2022届高考数学大二轮复习刷题首秧第一部分刷考点考点四平面向量理.doc

考点四　平面向量
一、选择题
1．(2022·安徽江淮十校最后一卷)向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,5)，假设(a＋λb)⊥c，那么实数λ＝(　　)
A．－ B．
C．－2 D．2
答案　C
解析　因为a＝(1,2)，b＝(－2,3)，所以a＋λb＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.应选C.
2．点A(1,3)，B(4，－1)，那么与向量同方向的单位向量为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　因为＝(3，－4)，所以与其同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝，应选A.
3．设向量e1，e2为平面内所有向量的一组基底，且向量a＝3e1－4e2与b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，那么实数k的值为(　　)
A．8 B．－8
C．4 D．－4
答案　B
解析　由a与b不能作为一组基底，那么a与b必共线，故＝，即k＝－8.应选B.
4．(2022·湖南长沙一中一模)假设非零向量a，b满足|a|＝2|b|＝4，(a－2b)·a＝0，那么a在b方向上的投影为(　　)
A．4 B．8
C． D．
答案　A
解析　由(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0得a·b＝＝＝8，从而a在b方向上的投影为＝＝4，应选A.
5．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，那么向量＝(　　)
A．a＋b B．－a－b
C．－a＋b D．a－b
答案　C
解析　由△CEF∽△ABF，且E是CD的中点，得＝＝，那么＝＝(＋)＝＝－a＋b，应选C.
6．(2022·辽宁朝阳四模)P为等边三角形ABC所在平面内的一个动点，满足＝λ(λ∈R)，假设||＝2，那么·(＋)＝(　　)
A．2 B．3
C．6 D．与λ有关的数值
答案　C
解析　设BC的中点为O，那么||＝，因为＝λ(λ∈R)，所以点P在直线BC上，即在方向上的投影为||，所以·(＋)＝2·＝2||2＝6，应选C.
7．向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，假设a与b的夹角为钝角，那么λ的取值范围是(　　)
A．∪(2，＋∞) B．(2，＋∞)
C． D．
答案　A
解析　因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且a，b不共线，即－2λ－1<0且－2＋λ≠0，故λ的取值范围是∪(2，＋∞)．
8．假设O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，那么△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
答案　A
解析　(－)·(＋－2)＝0，
即·(＋)＝0，
∵－＝，
∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，
∴△ABC是等腰三角形，应选A.
二、填空题
9．(2022·山东栖霞模拟)假设向量a＝(2，x)，b＝(－2,1)不共线，且(a＋b)⊥(a－b)，那么a·b＝________.
答案　－3
解析　因为a＋b＝(0，x＋1)，a－b＝(4，x－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，所以0×4＋(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝1或x＝－1，因为向量a＝(2，x)，b＝(－2,1)不共线，所以x＝－1不成立，即x＝1，所以a·b＝2×(－2)＋1×1＝－3.
10．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如下图，假设a－b＝xe1＋ye2，那么y＝________.
答案　－3
解析　由题图易得a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，那么a－b＝(－e1－4e2)－(－2e1－e2)＝e1－3e2，所以x＝1，y＝－3.
11．(2022·四川棠湖中学适应性考试)在直角坐标系xOy中，点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，假设点P满足＋＋＝0，那么||＝________.
答案　2
解析　因为＋＋＝0，所以P为△ABC的重心，故P的坐标为，即(2,2)，故||＝2.
12．(2022·山东德州二模)△ABC中，||＝2，·＝－2.点P为BC边上的动点，那么·(＋＋)的最小值为________．
答案　－
解析　以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得B(－1,0)，C(1,0)，设P(a,0)，A(x，y)，由·＝－2，
可得(x＋1，y)·(2,0)＝2x＋2＝－2，即x＝－2，y≠0，那么·(＋＋)＝(1－a，0)·(x－a－1－a＋1－a，y＋0＋0)＝(1－a)(x－3a)＝(1－a)(－2－3a)＝3a2－a－2＝32－，当a＝时，·(＋＋)的最小值为－.
三、解答题
13．＝a，＝b，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N.
(1)用a，b表示向量；
(2)设|a|＝1，|b|＝2，⊥，求a与b的夹角．
解　(1)由题意可得，AB是△SMN的中位线，
故有＝2＝2(－)＝2(b－a)．
(2)记a与b的夹角为θ，因为⊥，
所以·＝0，即2(b－a)·a＝0，那么b·a－a2＝0，所以|b|·|a|·cosθ－|a|2＝0，又|a|＝1，|b|＝2，那么2cosθ－1＝0，即cosθ＝，
而θ∈[0，π]，所以θ＝.
14．(2022·四川成都龙泉中学模拟)平面向量a＝(，－1)，b＝.
(1)证明：a⊥b；
(2)假设存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．
解　(1)证明：∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.
(2)∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，
∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0.
又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，
∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝(t≠0)．
一、选择题
1．设a，b都是非零向量，以下四个选项中，一定能使＋＝0成立的是(　　)
A．a＝2b B．a∥b
C．a＝－b D．a⊥b
答案　C
解析　“＋＝0，且a，b都是非零向量〞等价于“非零向量a，b共线且反向〞，那么答案为C.
