大学物理实验测量不确定与数据处理.pptx

建筑土木与智能科学班实验分组（周三上午）建筑土木与智能科学班实验分组（周三上午）学号范围学号范围组别组别25120102201513 25120102201525A25120102201526 25120102201538B25120102201539 25120102201552C25120102201553 25120102201565D25120102201566 25120102201578E25120102201579 25120102201591F25120102201592 25320102204974G31520102204096 31520102204107H31520102204108 31520102204120I31520102204121 31520102204133J31520102204134 31520102204144K计算机班实验分组（周三下午）计算机班实验分组（周三下午）学号范围学号范围组别组别23020102203900 23020102203911A23020102203912 23020102203923B23020102203924 23020102203936C23020102203937 23020102203947D23020102203948 23020102203958E23020102203959 23020102203969F23020102203970 23020102203980G23020102203981 23020102203991H23020102203992 23020102204002I23020102204003 23020102204013J23020102204014 23020102205001K成绩评定方法成绩评定方法最终成绩最终成绩=平时成绩平时成绩 60%+考试成绩考试成绩 40%平时成绩平时成绩=（试验理论课作业成绩（试验理论课作业成绩+十一个实验的成绩）十一个实验的成绩）/12（各个（各个实验的平时成绩由各负责老师给出）实验的平时成绩由各负责老师给出）考试采取考试采取闭卷方式闭卷方式，考察内容为，考察内容为实验理论知识与某个实验的操作知识实验理论知识与某个实验的操作知识（具体的要在考前通过抽签决定）（具体的要在考前通过抽签决定）第一周理论课的作业要在第一周理论课的作业要在第四周以前第四周以前，由各班班长收好后交到，由各班班长收好后交到116教教室的薛老师处，此后每迟交一周将在理论课作业的成绩上减室的薛老师处，此后每迟交一周将在理论课作业的成绩上减10分分各周的实验报告都是当周做实验下一周上实验课时提交，同样每迟交各周的实验报告都是当周做实验下一周上实验课时提交，同样每迟交一周扣此项实验得分一周扣此项实验得分10分分缺交三次及三次以上缺交三次及三次以上报告的同学将被报告的同学将被取消期末考试资格取消期末考试资格同学有事请假要有请假条，同学有事请假要有请假条，请假条必须有教秘签字盖章请假条必须有教秘签字盖章，缺做的实验，缺做的实验要自己找时间补上，交补做实验报告的时间以补做实验的时间开始算要自己找时间补上，交补做实验报告的时间以补做实验的时间开始算起起实验报告要求实验报告要求每次实验的报告分为：每次实验的报告分为：预习报告预习报告和和实验报告实验报告，两个报告都，两个报告都必须要使用正规的厦必须要使用正规的厦门大学实验报告纸或作业纸书写门大学实验报告纸或作业纸书写（个别需要打印的图表除外）。（个别需要打印的图表除外）。预习报告内容：预习报告内容：实验名称、实验目的、实验步骤、主要公式和必要的电路图等、实验名称、实验目的、实验步骤、主要公式和必要的电路图等、实验数据表格（分清已知量、指定量、待测量和单位）。写预习报告的目的是实验数据表格（分清已知量、指定量、待测量和单位）。写预习报告的目的是让同学们在实验前能够基本清楚这个实验要做些什么注意些什么，即使有搞不让同学们在实验前能够基本清楚这个实验要做些什么注意些什么，即使有搞不懂的地方也可以引起注意，在上实验课的时候从实验老师那里得到解答。懂的地方也可以引起注意，在上实验课的时候从实验老师那里得到解答。注意：注意：每次实验课结束时，实验原始数据要用圆珠笔或水笔记录，不能用铅笔，最后每次实验课结束时，实验原始数据要用圆珠笔或水笔记录，不能用铅笔，最后的实验数据要有实验老师签字方为有效，否则以缺做实验论。