专题07-圆锥曲线-汇集名校资源之三年(2016-2018)河北衡水中学高三数学(理)模拟试卷分项版.doc

专题07-圆锥曲线-汇集名校资源之三年(2016-2018)河北衡水中学高三数学(理)模拟试卷分项版(解析版)

一、选择题
1．【2017河北衡水中学高三押题卷】焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）
A. 或 B.
C. 或 D.
【答案】A
【解析】

点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离转化成到准线的距离，将比值问题转化成切线问题求解．学_科_网...
2. 【2018河北衡水中学高三市模拟联考】抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与抛物线在轴右侧的部分相交于点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由抛物线的定义可得， ，则 的斜率等于 ， 的倾斜角等于 ，可得 ，故 为等边三角形，又因为焦点 ， 的为 ，与可得点 ，抛物线的定义可得 故等边 的边长 ，的面， ，故选C.
3. 【2018河北衡水中学高三五调】已知焦点在轴上的双曲线的中点是原点，离心率等于 .以双曲线的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C. D．[来源:学§科§网Z§X§X§K]
【答案】C
考点： 双曲线的标准方程与几何性质.
4.【2018河北衡水中学高三9月联考】 已知双曲线：（，）的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】圆：的圆心为，双曲线的渐近线为.
依题意得。学#科网
故其离心率为.
故选A.
5. 【2018河北衡水中学高三9月联考】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B

点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.
6. 【2017河北衡水中学高三第三次摸底】已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】由题意得渐近线斜率为 ，即 ，选D.
7.【2017河北衡水中学高三押题卷一】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线方程为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】

8.【2017河北衡水中学高三上学期六调】已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为120°，则的离心率为 （ ）[来源:学科网]
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】设双曲线方程为
，

点睛：本题主要考查双曲线的性质——离心率；首先根据题意画出图形，过点 作 轴，得到，通过求解直角三角形得到坐标，代入双曲线方程可得 与 的关系，结合的关系和离心率公式，求得双曲线的离心率．
9.【2017河北衡水中学高三上学期四调】已知、是椭圆长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为，若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C. D．
【答案】A

10.【2017河北衡水中学高三押题卷三】 已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若=2，则=（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，①
由抛物线的性质可知,， ，则，
∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则，
由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即
，
代入整理得： ②，
由①②，解得：x0=2，p=2，
∴ ，
故选：B．

【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.
11.【2017河北衡水中学高三二模】 椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A 学科网

点睛：解答本题的思路是先借助圆的一般式方程，进而求出三角形外接圆的圆心坐标为，然后依据题设建立不等式，即，然后借助参数之间的关系求出椭圆离心率的取值范围使得问题获解。
12.【2017河北衡水中学高三上学期四调】已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点（在轴上方），满足，，则以为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C. D．
【答案】C

考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；2.圆的标准方程.
【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、圆的标准方程，属难题；在解抛物线有关问题时，凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般要运用定义转化为到准线的距离处理；抛物线的焦点弦一直是高考的热点，对于焦点弦的性质应牢固掌握.学科网
13．【2017河北衡水中学高三六调】以抛物线的一点为直角顶点作抛物线的两个内接，则线段与线段的交点的坐标为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】设，则，的方程为因为，所以带入上式可得于是在直线上，同理点也在上，因为交点为.故选：.
14. 【2016河北衡水中学高三上学期六调】已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．[来源:学,科,网]
【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．

把M点代入①得：．
解得p=．
故选：D．
二、填空题
15. 【2018河北衡水中学高三市模拟联考】已知是双曲线：（，）的一个焦点，为坐标原点，是双曲线上一点，若是等边三角形，则双曲线的离心率等于__________.
【答案】
【解析】设，是等边三角形，所以，代入化简得：，所以的离心率，故答案为.学@科网
16. 【2018河北衡水中学高三五调】已知抛物线方程为，焦点为，是坐标原点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为，若的面积为，则的值为__________.
【答案】
【解析】

考点：抛物线的标准方程及几何性质.
17. 【2017河北衡水中学高三第三次摸底】已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为__________．
【答案】

18. 【2017河北衡水中学高三押题卷二】设点是椭圆上的点，以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点、，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】试题分析：∵△PQM是锐角三角形，
∴
∴
化为
∴
解得
∴该椭圆离心率的取值范围是
故答案为：
19.【2017河北衡水中学高三上学期四调】过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线的准线的的交点为，点在抛物线的准线上的射影为，若，则抛物线的方程为 ．
【答案】[来源:学,科,网Z,X,X,K]