2．(2022·全国卷Ⅱ)＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，那么·＝(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
答案　C
解析　∵＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，||＝1，∴＝1，∴t＝3，∴＝(1,0)，
∴·＝2×1＋3×0＝2.应选C.
3．(2022·山东临沂、枣庄二模)O是正方形ABCD的中心．假设＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，那么＝(　　)
A．－2 B．－
C．－ D．
答案　A
解析　∵＝＋＝＋＝－＋＝－，∴λ＝1，μ＝－，∴＝－2，应选A.
4．△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，那么△PBC与△ABC的面积之比是(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　因为＋＋＝，所以＋＋＝－，所以＝－2＝2，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝.
5．(2022·福建模拟)向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，且|a|＝，|b|＝1，那么向量b与a－b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　因为|a＋b|＝|a－b|，所以a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，所以a⊥b.如图，设＝a，＝b，那么向量b与a－b的夹角为∠BDE，因为tan∠BDA＝，所以∠BDA＝，∠BDE＝.应选B.
6．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，假设＝m＋，那么实数m的值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　∵＝，∴＝5，
∵＝m＋，∴＝m＋，
∵P是BN上的一点，∴B，P，N三点共线，
∴m＋＝1，∴m＝，应选D.
7．O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，那么点P的轨迹一定经过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
答案　B
解析　－＝＝λ，因为＋所在直线与∠A的角平分线重合，那么点P的轨迹是∠A的角平分线，一定经过△ABC的内心，应选B.
8．(2022·广东深圳适应性考试)在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，＝，＝，假设·＝12，那么∠ADC＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　如下图，平行四边形ABCD中，
＝＋＝－－，
＝＋＝－－，
因为·＝12，所以·＝·＝2＋2＋·＝×32＋×22＋×3×2×cos∠BAD＝12，
那么cos∠BAD＝，即∠BAD＝，
所以∠ADC＝π－＝，应选C.
二、填空题
9．(2022·湖北四地七校联考)正三角形ABC的边长为1，那么·＋·＋·＝________.
答案　－
解析　∵正三角形ABC的边长为1，∴·＋·＋·＝－(·＋·＋·)
＝－(1×1×cos60°×3)＝－.
10．(2022·安徽A10联盟4月联考)在四边形ABCD中，＝，＝(2,4)，＝(－3，－5)，那么在上的投影为________．
答案　
解析　由＝得四边形ABCD是平行四边形，
且＝＋＝(2,4)＋(－3，－5)＝(－1，－1)，
那么＝＋＝(2,4)＋(－1，－1)＝(1,3)，
∴在上的投影为||cos〈，〉＝＝＝.
11．(2022·唐山模拟)在△ABC中，(－3)⊥，那么角A的最大值为________．
答案　
解析　因为(－3)⊥，所以(－3)·＝0，(－3)·(－)＝0，2－4·＋32＝0，即cosA＝＝＋≥2＝，当且仅当||＝||时等号成立．因为0<A<π，所以0<A≤，即角A的最大值为.
12．(2022·天津九校联考)在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AC＝4，假设＝，动点D满足||＝1，那么|＋＋|的最小值是________．
答案　－1
解析　建立如下图的直角坐标系，由题意可得，
A(2,0)，B(0,0)，C(0，2)，O，D(cosθ，2＋sinθ)，
即＝，
＝，
＝，
那么＋＋＝，
|＋＋|＝
＝ ＝ ，
当sin(θ＋φ)＝－1时，|＋＋|取到最小值＝－1.
三、解答题
13．(2022·安徽涡阳一中第二次质检)如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，假设向量＝xe1＋ye2，那么把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标，假设＝3e1＋2e2.
(1)计算||的大小；
(2)设向量a＝(m，－1)，假设a与共线，求实数m的值；
(3)是否存在实数n，使得向量与b＝(1，n)垂直？假设存在，求出n的值；假设不存在，说明理由．
解　(1)e1·e2＝1×1×cos60°＝，
所以||＝|3e1＋2e2|＝
＝＝.
(2)因为a＝(m，－1)＝me1－e2，又a与＝3e1＋2e2共线，所以存在实数λ使得a＝λ，即me1－e2＝λ(3e1＋2e2)＝3λe1＋2λe2，由平面向量根本定理得解得m＝－.
(3)假设存在实数n，使得与向量b＝(1，n)垂直，
那么·b＝0，即
(3e1＋2e2)·(e1＋ne2)＝3e＋(3n＋2)e1·e2＋2ne＝3|e1|2＋(3n＋2)e1·e2＋2n|e2|2＝3＋(3n＋2)×＋2n＝0，得n＝－，所以存在实数n＝－，使得向量与b＝(1，n)垂直．
14．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝2.
(1)假设△ABC为等边三角形，且AD∥BC，E是CD的中点，求·；
(2)假设AC＝AB，cos∠CAB＝，·＝，求||.
解　(1)因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC，
所以∠DAB＝120°，又AD＝2AB，所以AD＝2BC，
因为E是CD的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.
又＝－，所以
·＝·(－)
＝2－2－·
＝×16－×4－×4×2×＝11.
(2)因为AB＝AC，AB＝2，所以AC＝2，
因为·＝，所以·(－)＝，
所以·－·＝.
又·＝||||cos∠CAB＝4×＝，
所以·＝＋·＝.
所以||2＝|－|2＝2＋2－2·＝4＋16－2×＝.
所以||＝.
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