2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)试题(广东卷详解).docx

2022·广东卷(文科数学)
1．[2022·广东卷] 集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，那么M∩N＝(　　)
A．{0，2}B．{2，3}
C．{3，4}D．{3，5}
1．B[解析]∵M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，∴M∩N＝{2，3}．
2．[2022·广东卷] 复数z满足(3－4i)z＝25，那么z＝(　　)
A．－3－4iB．－3＋4i
C．3－4iD．3＋4i
2．D[解析]∵(3－4i)z＝25，∴z＝＝＝3＋4i.
3．[2022·广东卷] 向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，那么b－a＝(　　)
A．(－2，1) B．(2，－1)
C．(2，0) D．(4，3)
3．B[解析]b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．
4．[2022·广东卷] 假设变量x，y满足约束条件那么z＝2x＋y的最大值等于(　　)
A．7B．8
C．10D．11
4．D[解析]作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影局部所示．作出直线l：2x＋y＝0，平移该直线，当直线经过点A(4，3)时，直线l的截距最大，此时z＝zx＋y取得最大值，最大值是11.
5．[2022·广东卷] 以下函数为奇函数的是(　　)
A．2x－B．x3sinx
C．2cosx＋1D．x2＋2x
5．A[解析]对于A选项，令f(x)＝2x－＝2x－2－x，其定义域是R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以A正确；对于B选项，根据奇函数乘奇函数是偶函数，所以x3sinx是偶函数；C显然也是偶函数；对于D选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数．
6．[2022·广东卷] 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，那么分段的间隔为(　　)
A．50B．40
C．25D．20
6．C[解析]由题意得，分段间隔是＝25.
7．、[2022·广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，那么“a≤b〞是“sinA≤sinB〞的(　　)
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件
7．A[解析]设R是三角形外切圆的半径，R＞0，由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB．应选A.
∵sin≤AsinB，∴2RsinA≤2RsinB，∴a≤b.同理也可以由a≤b推出sinA≤sinB.
8．[2022·广东卷] 假设实数k满足0<k<5，那么曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)
A．实半轴长相等B．虚半轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
8．D[解析]∵0<k<5，∴5－k>0，16－k>0.对于双曲线：－＝1，其焦距是2＝2；对于双曲线：－＝1，其焦距是2＝2.故焦距相等．
9．[2022·广东卷] 假设空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，那么以下结论一定正确的选项是(　)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
9．D[解析]此题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．
如下列图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AD是直线l3，那么DD1是直线l4，此时l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，A1D1是直线l3，那么C1D1是直线l4，此时l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．
10．[2022·广东卷] 对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：
①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)；
②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)；
③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；
④z1*z2＝z2*z1.
那么真命题的个数是(　　)
A．1B．2
C．3D．4
10．B[解析] 根据新定义知，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)，所以①正确；对于②，z1*(z2＋z3)＝z1z2＋z3＝z1z2＋z1z3＝(z1*z2)＋(z1*z3)，所以正确；对于③，左边＝(z1z2)*z3＝z1z2z3；
右边＝z1*(z23)＝z1z2z3＝z1z2z3＝z1z2，不正确；对于④，可以通过举特殊例子进行判断，z1＝1＋i，z2＝2＋i，左边＝z1*z2＝z1z2＝(1＋i)(2＋i)＝3＋i，右边＝z2*z1＝z2z1＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以④不正确．
11．[2022·广东卷] 曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．
11．5x＋y＋2＝0　[解析]∵y′＝－5ex，∴所求切线斜是k＝－5e0＝－5，∴切线方程是y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
12．[2022·广东卷] 从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，那么取到字母a的概率为________．
12.[解析]所有事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个，其中含有字母a的根本领件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，共4个，所以所求事件的概率是P＝＝.
13．[2022·广东卷] 等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，那么log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．
13．5[解析]在等比数列中，a1a5＝a2a4＝a＝4.因为an>0，所以a3＝2，所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝a＝25，
所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.
14．[2022·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线C1与C2交点的直角坐标为________．
14．(1，2)　[解析]此题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化以及曲线交点坐标的求解．
曲线C1的直角坐标方程是2x2＝y，曲线C2的直角坐标是x＝1.联立方程C1与C2得
解得所以交点的直角坐标是(1，2)．
15．[2022·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1­1所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，那么＝________．
图1­1
15．3[解析]此题考查相似三角形的性质定理，周长比等于相似比．∵EB＝2AE，∴AE＝AB＝CD.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴△AEF～△CDF，∴＝＝3.
16．[2022·广东卷] 函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)假设f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
17．[2022·广东卷] 某车间20名工人年龄数据如下表：
年龄(岁)
工人数(人)
19
1
28
3
29
3
30
5
31
4
32
3
40
1
合计
20
(1)求这20名工人年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
(3)求这20名工人年龄的方差．
(2)茎叶图如下:
1
9
2
8 8 8 9 9 9
3
0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2
4
0
18、[2022·广东卷] 如图1­2所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图1­3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
(1)证明：CF⊥平面MDF；
(2)求三棱锥M­CDE的体积．
图1­2图1­3
19．[2022·广东卷] 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
20．[2022·广东卷] 椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)假设动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
21．[2022·广东卷] 函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a<0时，试讨论是否存在x0∈∪，使得f(x0)＝f.