考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.向量数量积的几何意义.学科.网
20. 【2018河北衡水中学高三分科综合测试】已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，若，则__________．
【答案】
,则,即,故在中,高,应填答案。
点睛:解答本题的思路是先确定两切线的位置关系是互相垂直，进而确定三点共线，最后再证明是斜边上的高，然后借助三角形的面积相等巧妙地求出斜边上的高,应。
21. 【2017河北衡水中学高三二模】已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的焦点的取值范围为__________．
【答案】

点睛：首先要明确由可得为直角三角形，∠=90°，可得即然后根据双曲线的定义和几何性质可得从而得出结论
22. 【2016河北衡水中学高三上学期六调】已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是　　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用三角形是直角三角形求出顶点坐标，代入双曲线方程，利用双曲线的几何量之间的关系，求出离心率的表达式，然后求解即可．
【解答】解：抛物线焦点F（1，0），由题意0＜a＜1，且∠AFB=90°并被x轴平分，
所以点（﹣1，2）在双曲线上，得，即，
即，所以，
∵0＜a＜1，∴e2＞5，
故．
故答案为：．
三、解答题
23. 【2018河北衡水中学高三市模拟联考】已知椭圆（）的焦点分别为，，离心率，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，，且.
（1）求椭圆的标准方程；学科￥网
（2）过点的直线与椭圆有两个不同的交点，，且点在点，之间，试求和面积之比的取值范围（其中为坐标原点）.
【答案】(1)；(2).

24. 【2018河北衡水中学高三9月联考】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，其离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；
（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.
试题解析：
（1）由已知，得，，
又，
故解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1），知，如图，

若是菱形，则，即，
于是有.学科#网
又，
，
所以有，
整理得到，
即，上述关于的方程显然没有实数解，
故四边形不可能是菱形.
25. 【2018河北衡水中学高三分科综合测试】 已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，是椭圆的左、右焦点，以点为圆心、3为半径的圆与以点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析．

令，得，从而．
所以
．
当时，,
所以,综上可知．
【点睛】求椭圆的标准方程，常采用待定系数法，根据题意列出关于的方程，解方程求出，写出椭圆的标准方程，关于椭圆中的证明问题，根据题意设出点P的坐标，满足椭圆方程，作为一个证明的重要条件，要证明和的积为，需要写出直线AP、BP的方程，表示点M、N的坐标，得到和 的长的表达式，把重要条件中的代入，化简所得的积，恰好为，问题得以解决.
26. 【2017河北衡水中学高三押题卷】已知椭圆：的长轴长为6，且椭圆与圆：的公共弦长为.
（1）求椭圆的方程.
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形.若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）见解析.
，所以.当时，，所以；当时，，所以.
综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.
点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想转化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.
27. 【2018河北衡水中学高三二调】如图, 以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴交于点,点在单
位圆上, 且.
（1）求的值；
（2）若四边形是平行四边形.
①当在单位圆上运动时，求点的轨迹方程；
②设,点,且,求关于的函数的解析式, 并求
其单调增区间.

【答案】（1）；（2）①；②，增区间为和.
【解析】
试题分析：（1）由三角函数定义得，由齐次方程可计算的结果为；（2）①设中点为,,则,又,代入上式得点的轨
和.学科！网
考点：解三角形，轨迹方程，参数方程，三角恒等变换．
28.【2018河北衡水中学高三五调】 已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.

（1）求椭圆的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于两点，且为的中点，求面积的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
试题解析： （Ⅰ）因为椭圆的右焦点，…………1分
在椭圆上，，…………2分
由得，所以椭圆的方程为.…………4分
又圆心到的距离得，…………9分
又，所以点到的距离等于点到的距离，设为，即，………………10分
所以面积
，…………11分
令，则，
综上，面积的取值范围为.…………12分
考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.
29. 【2017河北衡水中学高三六调】已知抛物线的方程为，点为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，曲线在一点的法线即与该点切线垂直的直线。

（1）若点的法线被抛物线所截的线段最短，求点坐标；
（2）任意一条和轴平行的直线交曲线于点，关于在点Q的法线对称的直线为，直线通过一个定点，求定点坐标.
【答案】（1）见解析（2）[来源:学科网]