的实验数据要有实验老师签字方为有效，否则以缺做实验论。实验报告内容：实验报告内容：实验名称、实验目的、实验原理简诉（不必抄书）、不写实验实验名称、实验目的、实验原理简诉（不必抄书）、不写实验步骤、实验主要仪器设备、实验数据表格、数据处理计算主要过程、误差分析步骤、实验主要仪器设备、实验数据表格、数据处理计算主要过程、误差分析过程、必要的作图及实验结果和结论。过程、必要的作图及实验结果和结论。每次实验必须有预习报告，上课前实验老师要检查预习报告，对于没有预习报每次实验必须有预习报告，上课前实验老师要检查预习报告，对于没有预习报告或预习报告太差的同学，实验老师有权取消其本次实验资格。预习报告和实告或预习报告太差的同学，实验老师有权取消其本次实验资格。预习报告和实验报告必须分别写清实验学生的姓名、学号、专业，并以预习报告在上，实验验报告必须分别写清实验学生的姓名、学号、专业，并以预习报告在上，实验报告在下的顺序装订好。报告在下的顺序装订好。对于不符合以上四条规定的预习报告和实验报告，或是字迹过于潦草的零乱的，对于不符合以上四条规定的预习报告和实验报告，或是字迹过于潦草的零乱的，将由负责该项实验的老师酌情扣分。将由负责该项实验的老师酌情扣分。突发情况的实验计划调整突发情况的实验计划调整如遇节假日放假或别的意外原因未在当周按计划做如遇节假日放假或别的意外原因未在当周按计划做的实验，将在复课后接上的实验，将在复课后接上从这个停做的实验开始从这个停做的实验开始，也就是也就是采取向后顺延的方式采取向后顺延的方式实验安全及实验室卫生实验安全及实验室卫生注意注意用电安全用电安全，防火防火；不能对着激光看不能对着激光看。不要穿背。不要穿背心、穿拖鞋进实验室。心、穿拖鞋进实验室。离开时整理关好自己使用的离开时整理关好自己使用的实验仪器电源实验仪器电源，整理自己座位或实验室的卫生。，整理自己座位或实验室的卫生。检检查总电源和实验室门窗查总电源和实验室门窗实验测量不确定度与数据处理实验测量不确定度与数据处理1-1测量与仪器测量与仪器1-2不确定度的评定不确定度的评定1-3实验数据处理实验数据处理 有效数字及其运算有效数字及其运算概要概要1-1测量与仪器测量与仪器一、定义一、定义测量：为确定被测量对象的量值而进行的被测测量：为确定被测量对象的量值而进行的被测 物与仪器物与仪器相比较的实验过程相比较的实验过程。测量结果包含三个部分测量结果包含三个部分:1.数值数值 2.单位单位 3.可信度可信度 (用不确定度表示用不确定度表示)二、直接测量与间接测量二、直接测量与间接测量1、直接测量、直接测量定义：定义：能直接得到被测量量值的测量（被测量能直接得到被测量量值的测量（被测量 量和仪器直接比较）量和仪器直接比较）直接测量直接测量重复测量重复测量单次测量单次测量a)重复测量：重复测量：在在等精度等精度的条件下对待测量进行的条件下对待测量进行 多次测量。每一次测量是测量全多次测量。每一次测量是测量全 过程的重新调节过程的重新调节(不等于多次读数不等于多次读数!)说明说明:b)单次测量：单次测量：往往出现以下几种情况才采用往往出现以下几种情况才采用（1）测量结果的准确度要求不高，允许可以粗）测量结果的准确度要求不高，允许可以粗 略地估计误差的大小。略地估计误差的大小。（2）在安排实验时，早已作过分析，认为测）在安排实验时，早已作过分析，认为测 量误差仪器误差。量误差仪器误差。（3）受条件的限制（如在动态测量中，无法）受条件的限制（如在动态测量中，无法 对待测量做重复测量）。对待测量做重复测量）。“四同四同”:同一观察者、同一仪器、同一观察者、同一仪器、同一方法、同一方法、同一环境同一环境等精度测量等精度测量:2、间接测量、间接测量举例举例:P=F/S定义：通过测量与被测量有函数关系的其它定义：通过测量与被测量有函数关系的其它 量，才能得到被测量量值的测量。量，才能得到被测量量值的测量。（通过公式计算才能得到的数据）（通过公式计算才能得到的数据）说明说明:1、直接测量与间接测量是、直接测量与间接测量是相对的相对的。随着科学技。随着科学技 术的发展，测量仪器的改进，原来只能间接术的发展，测量仪器的改进，原来只能间接 测量的量，现在可以直接测量。测量的量，现在可以直接测量。