【湖南省长沙一中】2017届高三上学年期月考数学年试题(理科)(五).pdf

-1-/13 湖南省长沙市湖南省长沙市 20172017 年高考四县联考年高考四县联考模拟模拟理科数学试卷理科数学试卷 答答 案案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）15ACAAC 610BACCA 1112DC 二、填空题 13120 146 1566 16 1,1 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17解：（）2coscoscbBaA，所以(2)coscoscbAaB由正弦定理，得(2sinsin)cossincosCBAAB 整理得2sincossincossincosCABAAB 2sincossin()sinCAABC 在ABC中，sin0C 1cos,23AA （）由余弦定理2221cosA=,2 522bcaabc 2220220bcbcbc 20,bcbc当且仅当时取“=”三角形的面积1sinA5 32Sbc 三角形面积的最大值为5 3 18证明：（1）在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为菱形，60BAD，Q 是 AD 的中点 PA=PD，,BDADAB PQADBQAD，,PQBQQADPBQ平面，,ADPADPQBPAD平面平面平面 解：（2）,2APDABCDPAPDAD平面平面且，点 M 在线段 PC 上且满足3PCPM，以 Q 为原点，QA 为 x 轴，QB 为 y 轴，QP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，23 2 3(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),(2,3,0),(,),333QBPCM -2-/13 23 2 3(0,3,0),(,)333QBQM，设平面 BQM 的法向量(,)nx y z，则30232 30333n QByn QMxyz，取1,(3,0,1),zn得 平面 BQC 的法向量(0,0,1)n，设二面角MBQC的平面角为，则|1cos=,602|m nmn，二面角MBQC的大小为60 19解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的 22 列联表如下：对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 2 分 22200(80 1040 70)11.111 10.828150 50 120 80K4 分 故能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关5 分（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 0.4，且 X 的取值可以是 0，1，2，3 其中327(0)0.6125P X；12354(1)0.4 0.6125P XC；7 分 -3-/13 22336(2)0.40.6125P XC；3338(3)0.4125P XC9 分 X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 27125 54125 36125 8125 10 分 由于(3,0.4)X B，则()3 0.41.2E X ，()3 0.4 0.60.72D X 12 分 20解：（）根据已知，设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，126,3,e,13caaca；2228bac，22198xy（II）2PF Q的周长是定值，设1122,),()(P x yQ xy，则2211198xy，22222112111(1)(1)8(1)(3)93xxPFxyx，103,x 12|33xPF，（7 分）在圆中，M 是切点，222222111111|88(1)893xPMOPOMxyxx，（11 分）21111|3333PFPMxx，同理2|3QFQM，（13 分）22|336|F PFQPQ，因此2PF Q的周长是定值 6（14 分）21解：（1）ln2,3()3xabF xxx ，2221 ln1 ln()101xxxF xxxx，(0,1),()0,()xF xF x单调递增，(1,),()0,()xF xF x单调递减，()(1)2maxF xF -4-/13 （2）不妨设12xx，要证1212()2xx g xx，只需证12121)(2(2)xxxxab，121222212121122()121()()()22xxabab xxxxxxxxxx，22212211122()11()22ababxxxxxxxx，121212lnln11,22abaxxxxxxb，2121212()lnlnxxxxxx，即2212212112112()ln,()ln2()xxxxxxxxxxxx，令1111()()ln2(),(,)xH xxxxxxxx只需证1111()()ln2()0()xxxxxH xxxH，11()ln1xxxH xx，令11()ln1xxxG xx，则12()0 xxxxG，1()(,)G xxx在单调递增 1)()(0,()0G xG xH x，1()(),H xxx在单调递增1()(0)H xH x，1111212)()(ln2(0,(2xH xxxx xxx g xxx 请考生在 22、23 题中任选一题作答【选修 4-4：坐标系与参数方程】22解：（）圆 C 的方程为22(6)25xy，2212110 xyx，222,cos,sinxyxy，C 的极坐标方程为212 cos110.（）直线 l 的参数方程是cossinxtyt（t 为参数），cosxt，代入sinyt，得：直线 l 的一般方程tanyx，l 与 C 交与 A，B 两点，|10AB，圆 C 的圆心 C(6,0)，半径5r，圆心(6,0)C 到直线距离2|6tan|102541tand，解得25515tan,tan333 l 的斜率153k 【选修 4-5：不等式选讲】23解：（）()1,|3|22|1f xxx 即 -5-/13 1,322 1,001xxxxx时，；4413,322 1,133xxxxx 时；43,322 1,213xxxxx 时，无解，所以()1f x 解集为40,3（）当21,x时，|25|0f xx（）-可化为|3xa，33axa ，（7 分）3 132aa，（8 分）14a （10 分）-6-/13 湖南省长沙市湖南省长沙市 20172017 年高考四县联考理科数学模拟试卷年高考四县联考理科数学模拟试卷 解解 析析 1【考点】交、并、补集的混合运算【分析】解不等式求出集合 A，求函数定义域得出集合 B，再根据交集与补集的定义写出 A（UB）【解答】解：全集 U=R，集合 A=x|x22x30=x|1x3，B=x|y=ln（1x）=x|1x0=x|x1，则UB=x|x1，所以 A（UB）=x|1x3 故选：A【点评】本题考查了集合的基本运算与不等式和函数定义域的应用问题，是基础题目 2【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的乘法求出复数 z，然后求解结果即可【解答】解：复数 z 满足 zi=1+i，可得 z=1+i 复数 z 的实部与虚部的和是：1+1=2 故选：C【点评】本题考查复数的基本运算以及基本概念，考查计算能力 