2022届河北省唐山市高三9月模拟考试数学(文)卷.docx

河北省唐ft市 2022 届高三摸底考试数学〔文〕试题
【试卷综析】本试卷是高三摸底考试文史类数学试卷，目的是对升入高三的学生的学习情况做一个了解。其命题模式与高考保持一致，考查了高考考纲上的诸多热点问题，突出考查 考纲要求的根本能力，知识考查注重根底、注重常规，但也有综合性较强的问题。试题分必 做和选作两个局部，必做局部试题重点考查：函数、三角函数、数列、立体几何、统计与概率、解析几何、不等式、向量等；选作局部考察几何证明、坐标系与参数方程、不等式选讲，都是 常规题目。试卷涉及到的根本数学思想有函数与方程、转化与化归、分类讨论，数形结合等。试卷比拟适合刚刚升入高三的学生使用。
说 明 ： 1．本试卷分为第一卷和第二卷，第一卷为选择题，第二卷为非选择题，分为必考和选考两个局部.
2．答题前请仔细阅读答题卡上的“考前须知〞，按照“考前须知〞的规定答题.
3．做选择题时，每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的工程符号涂黑，如需改动， 用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.
4．考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回.
第一卷
一、选择题(本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1、集合 M＝{x|x≥－1}，N＝{x|2－x2≥0}，那么 M∪N＝( )
A.
C.∪，样本数据分组为.
(1)求频率分布直方图中 x 的值；
(2)根据频率分布直方图估计样本学数据的中位数；
(3)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取 25 人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？
【知识点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布；分层抽样 I1 I2
【答案解析】
解：〔Ⅰ〕由频率分布直方图可得：20×(x＋0.0250＋0.0065＋0.0030＋0.0030)＝1， 解得 x＝0.0125． …4 分
〔Ⅱ〕设中位数为 t，那么20×0.0125＋(t－20)×0.0250＝0.5，得 t＝30.
样本数据的中位数估计为 30 分钟． …8 分
〔Ⅲ〕享受补助人员占总体的 12%，不享受补助人员占总体的 88%． 因为共抽取 25 人，所以应抽取享受补助人员 25×12%＝3 人，
抽取不享受补助人员 25×88%＝22 人． …12 分
【思路点拨】〔Ⅰ〕频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为 1，结合就可以列出关于 x 的方程，解方程即可得 x ；
〔Ⅱ〕根据中位数的定义，中位数的左右两侧矩形面积相等，各为 0.5，利用这个理论就可解得中位数t ；
〔Ⅲ〕先根据确定各层的抽取比例，再按比例计算抽取人数。
19(本小题总分值 12 分)
如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，点 D 是 BC 的中点.
(1)求证：A1B∥平面 ADC1；
(2)假设 AB＝AC，BC＝AA1＝2，求点 A1 到平面 ADC1 的距离.
【知识点】线面平行的判定；点到平面的距离 G4 G11 A C1
【答案解析】 1
解：〔Ⅰ〕连接 A1C，交 AC1 于点 E， B1
E
那么点 E 是 A1C 及 AC1 的中点．
连接 DE，那么 DE∥A1B．
因为 DEÌ平面 ADC1，所以 A1B∥平面 ADC1． …4 分 F
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知 A1B∥平面 ADC1， A C
D
那么点 A1 与 B 到与平面 ADC1 的距离相等，又点 D 是 BC 的中点，点
B
C 与 B 到与平面 ADC1 的距离相等，那么 C 到与平面 ADC1 的距离即为
所求． …6 分
因为 AB＝AC，点 D 是 BC 的中点，所以 AD⊥BC，又 AD⊥A1A， 所以 AD⊥平面 BCC1B1，平面 ADC1⊥平面 BCC1B1．
作于 CF⊥DC1 于 F，那么 CF⊥平面 ADC1，CF 即为所求距离． …10 分在 Rt△DCC1 中，CF＝＝．
所以 A1 到与平面 ADC1 的距离为．
【思路点拨】〔Ⅰ〕连接 A1C，交 AC1 于点 E，连接 ED,那么 ED 为三角形 A1BC 的中位线，那么
DE∥A1B，再利用线面平行的判定定理证明 A1B∥平面 ADC1；
〔Ⅱ〕根据〔Ⅰ〕将点 A1 到平面 ADC1 的距离转化成点 B 到平面 ADC1 的距离，进一步转
化成点 C 到平面 ADC1 的距离，由条件可证平面 ADC1⊥平面 BCC1B1，且平面 ADC1∩ 平面 BCC1B1=C1D，故过 C 向 C1D 做垂线，其长度即为所求，解三角形求出长度即可。20(本小题总分值 12 分)
函数 f(x)＝2ex－ax－2(a∈R)
(1)讨论函数的单调性；
(2)当 x≥0 时，f(x)≥0，求 a 的取值范围.
【知识点】函数的性质；导数的综合应用 B3 B12 B14
【答案解析】
解：〔Ⅰ〕函数的定义域为：R, f¢(x)＝2ex－a．
假设 a≤0，那么 f¢(x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
假设 a＞0，那么
当 x∈(－∞，ln)时，f¢(x)＜0，f(x)单调递减；
当 x∈(ln，＋∞)时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增． …5 分
〔Ⅱ〕注意到 f(0)＝0．
假设 a≤0，那么当 x∈． …12 分
【思路点拨】〔Ⅰ〕先求函数的定义域，易知 x∈R，然后对原函数求导，借助于函数 y=2ex
的图象，通过变换得到 f′〔x〕=2ex-a 的图象，解不等式得到原函数的单调区间．
〔Ⅱ〕这是一道不等式恒成立问题，因此只需当 x≥0 时，f〔x〕min≥0 即可，再结合〔Ⅰ〕 中对函数单调性的研究，确定 f〔x〕的最小值，那么问题可解．
21(本小题总分值 12 分)
x2 + y2 =3
椭圆 C： a2
b2 1
(a＞b＞0)的离心率为 5

