2022吉林中考数学解析(李建华)(张松柏审核).docx

2022年吉林省中考数学试卷
(总分值120分，考试时间120分钟)
一、选择题(本大题共有6小题，每题2分，共12分．在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)
1．(2022吉林，1，2分)在0，1，－2，3这四个数中，最小的数是()
A．0 B．1 C．－2 D．3
【答案】C
【逐步提示】此题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数大小比较的法那么．根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数〞可得答案．
【详细解答】解：因为3＞1＞0＞－2，所以最小的数是－2，应选择C．
【解后反思】有理数大小比较的一般方法：①正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小；②在数轴上表示的数，右边的总比左边的大．
【关键词】有理数比较大小
2．(2022吉林，2，2分)习近平总书记提出了未来5年“精准扶贫〞的战略思想，意味着每年要扶贫约11700000人．将数据11700000用科学计数法表示为()
A．1．17×106 B．1．17×107 C．1．17×108D．11．7×106
【答案】B
【逐步提示】此题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．把11700000先写成1．17×10 000 000，再表示成a×10n的形式．
【详细解答】解：11700000＝1．17×10 000 000＝1．17×107，应选择Ｂ．
【解后反思】把一个数写成a×10n的形式(其中1≤|a|＜10，n为整数，这种表示数的方法称为科学记数法)，其方法是：(1)确定a，a是只有一位整数的数；(2)确定n；当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上的零)．
【关键词】科学记数法
3．(2022吉林，3，2分)用5个完全相同的小正方体组合成如下列图的立体图形，它的主视图为()
正面

A． B．C．D．
【答案】A
【逐步提示】此题考查了三视图的知识，解题的关键是掌握主视图的概念．找到该几何体从前向后看到的平面图形即可．
【详细解答】解：观察几何体，从正面看得到的平面图形是，应选择A．
【解后反思】主视图是从几何体正面看得到的平面图形，俯视图是从几何体上方看得到的平面图形，左视图是从几何体左侧看得到的平面图形．常见几何体的三视图如下：
常见的几何体
主视图
左视图
俯视图
球
圆
圆
圆
正方体
正方形
正方形
正方形
长方体
矩形
矩形
矩形
圆柱
矩形
矩形
圆
圆锥
三角形
三角形
带圆心的圆
三棱柱
矩形
矩形
三角形
另外，主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽．
【关键词】画三视图
4．(2022吉林，4，2分)计算(－a3)2结果正确的选项是()
A．a5B．－a5C．－a6D．a6
【答案】D
【逐步提示】此题考查了积的乘方和幂的乘方，解题的关键是掌握幂的运算法那么，解题时先利用积的乘方法那么，再运用幂的乘方法那么．
【详细解答】解：(－a3)2＝(－1)2×(a3)2＝a6，应选择D．
【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能正确地运用相应的法那么，张冠李戴．对于幂的有关运算，关键是掌握其运算法那么：
名称
运算法那么
同底数幂的乘法
同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，即：．
同底数幂的除法
同底数幂的相乘，底数不变，指数相减，即：．
幂的乘方
幂的乘方，等于底数不变，指数相乘，即：．
积的乘方
积的乘方，等于各因数分别乘方的积，即：

【关键词】幂的乘方；积的乘方
5．(2022吉林，5，2分)小红要购置珠子串成一条手链．黑色珠子每个a元，白色珠子每个b元，要串成如下列图的手链，小红购置珠子应该花费()
A．(3a＋4b)元 B．(4a＋3b)元C．4 (a＋b)元D．3 (a＋b)元
【答案】A
【逐步提示】此题考查了列代数式，解题的关键是准确分析题目中的数量关系．图中共有3个黑色珠子和4个白色珠子，购置黑色珠子的费用＋购置白色珠子的费用＝总费用，费用＝单价×数量．
【详细解答】解：因为购置黑色珠子的费用为3a元，购置白色珠子的费用为4b元，所以总费用为(3a＋4b)元，应选择A．
