【湖南省岳阳县第一中学年】2017届高三上学年期开学年考试文科数学年试题.pdf

-1-/13 湖南省岳阳市湖南省岳阳市 20172017 年高考一模理科年高考一模理科数学数学试卷试卷 答答 案案 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）15CBACA 610ADCCD 1112AB 二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）132 3 1415 152 166(2n 1)三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程）17（12 分）解：（1）21nnSa，211 1nnSa ，211nnnaaa ，31nnaa，又1121Sa，113a，na是以13为首项，以13为公比的等比数列，1()n3na；（2）证明：133222112()()(1)(1)1loglognnnaabnnn nnn 1111112(1)()()2(1)222311nTnnn 18（12分）解：（1）0.004a 2016年 该 居 民 区PM2.5的 年 平 均 浓 度125 0.1537.5 0.662.5 0.1587.5 0.1425（微克/立方米），425 35，2016 年该居民区PM2.5 的年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民取的环境需要改进（2）由题意可得：PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为 0.9，X 的可能取值为 0，1，2，333(0.1)P()(0.9)kkkXkC，可P(0)0.001X，P(1)0.027X，P(2)0.243X，P(3)0.729X X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 -2-/13 ()0 0.001 1 0.0272 0.2433 0.72927E X ，或()3 0.927E X 19（12 分）（1）证明：长方形 ABCD 中，2 2AB，2AD，M 为DC的中点，2AMBM，BMAM 平面ADM 平面ABCM，平面ADM平面ABCMAM，BM 平面ABCM BM 平面ADM AD平面ADMADBM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设DEDB，则平面 AMD 的一个法向量(0,1,0)n，1,(2,1)MEMDDB，(2),0,0AM ，设平面 AME 的一个法向量为(,)x y z，则20(1)2(1)0m AMxm MExyz，取1y，得0 x，21z，则(0,1,1)2，5|5,|m nnosmcn，求得12，故 E 为BD的中点 20.（12 分）解：（1）2ABF的周长等于4 3，且1F在边AB上，1212()()4 3BFBFAFAF，224 3aa，即3a，又63cea，2c，221bab，椭圆 C 的标准方程为：2213xy；（2）依题意，设00(,)P x y，设过 P 点的直线为00()yyk xx，记00bkxy，整理得：ykxb，并代入椭圆方程，得：222236330 xk xkbxb，-3-/13 令0，得222222939930k bbk bk，229330kb，即22310kb，又00bkxy，222200003210kk xkx yy，220033 0yx ，20122013ykkx，又22004xy，即22004yx，201220(4)113xkkx，过圆 O：224xy上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线均垂直，MN 为圆 O 的直径，当 P 点为(0,2)时，PMN面积的最大，最大值为14242 21解：（1）1a 时，函数()ln(1)1xf xxx，2211()1(1)(1)xfxxxx，2e 1(e 1)ef，又1(e 1)ef，1a 时，函数()f x在e 1x 处的切线方程是：21e 1(e1)eeyx；（2）由题意得：函数()f x的定义域是(1,)，且3(23)()(1)x xafxx，322a 时，则23 0a，若10 x 或23xa，则()0fx，若023xa，则()0fx，()f x在区间(1,0)(23,)a递增，在(0,23)a递减；（3）显然1()()g xgx，令()ln()xg x，因此()x在(0,)上的最大值等于其在(0,1)上的最大值，2111()(1)ln(1)()ln11xxxxxxx，设2111()(1)ln(1)()ln11h xxxxxxx，-4-/13 2223222(1)ln(1)(1)()(1)xxxxxh xxx，由（2）得，当2a 时，()f x在区间(0,1递减，则222()ln 1(0)0(1)xxf xxfx（）-，()0h x，故函数()h x在区间(0,1递减，于是()(1)0h xh，从而函数()x在区间(0,1递增，进而()(1)2ln2x，()ln()xg x，函数()g x的最大值是 4 22（10 分）解：（1）曲线 C 的极坐标方程为6sin，即26 s i n，化为直角坐标方程：226xyy，配方为：2(y 3)29x，圆心 C(0,3)，半径3r 直线 l 的参数方程为11xatyt （t 为参数），消去参数 t 可得：10 xaya.