，P(m，0)为 C 的长轴上的一个动点，过 P 点
4
斜率为 5 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.当 m＝0 时，
(1)求 C 的方程；
PA 2 + PB 2
(2)求证： 为定值.
uuuuuuuruuu 41
PA × PB = -
2
【知识点】椭圆的标准方程和性质；直线与椭圆；向量的运算 H5 H8 F3
【答案解析】
解：〔Ⅰ〕因为离心率为，所以＝．
当 m＝0 时，l 的方程为 y＝x，
代入并整理得 x2＝． …2 分
设 A(x0，y0)，那么 B(－x0，－y0)， PA·PB＝－x0－y0＝－x0＝－·．
又因为PA·PB＝－，所以 a2＝25，b2＝16，
椭圆 C 的方程为． …5 分
〔Ⅱ〕l 的方程为 x＝y＋m，代入并整理得
25y2＋20my＋8(m2－25)＝0． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
那么|PA|2＝(x1－m)2＋y1＝y1，同理|PB|2＝y2． …8 分那么|PA|2＋|PB|2＝( y1＋y2)＝
＝＝41．
所以，|PA|2＋|PB|2 是定值． …12 分
【思路点拨】(Ⅰ)由椭圆的离心率可列出关于参数 a, b 的一个方程。当 m＝0 时，直线 l 的方
程，与椭圆方程联立，消去 y 化简，设出点