3【考点】命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断的真假；由线面垂直的性质定理可判断的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断的真假，进而得到答案【解答】解：或 n，故错误；由线面垂直的性质定理可得，故正确；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可得，故正确；由面面平行的性质及几何特征可得或 m，n 异面，故错误；故选 A【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线线关系，线面关系及面面关系的判定，性质，及几何特征是解答本题的关键 4【考点】几何概型【分析】由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为 4，圆为，即可求出“鱼食能被鱼-7-/13 缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率【解答】解：由题意，正方形的面积为 22=4圆的面积为 所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是 1，故选：A【点评】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 5【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的定义，结合|PB|=|PA|，即可求出点 P 的横坐标【解答】解：由题意，可知 F（1，0），过抛物线 y2=4x 上一点 P 的直线与直线 x=1 垂直相交于点 B，|PB|=|PF|PB|=|PA|，|PF|=|PA|，P 的横坐标为 2，故选：C【点评】本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础 6【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长是 2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长是 2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r=，球的表面积 4r2=4=故选：B【点评】本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键 7【考点】函数的图像【分析】由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除 B，D 答案；分析 x（2，1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图像的位置后可可排除 C 答案【解答】解：若使函数的解析式有意义 则，即 即函数的定义域为（2，1）（1，+）可排除 B，D 答案 当 x（2，1）时，sinx0，ln（x+2）0 -8-/13 则0 可排除 C 答案 故选 A【点评】本题考查的知识点是函数的图像，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键 8【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S=+的值，用裂项法即可得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得 N=10，S=0，k=1 S=，满足条件 k10，k=2，S=+，满足条件 k10，k=3，S=+，满足条件 k10，k=10，S=+=+=1，不满足条件 k10，退出循环，输出 S 的值为1 故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基本知识的考查 9【考点】函数与方程的综合运用【分析】设晷影长为等差数列an，公差为 d，a1=130.0，a13=148，利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：设晷影长为等差数列an，公差为 d，a1=130.0，a13=148，则 130.0+12d=148，解得 d=96 a6=130.0965=820.易经中所记录的惊蛰的晷影长是 820 寸 故选：C【点评】本题考查了函数的性质、等差数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10【考点】双曲线的简单性质【分析】由向量减法法则和数量积的运算性质，可得=c，从而得到PF1F2是以为 F1F2斜边的直角三角形由此结合，运用勾股定理算出c，c，再根据双曲线的定义得到 2a 的值，即可得到该双曲线的离心率 -9-/13 【解答】解：=，得=0，所以=c PF1F2中，边 F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得，设，（0）得（3）2+（2）2=4c2，解得=c c，c 由双曲线的定义，得 2a=|=c 双曲线的离心率为 e=故选 A【点评】本题给出双曲线上一点 P 满足F1PF2为直角，且两直角边之比为，求双曲线的离心率，着重考查了向量的运算和双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题 11【考点】集合的表示法【分析】利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合 M=（x，y）|y=f（x）是“垂直对点集”，就是在函数图像上任取一点 A，得直线 OA，过原点与 OA 垂直的直线 OB，若 OB 总与函数图像相交即可【解答】解：由题意，若集合 M=（x，y）|y=f（x）满足：对于任意 A（x1，y1）M，存在 B（x2，y2）M，使得 x1x2+y1y2=0 成立，因此所以，若 M 是“垂直对点集”，那么在 M 图像上任取一点 A，过原点与直线 OA 垂直的直线 OB 总与函数图像相交于点 B 对于：M=（x，y）|y=，其图像是过一、二象限，且关于 y 轴对称，所以对于图像上的点 A，在图像上存在点 B，使得 OBOA，所以符合题意；对于：M=（x，y）|y=sinx+1，画出函数图像，在图像上任取一点 A，连 OA，过原点作直线 OA 的垂线 OB，因为 y=sinx+1 的图像沿 x 轴向左向右无限延展，且与 x 轴相切，因此直线 OB 总会与 y=sinx+1 的图像相交 所以 M=（x，y）|y=sinx+1是“垂直对点集”，故符合题意；对于：M=（x，y）|y=2x2，其图像过点（0，1），-10-/13 且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图像上任取一点 A，连 OA，过原点作 OA 的垂线 OB 必与 y=ex2 的图像相交，即一定存在点 B，使得 OBOA 成立，故 M=（x，y）|y=2x2是“垂直对点集”故符合题意；对于：M=x，y）|y=log2x，对于函数 y=log2x，过原点做出其图像的切线 OT（切点 T 在第一象限），则过切点 T 做 OT 的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点 T，不存在点 M，使得 OMOT，所以 M=（x，y）|y=log2x不是“垂直对点集”；故不符合题意 