【解后反思】列代数式的前提条件是准确分析出问题中存在的数量关系，然后用数或字母表示出来，这就要求在平时要多积累各类应用题中的数量之间的关系．
【关键词】列代数式
6．(2022吉林，6，2分)如图，阴影局部是两个半径为1的扇形．假设a＝120°，b＝60°，那么大扇形与小扇形的面积之差为()
A． B． C． D．
【答案】B
【逐步提示】此题考查了扇形面积的计算，解题的关键是清楚扇形的面积计算公式．可分别计算大扇形、小扇形的面积，再求面积之差；也可以找到它们的面积之差就是圆心角为60°的扇形的面积，然后计算．
【详细解答】解：法一：因为S大扇形＝＝，S小扇形＝＝，所以面积之差为－＝，应选择B．
法二：面积之差为＝，应选择B．
【解后反思】(1)扇形是圆的一局部，设扇形圆心角的度数为n，那么扇形面积为圆面积的；
(2)弧是圆的一局部，设弧所对的圆心角的度数为n，那么弧长为圆周长的，即弧长(其中R表示弧所在圆的半径，n表示扇形圆心角的度数(不加单位)，l表示弧长)；
(3)扇形面积的计算公式：(其中R表示扇形所在圆的半径，n表示扇形圆心角的度数(不加单位)，l表示扇形的弧长)．
【关键词】扇形与弓形
二、填空题(本大题共有8小题，每题3分，共24分．不需写出解答过程)
7．(2022吉林，7，3分)计算：－＝__________．
【答案】
【逐步提示】此题考查的是二次根式的运算，解题的关键是对二次根式的正确化简．先化简二次根式使其成为最简二次根式，后合并同类二次根式．
【详细解答】解：－＝2－＝，故答案为．
【解后反思】一个二次根式，满足以下几个条件就被称为最简二次根式：(1)被开方数不含有开得尽的因数或因式；(2)被开方数中不含分母；(3)分母中不含根号．
同类二次根式：化简成最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
二次根式的加减运算步骤是先化简二次根式，然后再合并同类二次根式，法那么类似于合并同类项．
【关键词】二次根式加减法
8．(2022吉林，8，3分)分解因式：3x2－x＝__________．
【答案】x(3x－1)
【逐步提示】此题考查了利用用提公因式法进行因式分解，解题的关键是找出公因式．先找公因式a，再确定另一个因式．
【详细解答】解：由题意得，公因式为x，从而另一个因式为3x－1，故答案为x(3x－1)．
【解后反思】因式分解问题应首先考虑是否能提公因式，找公因式应从系数、字母和字母的指数三个方面分别考虑．没有公因式或提公因式后，再根据项数考虑公式法，两项那么考虑是否可用平方差公式，三项那么考虑是否可用完全平方公式或十字相乘法，三项以上那么应考虑使用分组分解法．
【关键词】提取公因式法
9．(2022吉林，9，3分)假设x2－4x＋5＝(x－2)2＋m，那么m＝__________．
【答案】1
【逐步提示】此题考查了二次三项式的配方，理解和熟练运用完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式对二次三项式配方即可得到答案．
【详细解答】解：x2－4x＋5＝x2－4x＋4＋1＝(x－2)2＋1，所以m＝1，故答案为1．
【解后反思】对于二次三项式，我们一般采用“一提二配〞完成配方．对于此题也可以这样解，原等式化为：x2－4x＋5＝x2－4x＋4＋m，所以5＝4＋m，故m＝1．
【关键词】完全平方公式；配方法
10．(2022吉林，10，3分)某学校要购置电脑．A型电脑每台5 000元，B型电脑每台3 000元，购置10台电脑共花费34 000元．设购置A型电脑x台，B型电脑y台，那么根据题意可列方程组为__________．
【答案】
【逐步提示】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目的等量关系．此题中的等量关系：A型电脑台数＋B型电脑台数＝10，A型电脑台数×5 000＋B型电脑台数×3000＝34 000，把未知数代入数量关系得到方程组．
【详细解答】解：根据等量关系：A型电脑台数＋B型电脑台数＝10，列出方程x＋y＝10；再根据等量关系：A型电脑台数×5 000＋B型电脑台数×3 000＝34 000，列出方程5 000x＋3000y＝34000，故答案为．
【解后反思】此类问题容易出错的地方是不理解实际问题中的数量关系，从而不能列出方程．由实际问题抽象出二元一次方程组的主要步骤是：①弄清题意；②找准题中的两个等量关系；③设出适宜的未知数；④根据找到的等量关系列出两个方程并组成二元一次方程组．
【关键词】二元一次方程组的应用