（2）由直线 l 经过定点(1,1)P，此点在圆的内部，因此当CPl时，|BD取到最小值，则111 311 0CPkkk ，解得112k 12a ，解得2a 23解：（1）函数()2|f xxaa，故不等式()6f x，即60626aaxaa，求得33ax 再根据不等式的解集为3|2xx，可得32a，实数1a （2）在（1）的条件下，()21|1f xx，(n)21|1fn，存在实数 n 使(n)()fmfn成立，即()()f nfnm，即21|21|2|nnm 由于|21|21|(21)(21)|2nnnn，21|21|nn的最小值为 2，4m，-5-/13 故实数 m 的取值范围是4,)-6-/13 湖南省岳阳市湖南省岳阳市 20172017 年高考一模理科年高考一模理科数学数学试卷试卷 解解 析析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 1【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集合 A 和 B，由此利用交集性质能求出 AB 解：集合 A=2，0，2，B=x|2x22x31=x|1x3，AB=0，2 故选：C 2【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】由 zi=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求 解：由 zi=2i，得=，则，则在复平面内对应的点的坐标为：（1，2），位于第二象限 故选：B 3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直和面面垂直的性质进行判断即可 解：根据面面垂直的判定定理得若 m 则 成立，即充分性成立，若 则 m 不一定成立，即必要性不成立，故 m 是 的充分不必要条件，故选：A 4【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】利用 f（3）=9，可得 3a=9，解得 a=2于是 g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当 x0 时，当1x0 时，函数 g（x）单调性质，及 g（0）=0 即可得出 解：f（2）=4，-7-/13 2a=4，解得 a=2 g（x）=|log2（x+1）|=当 x0 时，函数 g（x）单调递增，且 g（0）=0；当1x0 时，函数 g（x）单调递减 故选 C 5【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线可得 z 的最值，可得 a 的方程，解方程可得 解：作出不等式组所对应可行域，如图，变形目标函数 z=3xy 可得 y=3xz，平移直线 y=3x 可知：当直线经过点 A 时，直线截距最小值，z 取最大值，由解得 A（a+2，2）代值可得 3a+62=7，解得 a=1，故选：A 6【考点】三角函数的周期性及其求法【专题】函数思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】根据三角函数的周期性求出，结合三角函数的图象和性质进行判断即可 解：函数 f（x）的最小正周期为 4，T=4，即=，则函数 f（x）=sin（2x）=sin（x），则 f（）=sin（）=sin（）0，且 f（）1，则函数 f（x）的图象关于点（，0）不对称，且关于直线 x=不对称，当x 时，x，x，此时函数 f（x）为增函数，故选：D -8-/13 7【考点】系统抽样方法【专题】综合题；方程思想；演绎法；概率与统计【分析】根据系统抽样的方法的要求，确定分段间隔，根据随机抽得的号码为 003，分别计算从 001 到 200，从 201 到 355，可得结论 解：系统抽样的分段间隔为=10，在随机抽样中，首次抽到 003 号，以后每隔 10 个号抽到一个人，则被抽中的人数构成以 3 为首项，10 为公差的等差数列，故可分别求出在 001 到 200 中有 20 人，在 201 至 355 号中共有 16 人 故选：C 8【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中 SC平面 ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为 2，外接球的半径为，即可求出此四面体的外接球的体积 解：由三视图知该几何体为棱锥 SABD，其中 SC平面 ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为 2，外接球的半径为 所以四面体的外接球的体积=4 故选：C 9【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S=sin+sin+sin+sin的值，-9-/13 由于 y=sin的周期为 6，且同一周期内各函数值的累加和为 0，由于 20166=336，故 S=sin+sin+sin+sin=3360=0，故选：D 10【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆【分析】根据题意，得出圆 C 的圆心 C 与半径 r，设点 P（a，b）在圆 C 上，表示出=（a+m，b），=（am，b），利用，求出 m2，根据|OP|表示的几何意义，得出 m 的取值范围 解：圆 C：（x3）2+（y4）2=1，圆心 C（3，4），半径 r=1；设点 P（a，b）在圆 C 上，则=（a+m，b），=（am，b）；（a+m）（am）+b2=0；即 m2=a2+b2；|OP|=，|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6，最小值是|OC|r=51=4；m 的取值范围是4，6 故选 D 11【考点】双曲线的简单性质【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出 A 的坐标，可得 kAH=，利用OAB 的垂心为 C2 的焦点，可得（）=1，由此可求 C1 的离心率 解：双曲线的渐近线方程为 y=x，与抛物线 C2：x2=2py 联立，可得 x=0 或 x=，-10-/13 取 A（，），设垂心 H（0，），则 kAH=，OAB 的垂心为 C2 的焦点，（）=1，5a2=4b2，5a2=4（c2a2）e=故选 A 12【考点】二次函数的性质【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用【分析】由新定义可知 f（x1）=f（x2）=，即方程 x2x=在区间（0，m）有两个解，利用二次函数的性质可知实数 m 的取值范围 解：由题意可知，在区间0，m存在 x1，x2（0 x1x2a），满足 f（x2）=，f（x）=x2x，方程 x2x=在区间（0，m）有两个解 令 g（x）=x2x，（0 xm）则 解得 m，-11-/13 实数 m 的取值范围是（，）故选：B 