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第2课时 分段函数与映射
知识点一 分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．
知识点二 映射
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．,
映射由三要素组成，集合A，B以及A到B的对应关系，集合A，B可以是非空的数集，也可以是点集或其他集合．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．( )
(2)分段函数由几个函数构成．( )
(3)函数f(x)＝是分段函数．( )
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．已知函数f(x)＝则f(2)等于( )
A．0 B.
C．1 D．2
解析：f(2)＝＝1.
答案：C
3．若f(x)＝且f(x)＝1，则x＝( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
解析：当x≥0时，f(x)＝1⇒x＝1，当x<0时，f(x)＝1⇒－x＝1，即x＝－1.
答案：C
4．若A为含三个元素的数集，B＝{－1,3,5}，使得f：x→2x－1是从A到B的映射，则A等于( )
A．{－1,2,3} B．{－1,0,2}
C．{0,2,3} D．{0,1,2}
解析：由映射的概念，A中元素在关系x→2x－1下，成为－1,3,5，则A＝{0,2,3}．
答案：C
类型一 求分段函数的函数值,,例1 (1)设f(x)＝则f＝( )
A. B. C．－ D.
(2)已知f(n)＝则f(8)＝________.
【解析】 (1)∵f＝－2＝－，∴f＝f＝＝，故选B.
(2)因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))中，即f(8)＝f(f(13))．
因为13>10，所以代入f(n)＝n－3中，得f(13)＝10，
故f(8)＝f(10)＝10－3＝7.
【答案】 (1)B (2)7
判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解．
方法归纳
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．
跟踪训练1 已知f(x)＝求f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1)))．
解析：∵－1<0，∴f(－1)＝0，
∴f(f(－1))＝f(0)＝π，
∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.
根据不同的取值代入不同的解析式．
类型二 分段函数的图象及应用
例2 (1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________；
(2)已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)．
①用分段函数的形式表示该函数；
②画出该函数的图象；
③写出该函数的值域．
【解析】 (1)由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)；
第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．所以该分段函数的定义域为[－1,2]，值域为[－1,1)．
(2)①当0≤x≤2时，
f(x)＝1＋＝1，
当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x.
∴f(x)＝
②函数f(x)的图象如图所示．
③由②知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
【答案】 (1)[－1,2] [－1,1) (2)见解析
观察图象，求出定义域，值域．
去绝对值，分－2<x≤0与0<x≤2两类．
方法归纳
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
跟踪训练2 函数y＝的图象的大致形状是( )
解析：因为y＝＝所以函数的图象为选项A.
答案：A
方法一 去绝对值，化为分段函数，画出函数图象．
方法二 通过函数图象过的特殊点，如(1,1)，(－1,1)进行检验．
类型三 映射的概念
例3 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：
(1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：作圆的内接矩形；
(3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝R，对应关系f：每个男生对应自己的身高；
(4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝x.
【解析】 (1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0∉B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射．
(4)是映射，因为A中每一个元素在f：x→y＝x作用下对应的元素构成的集合C＝{y|0≤y≤1}⊆B，符合映射定义.
依据映射的概念逐一判断．
方法归纳
判断一个对应是否为映射的两个关键点
(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素对应；
(2)B中的对应元素是否是唯一的．
[注意] “一对一”或“多对一”的对应都是映射．
跟踪训练3 (1)下列对应法则是从集合A到集合B的映射的是( )
A．A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x| B．A＝{x|x≥0}，B＝{x|y>0}，f：x→y＝
C．A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1| D．A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋2
(2)给定映射f：(x，y)→(x＋2y,2x－y)，在映射f下(4,3)的原象为( )
A．(2,1) B．(4,3) C．(3,4) D．(10,5)
解析：(1)A中当x＝0时，y＝0∉B，同理B错．C中，当x＝1时，y＝0∉B，故C不正确；由于x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，故D正确．
(2)由题意知解得
∴映射f下(4,3)的原象为(2,1)．
答案：(1)D (2)A
利用对应法则．
f(x，y)→(x＋2y，2x－y)
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若f：A→B能构成映射，下列说法正确的是( )
①A中的任一元素在B中必须有像且唯一；②A中的多个元素可以在B中有相同的像；③B中的多个元素可以在A中有相同的原像；④像的集合就是集合B.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：根据映射的概念，A中的元素在B中有唯一的像与之对应，这样对应可以是多对一，也可以是一对一．B中的元素可以没有原像对应，故①②正确，选B.