2、间接测量是从直接测量通过公式计算得，、间接测量是从直接测量通过公式计算得，因此直接测量是间接测量的因此直接测量是间接测量的基础基础。三、仪器三、仪器 测量时是以测量时是以仪器为标准仪器为标准进行比较，由于测进行比较，由于测量目的不同量目的不同,对不同的测量对不同的测量,可选用可选用不同精密度不同精密度的的仪器。仪器。精密度精密度指仪器的最小读数。指仪器的最小读数。仪器的额定误差仪器的额定误差:仪仪=仪器的公差仪器的公差表表1-1-1常用仪器的主要技术条件和常用仪器的主要技术条件和仪器的最大公差仪器的最大公差量具（仪器）量具（仪器）量程量程最小分度值最小分度值出厂公差出厂公差米尺（竹尺）米尺（竹尺）30-50cm60-100cm1mm1mm1.0mm1.0mm1.5mm1.5mm钢钢 板板 尺尺150mm500mm1000mm1mm1mm1mm1.0mm1.0mm1.5mm1.5mm2.0mm2.0mm钢钢 卷卷 尺尺1m2m1mm1mm0.8mm0.8mm1.2mm1.2mm游标卡尺游标卡尺125mm300mm0.02mm0.05mm0.02mm0.02mm0.05mm0.05mm螺旋测微器（千分尺）螺旋测微器（千分尺）0-25mm0.01mm0.004mm0.004mm量具（仪器）量具（仪器）量程量程最小分度值最小分度值出厂公差出厂公差七级天平（物七级天平（物理天平）理天平）500g0.05g0.08g（接近滿量程）（接近滿量程）0.06g（1/2量程附近）量程附近）0.04g（1/3量程和以下）量程和以下）三级天平（分三级天平（分析天平）析天平）200g0.1mg1.3mg（接近滿量程）（接近滿量程）1.0mg（1/2量程附近）量程附近）0.7mg（1/3量程和以下）量程和以下）普通温度计普通温度计（水银或有机（水银或有机溶剂）溶剂）0-1000C10C 10C精密温度计精密温度计（水银）（水银）0-1000C0.10C 0.20C电电 表表AmK%表表1-1-1常用仪器的主要技术条件和常用仪器的主要技术条件和仪器的最大公差仪器的最大公差1-2 不确定度的评定不确定度的评定一、不确定度的定义与物理意义一、不确定度的定义与物理意义1、定义：、定义：由于由于测量误差测量误差的存在而对测量值不能肯定的程的存在而对测量值不能肯定的程度，度，称为不确定度称为不确定度，它是与测量结果相联系的一个，它是与测量结果相联系的一个参数。参数。测量值测量值测量不确定度（包含真值的概率）测量不确定度（包含真值的概率）用测量的算术平均值来表示用测量的算术平均值来表示2、物理意义：、物理意义：更科学地表示了测量结果的可靠性。更科学地表示了测量结果的可靠性。含义含义:表示真值在落在表示真值在落在之中的概率为之中的概率为p，其范围越窄其范围越窄,则不确定度越小，用测量值表示真则不确定度越小，用测量值表示真值的可靠性就越高。值的可靠性就越高。二、不确定度的评定（计算）二、不确定度的评定（计算）间接测量量评定间接测量量评定直接测量量评定直接测量量评定A类评定类评定B类评定类评定用概率统计法计算用概率统计法计算用其它非统计方法估算用其它非统计方法估算合成合成几何合成几何合成几何合成几何合成算术合成算术合成(偶然误差偶然误差)(系统误差系统误差)1、直接测量量的标准不确定度、直接测量量的标准不确定度（1）A类评定类评定（uA）测量列测量列标准偏差标准偏差-贝塞尔公式：贝塞尔公式：意义意义:对于满足正态分布的测量对于满足正态分布的测量,当当n为无为无穷大时穷大时,真值落在真值落在 的概率为的概率为68.3%根据高斯误差理论根据高斯误差理论,测量列测量列平均值的标准偏差平均值的标准偏差置信概率置信概率68.3%当测量次数足够多时，测量值分布满足正态分布当测量次数足够多时，测量值分布满足正态分布v置信度置信度(p)：或称置信概率，表示被测量在给定或称置信概率，表示被测量在给定区间内的可信程度。区间内的可信程度。在等精度条件下对同一测量量的在等精度条件下对同一测量量的A类不确定度类不确定度可用算术平均值的标准偏差来衡量。可用算术平均值的标准偏差来衡量。因此为达到同样的置信水平，应把测量偏差范因此为达到同样的置信水平，应把测量偏差范围扩大，乘上一个围扩大，乘上一个t因子，即：因子，即：但实验测量中，次数有限所以测量值不满足正态但实验测量中，次数有限所以测量值不满足正态分布，而是遵循分布，而是遵循t分布。