2022届高三下学期联合测试理数试卷-答案.docx

广东省广雅中学、江西省南昌二中2017届高三下学期联合测试理数试卷
答 案
一、选择题
1~5．BCABC 6~10．ACBBC 11~12．AB
二、填空题
13．
14．13
15．4
16．
三、解答题
17．解:（Ⅰ）
.
（Ⅱ）由余弦定理,∴,
当且仅当时,有最大值,
∵,,.
∴.
18．解:（Ⅰ）这4个人中,每个人去淘宝网购物的概率为,去京东商城购物的概率为,
设“这4个人中恰有人去淘宝网购物”为事件（）,
则.
这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率.
（Ⅱ）易知的所有可能取值为,,.
,
,
.
所以的分布列是

0
3
4

所以数学期望.
19．解:（Ⅰ）以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,
∴,,,
设平面的一个法向量为,
则∴令,得.
∵,
∴,∴平面.
（Ⅱ）易知平面的一个法向量为,设平面与平面所成的二面角为,
易知,则,∴,
所以平面与平面所成的二面角的余弦值为.
（Ⅲ）设,则,易知平面的一个法向量为,
∴,
当,即时,取得最大值,且.

20.解:（Ⅰ）由题意知,由椭圆定义得,即,,
∴椭圆的方程为.
（Ⅱ）假设在轴上存在点,使得恒成立.
当直线的斜率不存在时,,,由于 ,
所以,
下面证明时,恒成立.（直线方程其它设法通过验证也相应给分）
当直线的斜率为0时,,,
则,符合题意.
当直线的斜率不为0时,设直线的方程为,,,
由及,得,有,
所以,.
因为,,
∴
,
综上所述,在轴上存在点,使得恒成立.
21．解:（Ⅰ）的导数为,
因为函数在上是增函数,
所以在上恒成立,
即在上恒成立,
所以只需,
又因为,所以.
（Ⅱ）因为,所以,
所以在上单调递减,
所以在上的最大值为.
（Ⅲ）证明:因为,,所以,由（Ⅰ）知在上是增函数,
所以,即,化简得,又因为,
由第（Ⅱ）问可知,即,
综上得证.
22．解:（Ⅰ）曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为,
所以圆心到直线的距离（弦心距）,
圆心到直线的距离为,即,
所以或.
（Ⅱ）曲线的方程可化为,其参数方程为（为参数）,
因为为曲线上任意一点,,
所以的取值范围是.
23．解:（Ⅰ）显然,
当时,解集为,,,无解;
当时,解集为,令,,.
综上所述,.
（Ⅱ）当时,令
由此可知,在单调递减,在单调递增,在单调递增,
所以当时,取到最小值.
由题意知,,即实数的取值范围为.

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