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第十一章 第1讲
[A级 根底达标]
1．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
【答案】B
2．小明有4枚完全相同的硬币，每枚硬币都分正反两面．他想把4枚硬币叠加在一起，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有( )
A．4种 B．5种
C．6种 D．9种
【答案】B
3．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，那么这样的点的个数是( )
A．12 B．13
C．14 D．15
【答案】C
4．将2名教师和4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
【答案】A
5．(2023年山东模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的桔祥物各一个，甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学对所有的桔祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，假设各人所选取的礼物都是自己喜欢的，那么不同的选法有( )
A．50种 B．60种
C．80种 D．90种
【答案】C
【解析】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：假设甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有2×10＝20种不同的选法；假设甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有2×3×10＝60种不同的选法．那么一共有20＋60＝80种选法．
6．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对〞．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对〞的个数是( )
A．48 B．18
C．24 D．36
【答案】D
【解析】在正方体中，每一个外表有四条棱与之垂直，六个外表，共构成24个“正交线面对〞；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对〞，所以共有36个“正交线面对〞．
7．(2023年东营调研)我国古代数学名著?续古摘奇算法?(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题：如下图，将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入3×3的方格中，使得每一行、每一列及对角线上的三个数的和都相等．我们规定：只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是( )
8
3
4
1
5
9
6
7
2
A．9 B．8
C．6 D．4
【答案】B
【解析】因为所有数的和为＝45，＝15，所以每一行、每一列以及对角线上的三个数的和都是15，采用列举法：492,357,816；276,951,438；294,753,618；438,951,276；816,357,492；618,753,294；672,159,834；834,159,672，共8个幻方．
8．如下图，将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移，组成一个首尾相接的三角形，那么三条线段一共至少需要移动________格．
【答案】9
【解析】如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，根据平移的根本性质知：左边的线段向右平移3格，中间的线段向下平移2格，最右边的线段先向左平移2格，再向上平移2格，此时平移的格数最少为3＋2＋2＋2＝9，其他平移方法都不少于9格，所以至少需要移动9格．
9．乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3＋b4)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后的项数为________．
【答案】60
【解析】从第一个括号中选一个字母有3种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，从第三个括号中选一个字母有5种方法，故根据分步乘法计数原理可知共有N＝3×4×5＝60(项)．
10．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，那么所有不同对数值的个数为______．
【答案】17
【解析】当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0，当所取两个数不含有1时，可得到5×4＝20(个)对数，但log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93.综上可知，共有20＋1－4＝17(个)不同的对数值．
[B级 能力提升]
11．(2023年柳州月考)方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有( )
A．18个 B．20个
C．23个 D．25个
【答案】B
【解析】以m的值为标准分类，分为五类．第一类：m＝1时，使n＞m，n有6种选择；第二类：m＝2时，使n＞m，n有5种选择；第三类：m＝3时，使n＞m，n有4种选择；第四类：m＝4时，使n＞m，n有3种选择；第五类：m＝5时，使n＞m，n有2种选择．所以共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法，即有20个符合题意的椭圆
12．从0,1,2,3,4这5个数字中任选3个组成三位数，其中偶数的个数为( )
A．18 B．24
C．30 D．36
【答案】C
【解析】按个位数字是否为0进行分类，因为0不能排在首位．假设0在个位，那么十位数字有4种排法，百位数字有3种排法，共有4×3＝12种．假设2或4在个位，个位数字有2种排法，再分类，假设0在十位，那么百位数字有3种排法．假设0不在十位，十位数字有3种排法，百位数字有2种排法．共有2×(1×3＋3×2)＝18种，故总个数为12＋18＝30
13．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数〞(如2023是“六合数〞)，那么首位为2的“六合数〞共有( )
A．18个 B．15个
C．12个 D．9个
【答案】B
【解析】依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数分别为211,121,112.共计3＋6＋3＋3＝15(个)
14．一个旅游景区的游览线路如下图，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，那么不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有________种(用数字作答)．
【答案】48
【解析】根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法．由分步乘法计数原理知共有6×4×2＝48种不同游览线路．
[C级 创新突破]
15．如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，那么涂色方法种数为________．
【答案】720
【解析】由题意知2,3,4,5的颜色都不相同，先涂1，有6种方法，再涂2,3,4,5，有A种方法，故一共有6·A＝720种．
16．(2023年太原模拟)如下图，玩具计数算盘的三个档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两局部，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上、中、下三个档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.假设a，b，c成等差数列，那么不同的分珠计数法有________种．
【答案】32
【解析】根据题意知，a，b，c的取值范围都是区间[7,14]中的8个整数，故公差d的范围是区间[－3,3]中的整数．①当公差d＝0时，有C＝8种；②当公差d＝±1时，b不取7和14，有2×C＝12种；③当公差d＝±2时，b不取7,8,13,14，有2×C＝8种；④当公差d＝±3时，b只能取10或11，有2×C＝4种．综上，共有8＋12＋8＋4＝32种不同的分珠计数法．
17．(一题两空)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99,3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.那么
(1)5位回文数有________个；
(2)2n(n∈N*)位回文数有________个．
【答案】(1)900 (2)9×10n－1
【解析】(1)5位回文数相当于填5个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，第2位和第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有9×10×10＝900(种)填法，即5位回文数有900个．
(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步乘法计数原理，知有9×10n－1种填法．
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