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2.矩形的判定
1.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是( A )
(A)AC=BD
(B)AC⊥BD
(C)AO=CO
(D)AB=AD
2.已知平行四边形ABCD,AC,BD是它的两条对角线,那么下列条件中,能判断这个平行四边形为矩形的是( C )
(A)∠BAC=∠DCA
(B)∠BAC=∠DAC
(C)∠BAC=∠ABD
(D)∠BAC=∠ADB
3.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,∠1=∠2.若AC=13,BC=12,则四边形ABCD的面积是( D )
(A)20 (B)30 (C)50 (D)60
4.在四边形ABCD中,AC和BD的交点为O,不能判断四边形ABCD为矩形的是( C )
(A)AB=CD,AD=BC,AC=BD
(B)AO=CO,BO=DO,∠A=90°
(C)∠A=∠C,∠B+∠C=180°
(D)AB∥CD,AB=CD,∠A=90°
5.如图,四边形ABCD是平行四边形,添加一个条件: ∠ABC=90°(或AC=BD等) ,可使它成为矩形.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC,连结AE,BF.当∠ACB为 60 °时,四边形ABFE为矩形.
7.如图,在两条平行直线a和b上用直角曲尺画两条直线,则构成的四边形ABCD为 矩形 .
8.学完矩形的判定后,小明和小丽想实际应用一下(检验教室的门是否为矩形).根据小明和小丽的对话,你认为小明和小丽谁正确:
小明:“我用直尺量这个门的两条对角线,发现它们的长度相等,所以这个四边形门就是矩形.”
小丽:“我用角尺量这个门的任意三个角,发现它们都是直角.所以这个四边形门就是矩形.”
解:小明的不一定是矩形,只根据对角线相等不能判定四边形为矩形;
因为对角线相等的平行四边形是矩形,所以小明的说法错误;
小丽的一定是矩形,因为有三个角是直角的四边形是矩形.
所以小丽的说法正确.
9.(2018北京门头沟期末)已知,如图,在▱ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连结AF和BF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形;
(2)如果CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分∠DAB.
证明:(1)因为四边形ABCD是平行四边形,
所以DF∥BE.因为DF=BE,
所以四边形BFDE是平行四边形.
因为DE⊥AB,所以∠DEB=90°.
所以四边形BFDE是矩形.
(2)因为四边形BFDE是矩形,
所以∠BFD=∠BFC=90°.
所以BC==5,所以AD=BC=5.
因为DF=5,所以AD=DF.
所以∠DAF=∠DFA.
因为AB∥CD,
所以∠DFA=∠FAB.
所以∠DAF=∠FAB.
所以AF平分∠DAB.
10.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB,外角∠ACD的平分线于点E,F.
(1)若CE=8,CF=6,求OC的长;
(2)连结AE,AF.问:当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.
解:(1)因为EF交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于
点F,
所以∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF,
因为EF∥BC,
所以∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,
所以∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,
所以OE=OC,OF=OC,所以OE=OF.
因为∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,
所以∠ECF=90°,
在Rt△CEF中,
由勾股定理得EF===10,
所以OC=OE=EF=5.
(2)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由:
连结AE,AF,如图所示,
当O为AC的中点时,
AO=CO,
因为EO=FO,
所以四边形AECF是平行四边形,
因为∠ECF=90°,
所以平行四边形AECF是矩形.
11.(拓展探究)(2018青岛)已知,如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连结CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连结FD.
(1)求证:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的
结论.
(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以BF∥CD,AB=CD,所以∠AFG=∠DCG.
因为GA=GD,∠AGF=∠CGD,
所以△AGF≌△DGC.
所以AF=CD.所以AB=AF.
(2)解:四边形ACDF是矩形.
证明如下:
因为AF=CD,AF∥CD,
所以四边形ACDF是平行四边形.
所以AG=DG,FG=CG.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以∠BAD=∠BCD=120°.
所以∠FAG=60°.因为AB=AF,AG=AB,
所以AG=AF.所以△AFG是等边三角形.
所以AG=GF.
所以AG=DG=FG=CG.所以AD=CF.
所以四边形ACDF是矩形.
12.(方程思想)如图,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC,AB=
14 cm,AD=18 cm,BC=21 cm,点E由点A出发沿AD方向向点D匀速运动,速度为1 cm/s,点F由点C出发沿CB方向向点B匀速运动,速度为2 cm/s,如果动点E,F同时从A,C两点出发,连结EF,若设运动的时间为t s,解答下列问题:
(1)当t何值时,梯形AEFB的面积是91 cm2?
(2)当t何值时,四边形AEFB是矩形?
解:(1)根据题意,得AE=t cm,CF=2t cm,
则BF=(21-2t)cm.因为S梯形AEFB=91,
所以×(t+21-2t)×14=91.所以t=8.
所以当t=8时,梯形AEFB的面积是91 cm2.
(2)根据题意,得AE=t cm,CF=2t cm,
则BF=(21-2t)cm.
因为AE∥BF,∠B=90°,
所以当AE=BF时,四边形AEFB是矩形.
所以t=21-2t.所以t=7.
所以当t=7时,四边形AEFB是矩形.
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