故选：D【点评】本题考查“垂直对点集”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用 12【考点】函数零点的判定定理【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=x+2b，x（b，2b，又因为 f（x）=k（x1）的函数图像是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图像根据题意求出参数的范围即可【解答】解：因为对任意的 x（1，+）恒有 f（2x）=2f（x）成立，且当 x（1，2时，f（x）=2x 所以 f（x）=x+2b，x（b，2b 由题意得 f（x）=k（x1）的函数图像是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段 AB 相交即可（可以与 B 点重合但不能与 A 点重合）所以可得 k 的范围为 故选 C【点评】解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图像与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具 二、填空题二、填空题 13【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】将已知等式平方得到的模的关系及，然后利用向量的数量积公-11-/13 式求出的夹角【解答】解：=，（+）（）=2|2，设的夹角为 cos=0，180 =120 故答案为 120 【点评】求两个向量的夹角，一般利用向量的数量积公式来求出夹角的余弦，进一步求出夹角，但一定注意向量夹角的范围为0，180 14【考点】二项式系数的性质【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程即可求出 r 与 a 的值【解答】解：（）5展开式的通项公式为：Tr+1=（a）r，令=，解得 r=1；所以展开式中含 x项的系数为：（a）=30，解得 a=6 故答案为：6【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题目 15【考点】数列递推式【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，写出数列前几项，即可得到所求值【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为 1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3 a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66 故答案为：66 -12-/13 【点评】本题是对数列递推公式应用的考查，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，避免不必要的错误 16【考点】简单线性规划【分析】做出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由 z=ax+y 得 y=ax+z，直线 y=ax+z 是斜率为a，y 轴上的截距为 z 的直线，做出不等式组对应的平面区域如图：则 A（3，9），B（3，3），C（3，3），z=ax+y 的最大值为 3a+9，最小值为 3a3，可知目标函数经过 A 取得最大值，经过 C 取得最小值，若 a=0，则 y=z，此时 z=ax+y 经过 A 取得最大值，经过 C 取得最小值，满足条件，若 a0，则目标函数斜率 k=a0，要使目标函数在 A 处取得最大值，在 C 处取得最小值，则目标函数的斜率满足akBC=1，即 a1，可得 a（0，1 若 a0，则目标函数斜率 k=a0，要使目标函数在 A 处取得最大值，在 C 处取得最小值，可得akBA=1 1a0，综上 a1，1 故答案为：1，1 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定 A，B 是最优解是解决本题的关键注意要进行分类讨论，是中档题 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分）17【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果 -13-/13 （II）利用余弦定理写成关于角 A 的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值 18【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（1）推导出 PQAD，BQAD，从而 AD平面 PBQ，由此能证明平面 PQB平面 PAD（2）以 Q 为原点，QA 为 x 轴，QB 为 y 轴，QP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角MBQC 的大小 19【考点】独立性检验的应用【分析】（）由已知列出关于商品和服务评价的 22 列联表，代入公式求得 k2的值，对应数表得答案；（）每次购物时，对商品和服务全好评的概率为 0.4，且 X 的取值可以是 0，1，2，3，XB（3，0.4）求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数 X 的分布列（概率用组合数算式表示）；利用二项分布的数学期望和方差求 X 的数学期望和方差 20【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题意可知：2a=6，求得 a 和 c 的值，由 b2=a2c2，求得 b，写出椭圆方程；（）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2|OM|2，可得，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；21【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；分析法和综合法【分析】（1）由 a=2，b=3，知，x（0，1），F（x）0，F（x）单调递增，x（1，+），F（x）0，F（x）单调递减，由此能求出 F（x）=f（x）g（x）的最大值（2）设 x1x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）2，只需证，由此入手，能够证明（x1+x2）g（x1+x2）2 22【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质【分析】（）把圆 C 的标准方程化为一般方程，由此利用 2=x2+y2，x=cos，y=sin，能求出圆 C 的极坐标方程（）由直线 l 的参数方程求出直线 l 的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线 l 的斜率 23【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（）通过对 x 取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式 f（x）1 的解集；（）利用等价转化思想，可得|xa|3，从而可得，即可求出实数 a 的取值范围