答案：B
2．已知函数f(x)＝且f(a)＋f(1)＝0，则a等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：当a>0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0⇒a＝－1，与a>0矛盾；当a≤0时，f(a)＋f(1)＝a＋1＋2＝0⇒a＝－3，符合题意．
答案：A
3．函数y＝x＋的图象是( )
解析：y＝x＋＝
答案：D
4．下列各对应中，构成映射的是( )
解析：选项A，C中集合A中的元素1，在集合B中有2个元素与之对应；选项B中集合A中的元素2在集合B中无元素与之对应，所以都不是映射，只有D项符合映射的定义．故选D.
答案：D
5．已知函数y＝则使函数值为5的x的值是( )
A．－2 B．2或－
C．2或－2 D．2或－2或－
解析：当x≤0时，x2＋1＝5，x＝－2.当x>0时，－2x<0，不合题意．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知f(x)＝则f(1)＋f(－1)＝________.
解析：因为1>0，所以f(1)＝2×1＝2；因为－1<0，所以f(－1)＝(－1)2－2＝－1.故f(1)＋f(－1)＝2＋(－1)＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)在[－1,2]上的图象如图所示，则f(x)的解析式为________．
解析：当x∈[－1,0]时，y＝x＋1；当x∈(0,2]时，y＝－x，
故f(x)的解析式为
f(x)＝
答案：f(x)＝
8．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.
解析：由f(2)＝3，可知2a－1＝3，所以a＝2，
所以f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5.
答案：5
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－2)))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
解析：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
∴f(f(－2))＝f(－1)＝2，
∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1,1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
10．已知A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→.
(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？
(2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？
解析：(1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系得＝＝，即与A中元素1相对应的B中的元素是.
(2)B中元素，即＝，解得x＝4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.
[能力提升](20分钟，40分)
11．a，b为实数，集合M＝，N＝{a,0}，f：x→2x表示把集合M中的元素x映射到集合N中为2x，则a＋b＝( )
A．－2 B．0 C．2 D．±2
解析：由题意知M中元素只能对应0,1只能对应a，所以＝0，a＝2，所以b＝0，a＝2，因此a＋b＝2，故选C.
答案：C
12．从集合A到集合B的映射f：x→x2＋1，若A＝{－2，－1,0,1,2}，则B中至少有________个元素．
解析：根据映射的定义可得，x＝±2→y＝5，x＝±1→y＝2，x＝0→y＝1，所以A中元素在对应法则f作用下的集合为{1,2,5}，故集合B中至少有3个元素．
答案：3
13．画出下列函数的图象：
(1)f(x)＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)；
(2)f(x)＝|x＋2|.
解析：(1)f(x)＝[x]＝函数图象如图1所示．
图1 图2
(2)f(x)＝|x＋2|＝画出y＝x＋2的图象，取[－2，＋∞]上的一段；画出y＝－x－2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．
14．已知函数f(x)＝
(1)求f，f(f(－1))的值；
(2)若f(a)>2，求a的取值范围．
解析：(1)因为函数
f(x)＝
所以f＝＋5，
f(－1)＝3×(－1)＋5＝2，
f(f(－1))＝f(2)＝－2×2＋8＝4.
(2)因为f(a)>2，
所以当a≤0时，f(a)＝3a＋5>2，
解得a>－1，所以－1<a≤0；
当0<a≤1时，f(a)＝a＋5>2，
解得a>－3，所以0<a≤1；
当a>1时，f(a)＝－2a＋8>2，
解得a<3，所以1<a<3.
综上，a的取值范围是(－1,3).
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