11．(2022吉林，11，3分)如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如下列图的方式摆放．假设∠EMB＝75°，那么∠PNM＝__________度．
【答案】30
【逐步提示】此题考查了平行线的性质和两角和的意义，解题的关键是熟练运用平行线的性质．先由“两直线平行，同位角相等〞， 求出∠DNM的度数；再根据∠DNM＝∠DNP＋∠PNM，求出∠PNM的大小．
【详细解答】解：∵AB∥CD，∴∠DNM＝∠EMB＝75°；又∵∠DNM＝∠DNP＋∠PNM，∴∠PNM＝∠DNM－∠DNP＝75°－45°＝30°，故答案为30．
【解后反思】用直尺和三角板拼图求角的问题，一定要注意隐含的条件，如：直尺的对边平行，三角板的角是30°，60°，90°，45°等等，另利用平行线的性质将角和未知角放在同一个三角形中，三角形的内角和定理及外角性质是解决这类问题的一般方法．
【关键词】平行线的性质
12．(2022吉林，12，3分)如图，线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线CD交AB于点E．在直线CD上任取一点F，连接FA，FB．假设FA＝5，那么FB＝__________．
【答案】5
【逐步提示】此题考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，解题的关键是知道这里的作图是作线段垂直平分线．进而利用线段垂直平分线的性质即可．
【详细解答】解：由题意，CD垂直平分AB，因为点F在直线CD上，所以FA＝FB，故答案为8．
【解后反思】线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等，运用该性质可以将线段进行转化．其逆定理是：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
初中阶段根本的尺规作图有：“作一条线段等于线段〞、“作一个角等于角〞、 “经过一点作直线的垂线〞、 “作角的平分线〞、 “作线段的垂直平分线〞．对于尺规作图问题，熟练掌握作图方法和作图的依据是前提，作图要注意保存作图痕迹．
【关键词】垂直平分线的性质；画垂直平分线
13．(2022吉林，13，3分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，连接OC．点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，那么∠BPD可能为__________度(写出一个即可)．
【答案】60(答案不唯一，大于等于50且小于或等于100即可)
【逐步提示】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是找出角和要求的角之间的关系．先利用“圆内接四边形对角互补〞求出BCD的度数，再运用圆周角的性质先求出BOD，最后利用三角形外角的性质得到“∠BOD＞∠BPD＞∠BCD〞．
【详细解答】解：连接OB、OD，∵∠DAB＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°－130°＝50°，∴∠BOD＝2∠BCD＝2×50°＝100°，∵∠OPB＞∠OCB，∠OPD＞∠OCD，∴∠BPD＞∠BCD；同理∠BOD＞∠BPD，∴∠BOD＞∠BPD＞∠BCD，故答案为60(答案不唯一，大于等于50且小于或等于100即可)．
【解后反思】圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对的弧的度数进行转换，怎么转换需要根据题目的要求来确定．(1)在圆中解决与角有关的问题时，常用的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，从而实现圆心角与圆周角度数的互换．①在同圆或等圆中，圆周角的度数等于同弧或等弧所对的圆心角的一半；②圆内接四边形对角互补；③圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)三角形外角的性质是三角形的一个重要性质，根据外角性质可以轻松的实现三角形内角和与外角的互换，从而方便的求出某些角的度数，一般来说，利用外角的性质通常比利用三角形的内角和更简便一些．
【关键词】圆心角、圆周角定理；圆内接四边形及性质；三角形的外角
14．(2022吉林，14，3分)在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D(不与B，C重合)是BC上任意一点．将此三角形纸片按以下方式折叠．假设EF的长度为a，那么△DEF的周长为__________(用含a的式子表示)．
