弦值为，即可得出结论【点评】本题考查立体几何中的线面关系及空间向量的应用，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 20【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（）由已知求出椭圆焦点坐标，并得到所过定点（2，），再由椭圆定义可得 a，结合隐含条件求得 b，则椭圆方程可求；（）当直线 l 垂直于 x 轴时，求出 M，N 的坐标，直接求得的值；当直线 l 不垂直于 x 轴，可设 l 的方程为 y=k（x2），联立直线方程与椭圆方程，借助于根与系数的关系及向量的坐标运算求得的取值范围【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线的综合运用，属中档题 21【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）法一：求出 g（x）的导数，得到 g（x）的最小值，从而求出 a 的范围即可；法二：问题转化为a=alnx+a0 恒成立，令 h（x）=alnx+a，根据函数的单调性求出 a 的范围即可【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查学生应用知识解决问题的能力，是一道中档题 四、请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方 13/13 程 22【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（）利用三种方程互化方法，求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程；（）若曲线 C1和曲线 C2相交于 A，B 两点，求出圆心到直线的距离，即可求|AB|的值【点评】本题考查三种方程的互互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题 五、选修 4-5：不等式选讲 23【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式【分析】（）通过讨论 x 的范围，解各个区间上的 x 的范围，取并集即可；（）求出 a1xa+1，根据 f（x）1 的解集为0，2，求出 a 的值，根据基本不等式的性质求出 mn的最小值即可【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及基本不等式的性质，是一道中档题