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13【考点】余弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形【分析】由已知利用三角形面积公式可求 c，进而利用余弦定理可求 a 的值 解：=bcsinA=，解得：c=2，由余弦定理可得：a=2 故答案为：2 14【考点】二项式系数的性质【专题】对应思想；定义法；二项式定理【分析】根据题意求出 n 的值，再利用二项式展开式的通项公式，令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中常数项的值 解：二项式的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，n=6，则展开式中的通项公式为 Tr+1=（1）rx6r 令 6r=0，求得 r=4，故展开式中的常数项为（1）4=15 故答案为：15 15【考点】余弦函数的图象【专题】转化思想；定义法【分析】根据题意，求解出线段 OA，OC 及的图象围成的区域面积 和矩形 OABC的面积可得点 M 落在区域内 的概率 解：由题意：线段 OA，OC 及的图象围成的区域面积=1，矩形 OABC 的面积 S=-12-/13 点 M 落在区域内 的概率为：1 故答案为：16【考点】数列与函数的综合；函数零点的判定定理【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用已知当 x1，2）时，；x0，+）都有 f（2x）=2f（x）可得当 x2，4）时的解析式，同理，当 x4，8）时，f（x）的解析式，分别作出 y=f（x），y=a，则 F（x）=f（x）a 在区间（2，3）和（3，4）上各有一个零点，分别为 x1，x2，且满足 x1+x2=23，依此类推：x3+x4=26，x2013+x2014=232n1利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 解：当 x1，2）时，；x0，+）都有 f（2x）=2f（x）当 x2，4）时，1，2），f（x）=2f（x）=2（|）=1|x 3|，x 4，8）时，2，4），f（x）=2f（x）=2（1|x3|）=2|x6|，同理，则，F（x）=f（x）a 在区间（2，3）和（3，4）上各有 1 个零点，分别为 x1，x2，且满足 x1+x2=23=6，依此类推：x3+x4=26=12，x5+x6=212=24，x2n1+x2n=232n1 当时，x1+x2+x2n1+x2n=6（1+2+22+2n1）=6=6（2n1），故答案为：6（2n1）17（12 分）【考点】数列的求和；数列递推式【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列【分析】（1）根据数列的递推公式和对数的运算性质即可求出数列an的通项公式，（2）利用裂项求和即可求出数列bn的前 n 项和 Tn，再放缩证明即可 -13-/13 18（12 分）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】数形结合；转化思想；概率与统计【分析】（1）a=0.004 2016 年该居民区 PM2 5 的年平均浓度=12 50.15+37 50.6+62 50.15+87 50.1，与 35 比较即可判断出结论（2）由题意可得：PM25 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为 0.9，X 的可能取值为 0，1，2，3P（X=k）=19（12 分）【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）根据线面垂直的性质证明 BM平面 ADM 即可证明 ADBM（）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可 20.（12 分）【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【专题】综合题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）通过椭圆定义及ABF2 的周长等于 4，可知 a=，利用 e=，可知 c=，通过b=可知 b=1，进而可得结论；（2）通过设 P（x0，y0）及过 P 点的直线为 yy0=k（xx0），并与椭圆方程联立，通过令根的判别式为0，计算可知过圆 O：x2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线均垂直，进而计算可得结论 21【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用【分析】（1）求出函数的导数，计算 f（e1），f（e1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，根据 a 的范围求出函数的单调区间即可；（3）令（x）=lng（x），根据（x）在（0，+）上的最大值等于其在（0，1）上的最大值，求出（x）的最大值，从而求出 g（x）的最大值即可 22（10 分）【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程【分析】（1）曲线 C 的极坐标方程为=6sin，即 2=6sin，利用互化公式可得直角坐标方程直线 l 的参数方程为（t 为参数），消去参数 t 可得普通方程（2）由直线 l 经过定点 P（1，1），此点在圆的内部，因此当 CPl 时，|BD|取到最小值，利用 kCPkl=1，解得 kl，即可得出 23【考点】绝对值不等式的解法【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用【分析】（1）通过讨论 x 的范围，求得 a3x3再根据不等式的解集为x|2x3，可得 a3=2，从而求得实数 a 的值（2）在（1）的条件下，f（n）=|2n1|+1，即 f（n）+f（n）m，即|2n1|+|2n+1|+2m 求得|2n1|+|2n+1|的最小值为 2，可得 m 的范围