分布。表表1-2-1 三种概率下的不同自由度三种概率下的不同自由度v的的tvp值值(v=n-1)3.503.714.034.605.849.930.992.372.462.572.783.184.300.951.081.091.111.141.201.320.68765432vtp0.990.950.682.582.862.983.253.361.962.092.152.262.3111.031.041.061.07191498vtp直接测量量不确定度直接测量量不确定度A类评定为：类评定为：对于不同的置信概率对于不同的置信概率P，具有不同的，具有不同的A类不确定度类不确定度记住该记住该记住该记住该公式公式公式公式!（2）B类评定类评定（uB）1）不确定度是正态分布或近似）不确定度是正态分布或近似高斯分布高斯分布当在当在-uB，uB内的置信概率为内的置信概率为68.3%当在当在-uB，uB内的置信概率为内的置信概率为99.7%2）测量值在）测量值在a-，a+的概率为的概率为1，在此范围外为，在此范围外为 0，且测量值在，且测量值在a-，a+范围内范围内均匀分布均匀分布当在当在-uB，uB内的置信概率为内的置信概率为58%3）测量值在）测量值在a-，a+的中点处出现概率最大，并的中点处出现概率最大，并 呈呈三角形分布三角形分布当在当在-uB，uB内的置信概率为内的置信概率为74%一般，在正态分布下，测量值的一般，在正态分布下，测量值的一般，在正态分布下，测量值的一般，在正态分布下，测量值的B B类不确定度可表示为：类不确定度可表示为：类不确定度可表示为：类不确定度可表示为：记住该记住该记住该记住该公式公式公式公式!表表 1-2-2 置信概率置信概率p与置信因子与置信因子kp的关系表的关系表p0.5000.6830.9000.9500.9550.9900.997kp0.67511.651.9622.583仪器名称仪器名称米尺米尺游标卡尺游标卡尺千分尺千分尺物理天平物理天平秒表秒表误差分布误差分布正态分布正态分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布C3333表表 1-2-3 误差分布与置信系数误差分布与置信系数C的关系的关系（3）不确定度的合成）不确定度的合成总不确定度总不确定度u测量值书写为测量值书写为:特例特例1）对于偶然误差为主的测量情况）对于偶然误差为主的测量情况略去略去B类不确定度类不确定度2）对于系统误差为主的测量情况）对于系统误差为主的测量情况略去略去A类不确定度类不确定度合成时置合成时置合成时置合成时置信概率要信概率要信概率要信概率要相同相同相同相同（4）不确定度的展伸）不确定度的展伸1、定义：、定义：扩大置信度（概率）的不确定度测量称为展伸不确定度扩大置信度（概率）的不确定度测量称为展伸不确定度2、数学表达式、数学表达式如：如：如：如：（p=68.3%）（p=95%）（p=99%）（5）直接测量结果不确定度书写表示注意事项）直接测量结果不确定度书写表示注意事项v不确定度、测量值单位应保持一致。不确定度、测量值单位应保持一致。v测量不确定度用一位或二位数表示。如果作为测量不确定度用一位或二位数表示。如果作为间接测量的一个中间结果（中间过程）不确定度间接测量的一个中间结果（中间过程）不确定度最好用二位。（首位逢一、二用二位），对不保最好用二位。（首位逢一、二用二位），对不保留数字一律留数字一律“只进不舍只进不舍”，如，如ux=0.32，取，取0.4。v测量值末位与不确定度末位相对齐来确定。对测量值末位与不确定度末位相对齐来确定。对保留数字末位采用保留数字末位采用“大于大于5进，小于舍，等于进，小于舍，等于5凑凑偶偶”规则。规则。!举例举例:测量结果平均值为测量结果平均值为2.1445cm，其标准不，其标准不确定度计算为确定度计算为 0.0124cm，则测量结果为则测量结果为2.1440.013cm测量结果平均值为测量结果平均值为2.1435cm,则测量结果为则测量结果为2.1440.013cm测量结果平均值为测量结果平均值为2.14451cm,则测量结果为则测量结果为2.1450.013cm（6）不确定度的其它表示）不确定度的其它表示相对不确定度：相对不确定度：没有单位，用百分数表示，它没有单位，用百分数表示，它更能反映测量的准确程度。