【答案】3a
【逐步提示】此题考查了直角三角形的折叠问题，解题的关键是轴对称的性质判断△DEF的形状，先由第1次折叠得到∠AED＝60°，再由第2次折叠得到∠DFE＝60°，进而判断△DEF是等边三角形．
【详细解答】解：由第1次折叠，得∠EDB＝∠B＝30°，∴∠AED＝∠EDB＋∠B＝60°，再由第2次折叠，得∠FDC＝∠C＝90°，∴∠FDC＋∠C＝180°，∴FD∥AC，∴∠DFE＝∠A＝60°，∴DE＝DF，∴△DEF是等边三角形．∴△DEF的周长为3EF＝3a，故答案为3a．
【解后反思】①折叠问题是属于轴对称变换，折叠后图形的形状和大小不变．②等边三角形的判定方法有：三边相等的三角形是等边三角形；三角相等的三角形是等边三角形；有一角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
【关键词】等边三角形；轴对称变换
三、解答题(本大题共有12小题，共84分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤)
15．(2022吉林，15，5分)先化简，再求值：(x＋2)(x－2)＋x(4－x)，其中x＝．
【逐步提示】此题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练地掌握整式的乘法法那么与乘法公式．先利用平方差公式和单项式乘多项式的法那么化简、合并同类项，再代入数值进行计算．
【详细解答】解：原式＝x2－4＋4x－x2＝4x－4．
当x＝时，原式＝4×－4＝－3．
【解后反思】①整式运算的顺序是：先做整式的乘除，再做整式的加减．整式加减的实质就是合并同类项．对于化简求值题，常常先化简再求值．②初中数学中的乘法公式有：平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2，应牢固地掌握．
【关键词】代数式的值；多项式与多项式相乘；整式的加减运算法那么
16．(2022吉林，16，5分)解方程：＝．
【逐步提示】此题考查了分式方程的解法，解题的关键是去分母化为整式方程．①先确定最简公分母(x＋3)(x－1)，再去分母化为整式方程．②最后要检验．
【详细解答】解：方程两边乘(x＋3)(x－1)，得2(x－1)＝x＋3．
解得x＝5．
检验：当x＝5时，(x＋3)(x－1)≠0．
所以，原分式方程的解为x＝5．
【解后反思】解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程并检验该整式方程的解是不是原分式方程的解．
【关键词】分式方程的解法
17．(2022吉林，17，5分)在一个不透明的口袋中装有1个红球，1个绿球和1个白球，这3个球除颜色不同外，其它都相同．从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色，然后放回口袋并摇匀，再从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色．请利用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球都是红球的概率．
【逐步提示】此题考查了概率的概念及意义，解题的关键是掌握概率的计算方法．从袋中随机摸出1个球，只有3种等可能的结果；再从袋中随机摸出1个球，也有3种等可能的结果；采用画树状图或列表的方法列出所有等可能出现的结果，再根据等可能条件下概率的计算方法计算即可．
【详细解答】解：法一：
根据题意，可以画出如下树状图：
第一次
第二次
红
红
绿
白
绿
红
绿
白
白
红
绿
白

从树状图可以看出，所有等可能出现的结果共有9个，其中两次摸到的球都是红球的结果有1个．
所以P(两次摸到的球都是红球)＝．
法二：
根据题意，列表如下：
从表中可以看出，所有等可能出现的结果共有9个，其中两次摸到的球都是红球的结果有1个．
所以P(两次摸到的球都是红球)＝．
【解后反思】画树形图或列表是概率计算常见的方法．根据树形图或者列表来判断事件A有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率可表示为P(A)＝．
1．列表法：
(1)定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
(2)列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
