2022-2022学年高中数学课时作业12正整数指数函数北师大版必修.doc

课时分层作业(十二)　正整数指数函数
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列给出的四个正整数指数函数中，在定义域内是减少的是(　　)
A．y＝1.2x(x∈N＋)　 B．y＝3x(x∈N＋)
C．y＝0.99x(x∈N＋) D．y＝6x(x∈N＋)
C　[A、B、D中底数均大于1，对应函数均为增函数，C中底数0.99∈(0,1)，所以y＝0.99x(x∈N＋)是减少的．]
2．函数y＝5x，x∈N＋的值域是(　　)
A．R B．N＋
C．N D．{5,52,53,54，…}
D　[因为函数y＝5x，x∈N＋的定义域为正整数集N＋，所以当自变量x取1,2,3,4，…时，其相应的函数值y依次是5,52,53,54，….因此，函数y＝5x，x∈N＋的值域是{5,52,53,54，…}．]
3．若函数f(x)＝(a2－5a－5)ax为正整数指数函数，则a的值为(　　)
A．－1 B．6
C．－1或6 D．－6
B　[由得a＝6.]
4．某企业各年总产值预计以10%的速度增长，若2016年该企业全年总产值为1 000万元，则2019年该企业全年总产值为(　　)
A．1 331万元 B．1 320万元
C．1 310万元 D．1 300万元
A　[易知1 000(1＋10%)3＝1 331(万元)．]
5．正整数指数函数y＝ax在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a等于(　　)
A．－3 B．2
C．－3或2 D．以上均不对
B　[因为正整数指数函数y＝ax在[1,2]上单调，由题意得a＋a2＝6(a>0且a≠1)，解得a＝2.]
二、填空题
6．已知0<a<1，则函数y＝ax－1(x∈N＋)的图像在第________象限．
四　[因为0<a<1，所以y＝ax(x∈N＋)是减少的，其图像为第一象限内一系列孤立的点且分布在y＝1与y＝0之间，向下平移一个单位得y＝ax－1(x∈N＋)的图像，所以y＝ax－1(x∈N＋)的图像在第四象限．]
7．若集合{3，|x|，x}＝{－2,2，y}，则2x＋2y＝________.
　[因为{3，|x|，x}＝{－2,2，y}，所以y＝3，x＝－2，
所以2x＋2y＝2－2＋23＝.]
8．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过______小时．
3　[细菌个数y与分裂次数x的关系为y＝2x，由题意知2x＝4 096，即2x＝212，所以x＝12，所需时间为12×15＝180分钟，即3个小时．]
三、解答题
9．求不等式3－x2<32x(x∈N＋)的解集．
[解]　由3－x2<32x得3x2－3<32x.
因为函数y＝3x，x∈N＋为增函数，
所以x2－3<2x，即x2－2x－3<0，
所以(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3.
又因为x∈N＋，所以x＝1或x＝2.故不等式的解集为{1,2}．
10．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．
[解]　(1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)∵f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，
∴f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3，f(x)无最大值．
[等级过关练]
1．已知正整数指数函数y＝(a－1)x(x∈N＋)是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．a>2 B．a<2
C．1<a<2 D．a<1
C　[由题意0<a－1<1，∴1<a<2.]
2．若正整数x，满足3x≤27，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，3] B．[3，＋∞)
C．{0,1,2,3} D．{1,2,3}
D　[由3x≤27，即3x≤33得x≤3，又x∈N＋，所以x＝1,2,3.]
3．当x∈{x|－1<x≤4，x∈N＋}时，函数f(x)＝1－x的值域是________．
　[因为{x|－1<x≤4，x∈N＋}＝{1,2,3,4}，
∴当x＝1,2,3,4时，f(x)＝，，，，故函数f(x)的值域为.]
4．已知集合A＝{x|1<2x<16，x∈N＋}，B＝{x|0≤x<3，x∈N}，则A∩B＝________.
{1,2}　[由1<2x<16(x∈N＋)得x＝1,2,3，即A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，所以A∩B＝{1,2,3}∩{0,1,2}＝{1,2}．]
5．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t)．
(1)写出函数y＝f(t)的定义域和值域；
(2)在坐标系中画出y＝f(t)(0≤t<6)的图像；
(3)写出研究进行到第n个小时(n≥0，n∈Z)时，细菌的总个数．(用关于n的式子表示)
[解]　(1)y＝f(t)的定义域为{t|t≥0}，值域为{y|y＝2n，n∈N＋}；
(2)0≤t<6时，f(t)为分段函数，
y＝
图像如图所示．
(3)n为偶数且n≥0时，y＝2＋1；
n为奇数且n≥0时，y＝2＋1.
∴y＝