试题解析：解：（1）把 代入抛物线方程，解得，
抛物线方程为，设切点为，
显然点不为原点，在点处的法线方程为，
即，
消元得 ，

30.【2017河北衡水中学高三押题卷三】 中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且.
（1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；
（2）若，是射线上不同的两点，，过点的直线与交于，，直线与交于另一点，证明：是等腰三角形.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）由题意得，以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，得的轨迹方程为，再将相应的点代入即可得到点的轨迹的方程；（2）由（1）中的轨迹方程得到轴，从而得到，即可证明是等腰三角形.
试题解析：解法一：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.
依题意得.

，
由韦达定理，
同理，
所以或，
当时，轴，
当时，由，得，学,科,网...
同理，轴.
因此，故是等腰三角形.
解法二：
（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.
依题意得.
在轴上取，
因为点在线段上，且，
所以，
则，

，
所以，即轴，
因此，故是等腰三角形.学科.网
31. 【2017河北衡水中学高三二模】已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.
（1）若，当点的横坐标为时，为等腰直角三角形，求的方程；
（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.
【答案】（1）（2） 学科@网
即，也即，所以，即，又因为，所以，令，易知在上是减函数，所以.
点睛：设置本题的目的旨在考查抛物线的标准方程与几何性质及直线与抛物线的位置关系等知识的综合运用。解答本题的第一问时，直接依据等腰三角形的几何特征建立方程，通过求解方程使得问题获解；求解第二问时，先依据题条件建立直线的截距式方程为，借助直线与抛物线的方程之间的关系，运用坐标之间的联系建立目标函数，通过求函数的值域使得问题获解。
32.【2017河北衡水中学高三第三次摸底】 如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．

（1）求椭圆的离心率；
（2）若，求．
【答案】（1）（2）

所以原点到直线的距离为，
因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为．

点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.
33. 【2017河北衡水中学高三押题卷一】给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
(I)求椭圆的方程和其“准圆”的方程；
(II)点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.
(i)当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程，并证明；
(ii)求证:线段的长为定值.
【答案】（1）；（2）(i)见解析；(ii)见解析.
【解析】试题分析：（1）根据题目条件可求出的值，进而可得出椭圆的方程和其“准圆”方程；（2）①根据条件先求出点的坐标并设出直线的方程，再联立椭圆的方程，并结合，即可求得方程并进而证明；②根据前面的结论，并注意对直线的斜率进行讨论，证明线段总是准圆的直径，从而证得线段的长为定值.
试题解析：（1），
椭圆方程为，

同理可证当：时，直线垂直
②当斜率存在时，设点，其中.
设经过点与椭圆相切的直线为，
所以由
得.
由化简整理得，
因为，所以有.
设的斜率分别为，因为与椭圆相切，
所以满足上述方程，
所以，即垂直．学科￥网
综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.
所以线段为准圆的直径，，
所以线段的长为定值．
考点：1、椭圆及其方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系.
34. 【2017河北衡水中学高三上学期六调】已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，当时，．
（1）判断的形状，并求抛物线的方程；
（2）若两点在抛物线上，且满足，其中点，若抛物线上存在异于的点，使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）．
试题解析：(1)设，
则切线的方程为，且，
所以，
，所以，
所以为等腰三角形，且为的中点，
所以，因为，
所以，所以，得，
所以抛物线方程为；
(2)由已知，得的坐标分别为，设，
的中垂线方程为，①[来源:学科网ZXXK]
的中垂线方程为，②
联立①②，解得圆心坐标为 ：，
由，得，[来源:学科网]
因为，所以，
所以点坐标为．
35.【2016河北衡水中学高三上学期六调】 已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．
【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．学科@网

解法二：由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形．由此入手可以推导出的值．

而①
②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③
联立①③解得，
将x1，x2代入②中，解得．
（III）解法一：由（II）可知
当时，得，由已知得．
线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，
因此外接圆的方程为．
直线F2B的方程为，

36.【2016河北衡水中学高三上学期七调】已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切．
（1）求椭圆C的方程，
（2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线L交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1 k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程，运用韦达定理和三点共线斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．

因为（x1+4）（x2+4）=（my1+7）（my2+7=m2y1y2+7m（y1+y2）+49，
所以k1k2===﹣．
即k1k2为定值﹣．