更能反映测量的准确程度。位数用位数用1-2位位0-10%取取1位，首位位，首位“1”或或“2”取二取二位位10%-100%取取2位位定义：表示不确定度ux在整个测量值 中所占百分比，用符号“E”来表示2、间接测量量不确定度的评定、间接测量量不确定度的评定 表示间接测量量与直接测量量之间不确定关系的关系表示间接测量量与直接测量量之间不确定关系的关系式称为不确定度传递公式式称为不确定度传递公式1）算术合成）算术合成对于间接测量值对于间接测量值当当x1、x2、x3xn有微小变化有微小变化dx1、dx2、dx3dxn时时会引起间接测量量会引起间接测量量N的微小变化的微小变化dN所以对所以对N取全微分取全微分绝对不确定度绝对不确定度相对不确定度相对不确定度说明说明算术合成的不确定度传递公式简单算术合成的不确定度传递公式简单但得到的是可能的最大偏差但得到的是可能的最大偏差2）几何合成）几何合成 用标准误差代替直接测量量的偏差用标准误差代替直接测量量的偏差 取方和根取方和根对对N取全微分取全微分如果该量含有如果该量含有A类类和和B类类不确定度不确定度,则合成后的总不确定度为则合成后的总不确定度为:相对不确定度为相对不确定度为:求不确定度传递公式的一般步骤：求不确定度传递公式的一般步骤：1）对函数求全微分（乘除时可先对函数取对数，）对函数求全微分（乘除时可先对函数取对数，再求全微分）再求全微分）2）合并同一变量的系数）合并同一变量的系数3）将微分号改为不确定度符号，求各项的平方）将微分号改为不确定度符号，求各项的平方和再开方（几何合成）或求各项的绝对值（算术和再开方（几何合成）或求各项的绝对值（算术合成）合成）常用计算公式见课本中表常用计算公式见课本中表 1-2-53、不确定度计算实例、不确定度计算实例1）直接测量量的不确定度例题）直接测量量的不确定度例题:用量程用量程025mm，最小分度值为，最小分度值为0.01mm，最大公差为，最大公差为 0.004mm的螺旋测量微器测量钢丝的直径的螺旋测量微器测量钢丝的直径10次，数据如次，数据如下：下：d(mm):2.006,2.008,2.002,2.001,1.998,2.010,1.993,1.995,1.990,1.997，求直径的标准偏差，并完整表示不确，求直径的标准偏差，并完整表示不确定度测量结果。定度测量结果。解：解：平均值标准偏差平均值标准偏差0.00197因测量次数为因测量次数为10次，查表得次，查表得t0.68=1.06，螺旋测量微器的误差为正态分布，螺旋测量微器的误差为正态分布，C=3，所以，所以总不确定度总不确定度结果的不确定度表示结果的不确定度表示结果的相对不确定度表示结果的相对不确定度表示mmmm0.002608概率为概率为68.3%2)间接测量量的不确定度评定间接测量量的不确定度评定见课本中例见课本中例8(第第15页页)步骤步骤:1)算平均值算平均值2)算直接测量量算直接测量量d的不确定度的不确定度3)算直接测量量算直接测量量h的不确定度的不确定度4)算直接测量量算直接测量量m的不确定度的不确定度5)总不确定度几何合成总不确定度几何合成解题步骤解题步骤:间接测量量间接测量量直接测量量直接测量量3)用公式用公式2)采用几何合成或算术合成方法合成采用几何合成或算术合成方法合成1)求平均值求平均值,用公式用公式 2)用公式用公式求求B类不确定度类不确定度求求A类不确定度类不确定度1)用直接测量量评定方法用直接测量量评定方法,评定各个量的总不确定度评定各个量的总不确定度仪仪仪仪得到总不确定度得到总不确定度1-3 有效数字及其运算有效数字及其运算一、有效数字一、有效数字定义：定义：测量数据中所有可靠数字加上一位可疑数字统称为有效数字。特点：特点：有效数字的最后一位为可疑数字，是不准确的，有效数字的最后一位为可疑数字，是不准确的，是误差所在的位。它在一定程度上反映客观实际，是误差所在的位。它在一定程度上反映客观实际，因此它是有效的。因此它是有效的。在读数时一般为估读，估读那一位为可疑数字。在读数时一般为估读，估读那一位为可疑数字。估读位前的几位数字都为可靠数字。估读位前的几位数字都为可靠数字。