A, B

的坐标，用坐标表示
uuu
PA × PB ，再根

uuuruur
PA × PB = -
据
41
2 列出关于

a, b

的第二个方程，两方程联立即可解得
x = 5 y + m

a, b ；
〔Ⅱ〕根据点斜式可设直线 l 的方程为 4
，与椭圆方程联立，消去 x ，设出 A, B

的坐标， 利用两点间的距离公式表示出
PA 2 + PB 2
为定值 41.
PA 2 + PB 2
， 结合韦达定理化简， 即可证明
请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑
22(本小题总分值 10 分)选修 4－1：几何证明选讲
如图，⊙O 过平行四边形 ABCT 的三个顶点 B，C，T，且与 AT 相切，交 AB 的延长线于点 D.
(1)求证：AT2＝BT·AD；
(2)E、F 是 BC 的三等分点，且 DE＝DF，求∠A.
【知识点】与圆有关系的比例线段 N1
【答案解析】
T C
F
M
E
B
D
解：〔Ⅰ〕证明：因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB， 所以∠A＝∠ATB，所以 AB＝BT.
又 AT 2＝AB×AD，所以 AT 2＝BT×AD． …4 分
〔Ⅱ〕取 BC 中点 M，连接 DM，TM．
由〔Ⅰ〕知 TC＝TB，所以 TM⊥BC． A
因为 DE＝DF，M 为 EF 的中点，所以 DM⊥BC．
所以 O，D，T 三点共线，DT 为⊙O 的直径． 所以∠ABT＝∠DBT＝90°.
所以∠A＝∠ATB＝45°. …10 分
【思路点拨】〔1〕证明 AB=BT，结合切割线定理，即可证明结论；
〔2〕取 BC 中点 M，连接 DM，TM，可得 O，D，T 三点共线，DT 为⊙O 的直径，即可求
∠A。
23(本小题总分值 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C：
ìx = -2 + 2 t
ï
í
r 2 ï y = -4 +
ï
sin q = 2a cosq (a > 0) ，过点 P(－2，－4)的直线 l 的参数方程为 î
参数)，l 与 C 分别交于 M，N.
(1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程；
(2)假设|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值.
【知识点】极坐标方程和直角坐标方程的互化；参数方程的应用 N3
【答案解析】
解：〔Ⅰ〕曲线 C 的直角坐标方程为 y2＝2ax〔a＞0〕；
直线 l 的普通方程为 x－y－2＝0． …4 分
〔Ⅱ〕将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立，得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0 〔*〕
△＝8a(4＋a)＞0．
设点 M，N 分别对应参数 t1，t2，恰为上述方程的根． 那么|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．
由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．[ 由〔*〕得 t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，那么有(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得 a＝1，或 a＝－4．
因为 a＞0，所以 a＝1． …10 分
2
2 t
2 (t 为
【思路点拨】〔Ⅰ〕根据直角坐标和极坐标的互化公式 x = r cosq , y = r sinq 把曲线 C 的
极坐标方程化为直角坐标方程；用代入法消去参数 t，把直线 l 的参数方程化为普通方程；
〔Ⅱ〕将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立得到关于 t 的一元二次方程，那么点
M，N.对应的参数就是方程的根，根据|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，结合维达定理又得到一个关于 a 的方程，解方程即得 a 的值。
4
m
24(本小题总分值 10 分)选修 4－5：不等式选讲
设函数
f (x) =
x - + x + m

(m＞0)
(1)证明：f(x)≥4；
(2)假设 f(2)＞5，求 m 的取值范围.
【知识点】绝对值不等式的证明 N4
【答案解析】
解：〔Ⅰ〕由 m＞0，有 f(x)＝|x－|＋|x＋m|
≥|－(x－)＋x＋m|＝＋m≥4，
当且仅当＝m，即 m＝2 时取“＝〞．所以 f(x)≥4． …4 分
〔Ⅱ〕f(2)＝|2－|＋|2＋m|．
当＜2，即 m＞2 时，f(2)＝m－＋4，由 f(2)＞5，得 m＞．
当≥2，即 0＜m≤2 时，f(2)＝＋m，由 f(2)＞5，0＜m＜1．
综上，m 的取值范围是(0，1)∪(，＋∞)． …10 分
【思路点拨】〔Ⅰ〕运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，再利用根本不等式即可证得结论；
4 < 2
〔Ⅱ〕分当 m
4 ³ 2
时和当 m

时两种情况，分别根据 f (2) > 5 ，求得 m 的范围，再把所
得 m 的范围取并集，即得所求。