2022-2022学年高中数学课时跟踪检测二十七半角公式及其应用北师大版必修.doc

课时跟踪检测（二十七） 半角公式及其应用
一、基本能力达标
1．已知2π＜θ＜3π，cos θ＝m，则sin＝ (　　)
A．－　　　　　 　　B.
C．－ D.
解析：选A　因为2π＜θ＜3π，所以π＜＜.又cos θ＝m，所以sin＝－＝－，故选A.
2．已知cos θ＝－(－180°＜θ＜－90°)，则cos＝ (　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B　因为－180°＜θ＜－90°，所以－90°＜＜－45°.又cos θ＝－，所以cos＝＝＝，故选B.
3．已知α∈，cos α＝，则tan ＝ (　　)
A．3 B．－3
C. D．－
解析：选D　因为α∈，且cos α＝，所以∈，tan＝－＝－＝－，故选D.
4．若π＜α＜2π，则化简 的结果是 (　　)
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
解析：选C　∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos＜0，原式＝＝＝－cos.故选C.
5．化简2＋2sin2得 (　　)
A．2＋sin α B．2＋sin
C．2 D．2＋sin
解析：选C　原式＝1＋2sincos＋1－cos＝2＋sin α－cos＝2＋sin α－sin α＝2.
6．求值：cos4 ＋cos4＋cos4＋cos4＝________.
解析：原式＝2＝2＝2＝2＝.
答案：
7．化简：··＝________.
解析：法一：原式＝··
＝·＝·
＝＝＝tan .
法二：原式＝tan 2α··
＝·＝tan α·
＝＝tan .
答案：tan
8．函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小值为________．
解析：由f(x)＝sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴f(x)min＝－1.
答案：－1
9．已知cos 2θ＝，<θ<π，
(1)求tan θ的值．
(2)求的值．
解：(1)因为cos 2θ＝，所以＝，
所以＝，解得tan θ＝±，
因为<θ<π，所以tan θ＝－.
(2)因为<θ<π，tan θ＝－，
所以sin θ＝，cos θ＝－，
所以＝
＝＝－4.
10．在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，，求cos＋sin＋tan的值．
解：依题意，得cos α＝，cos β＝，因为α，β为锐角，
所以cos＋sin＋tan
＝＋＋
＝＋＋
＝.
二、综合能力提升
1．若θ∈，sin 2θ＝，则sin(5π－θ)＝ (　　)
A.　　　　　　　　　 　　B.
C.或 D．－
解析：选A　法一：因为θ∈，所以2θ∈.又sin 2θ＝，所以cos 2θ＝－＝－＝－，所以sin(5π－θ)＝sin θ＝＝＝.故选A.
法二：因为sin 2θ＝，所以2sin θcos θ＝，
即sin θcos θ＝.又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin2θcos2θ＝sin2θ(1－sin2θ)＝，即sin4θ－sin2θ＋＝0，解得sin2θ＝或sin2θ＝.又θ∈，所以≤sin θ≤1，所以sin θ＝.所以sin(5π－θ)＝sin θ＝，故选A.
2．若＝，则sin α＋cos α的值为 (　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选A　∵＝tan＝，∴sin α＋cos α＝＋＝＝.
3．已知＜α＜2π，化简 的结果为 (　　)
A．sin B．－sin
C．cos D．－cos
解析：选D　∵＜α＜2π，∴＜＜π，
∴cos α＞0，cos＜0，
∴原式＝＝＝＝＝－cos.
4．若cos α＝－，α是第三象限的角，则＝ (　　)
A．－ B.
C．2 D．－2
解析：选A　由α是第三象限角，知是第二或第四象限角，又cos α＝－，所以sin α＝－，tan α＝.
由tan α＝＝，解得tan＝－3(正值舍去)，从而＝－.
5．已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，则tan的值为________．
解析：∵cos 2θ＝－，＜θ＜π，
∴sin θ＝＝＝，
cos θ＝－＝－＝－，
∴tan＝＝＝.
答案：
6．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
若α∈，且f(α)＝，则α的值为________．
解析：因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
因为f(α)＝，所以sin＝1.
因为α∈，
所以4α＋∈，
即4α＋＝，故α＝.
答案：
7．已知向量a＝(1，－)，b＝，函数f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)∵a＝(1，－)，b＝，
∴f(x)＝a·b＝sin x－＝sin x－cos x.
∵f(θ)＝0，即sin θ－cos θ＝0，∴tan θ＝，
∴＝＝＝＝－2＋.
(2)f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－；
当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2]．
8.如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
解：在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α，
在Rt△OAD中，＝tan＝，
所以OA＝DA＝BC＝sin α，
所以AB＝OB－OA＝cos α－sin α.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AB·BC＝·sin α
＝sin αcos α－sin2α
＝sin 2α－(1－cos 2α)
＝sin 2α＋cos 2α－
＝－
＝sin－.
由0＜α＜，得＜2α＋＜，
所以当2α＋＝，即α＝时，S取得最大值，最大值为－＝.
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，且最大面积为.
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