有效数字的认定有效数字的认定1）在测量数据中）在测量数据中1、2、9九个数字，每个数九个数字，每个数字都为有效数字字都为有效数字2）“0”是特殊数字，其认定应注意以下几种情况是特殊数字，其认定应注意以下几种情况v数字间的“0”为有效数字v数字后的“0”为有效数字v数字前的“0”不是有效数字，它只表示数量级的大小在测量时，数据不能任意多写或少写，即便是在测量时，数据不能任意多写或少写，即便是“0”也一样也一样注意：注意：总结总结1、有效数字的位数计算，从第一位不是、有效数字的位数计算，从第一位不是“0”的数字至最后一位的数字至最后一位2、在十进制单位中，有效数字的位数与十进制、在十进制单位中，有效数字的位数与十进制单位的变化无关单位的变化无关例如：某长为例如：某长为1.34cm，有效数字为，有效数字为3位位1.34cm=13.4mm=0.0134m（只是单位在变）（只是单位在变）二、科学记数法标准式二、科学记数法标准式为计算的方便，对较大或较小的数值，常用为计算的方便，对较大或较小的数值，常用1010nn的形式来书写（的形式来书写（n n为正整数），为正整数），通常在小通常在小数点前面只写一位数字数点前面只写一位数字。如：如：3210001000m1000m采用科学记数为（采用科学记数为（3.210.013.210.01）10105 5m m0.00015600.0000001m0.00015600.0000001m（1.561.560 00.0010.001）10 10-4-4m m三、意义三、意义 有效数字的位数多少，在一定程度上反映测量有效数字的位数多少，在一定程度上反映测量 结果的准确度结果的准确度有效数字位数越多相对误差越小，准确度越大有效数字位数越多相对误差越小，准确度越大有效数字位数越少相对误差越大，准确度越小有效数字位数越少相对误差越大，准确度越小四、具有不同有效位数数据之间的计算四、具有不同有效位数数据之间的计算v加减法则加减法则：加减运算所得结果的最后一位，加减运算所得结果的最后一位，保留到所有参加运算的数中末位数保留到所有参加运算的数中末位数数量级数量级最大最大的那一位为止的那一位为止例：例：71.32-0.8+6.3+271=347.82分析：分析：末位数数量级最大的是第四项，它在小末位数数量级最大的是第四项，它在小数点前一位，因此正确表示为数点前一位，因此正确表示为71.32-0.8+6.3+271=348（舍入）（舍入）v乘除法则乘除法则：积和商的位数与参与运算诸项中：积和商的位数与参与运算诸项中有效数字位数最少有效数字位数最少的那一项相同的那一项相同特殊情况：位数最少的数字，首位是特殊情况：位数最少的数字，首位是“8”或或“9”时，其积或商有效数字位数可多取一位时，其积或商有效数字位数可多取一位例：例：例：例：v综合运算法则：综合运算法则：从左到右，先从左到右，先“加、减加、减”后后“乘、除乘、除”进行，加、减按加、减运算原则，进行，加、减按加、减运算原则，乘除按乘除运算原则乘除按乘除运算原则例：例：说明：说明：1）先算分母（加减）先算分母（加减）2）再算除法，保）再算除法，保留一位有效数字，留一位有效数字，结果用科学记数法。结果用科学记数法。3）最后求和，向第）最后求和，向第一项看齐，结果只一项看齐，结果只保留一位有效数字。保留一位有效数字。v平均值法则：平均值法则：计算重复测量4次以上的数据平均值时，有效数字多取一位v无理数运算法则：无理数运算法则：取无理数的位数比参与运取无理数的位数比参与运算中有效数字位数最少的那一位算中有效数字位数最少的那一位多一位多一位（其中，（其中，常数常数不参与有效数字的运算）不参与有效数字的运算）结果取三位有效数字结果取三位有效数字v乘方、开方法则：乘方、开方法则：乘方、开方运算中，最后乘方、开方运算中，最后结果的有效数字位数与结果的有效数字位数与自变量自变量的有效数字位数的有效数字位数相同相同v对数运算法则：对数运算法则：自然对数的有效数字的位数自然对数的有效数字的位数与真数有效数字的位数相同与真数有效数字的位数相同v其他函数运算法则：见第其他函数运算法则：见第20页页四、数值的修约规则四、数值的修约规则尾数的舍入法则尾数的舍入法则通常通常“小于小于5则舍则舍”，“大于大于5则入则入”，“等于等于5则凑偶则凑偶”即前一位为偶数则不进即前一位为偶数则不进例：例：2.51取一位有效数字，因为取一位有效数字，因为5后有一位后有一位1，满足，满足大于大于5法则，则进。法则，则进。下课下课!