2．树状图法：
(1)定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
(2)运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．
3．求概率的方法：
【关键词】概率的计算公式；求概率的方法
18．(2022吉林，18，5分)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
【逐步提示】此题考查了菱形的性质、矩形的判定，解题的关键是正确运用相关的判定和性质进行证明．(1)先说明四边形OAED为平行四边形，由菱形性质得到∠AOD＝90°，从而判定四边形AODE是矩形．
【详细解答】解：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴∠AOD＝90°．
∴四边形AODE是矩形．
【解后反思】证明一个四边形是矩形，可从以下几个方面来思考：三个角都是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是菱形；对角线相等的平行四边形是菱形．
【关键词】菱形的性质；矩形的判定
19．(2022吉林，19，7分)图①，图②都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．
(1)请在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形(两个平行四边形不全等)；
(2)图①中所画的平行四边形的面积为__________．
图①
图②

【逐步提示】此题考查了平行四边形的网格作图，解题的关键是要在格点上寻求符合要求的两组点．(1)仔细观察6个标注点的位置，发现是3组关于同一点对称的对称点，利用平行四边形的中心对称性可解；(2)求平行四边形的面积，水平放置时用底×高；未水平放置时，分成两个三角形求解．
【详细解答】解：(1)此题答案不唯一，以下答案供参考．
(2)S平行四边形=3×2=6(或2××6×1=6)，故答案为6．
(说明：图②中所画的平行四边形与图①中所画的平行四边形不可以全等，否那么不正确)
【解后反思】相同边长的正方形网格，是研究图形性质的很好的载体，如果线段在网格线上，可以通过数网格得到线段的长度，如果线段不在网格线上，还需要结合勾股定理解决问题．画格点平行四边形的关键是找两对对称点，利用平行四边形的中心对称性画图．
【关键词】平行四边形的判定；“网格〞数学题型
20．(2022吉林，20，7分)某校学生会为了解环保知识的普及情况，从该校随机抽取局部学生，对他们进行了垃圾分类了解程度的调查．根据调查收集的数据绘制了如下的扇形统计图，其中对垃圾分类非常了解的学生有30人．
(1)本次抽取的学生有__________人；
(2)请补全扇形统计图；
(3)请估计该校16000名学生中对垃圾分类不了解的人数．
【逐步提示】此题考查了利用统计图获取信息的能力及用样本估计总体的统计思想，解题的关键是通过观察、分析统计图，获取有价值的信息，以便作出正确的选择．(1)数据总数＝频数÷频率；(2)各小组的频率之和为1；(3)利用样本估计总体的方法，用16 000×样本对垃圾分类不了解的的频率(或所占百分比)即可．
【详细解答】解：(1)本次抽取的学生为30÷10%＝300，故答案为300．
(2)1－10%－20%－30%＝40%，故答案为40．补全扇形统计图如图．
(3)1600×30%＝480(人)．
答：对垃圾分类不了解的约有480人．
【解后反思】此类题目主要考察统计图表的知识，对于此类题目，关键是从题目的表格或统计图中得到有用的信息，解题时要正确读图(表)是解决问题的关键．要注意条形统计图能显示某项的具体数量，而扇形统计图能显示各项所占的百分比的大小，扇形统计图中所有扇形表示的百分比之和为1，某项的具体数量除以其所占的百分比即可得到总体的数量，频率＝．
【关键词】扇形图；用样本估计总体
21．(2022吉林，21，7分)如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的仰角a＝43°．求飞机A与指挥台B的距离(结果取整数)．
(参考数据：sin43°＝0．68，cos43°＝0．73，tan43°＝0．93)
【逐步提示】此题考查了解直角三角形的应用中的仰角问题，解题的关键是借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用锐角三角函数解直角三角形．显然∠ABC＝a＝43°，利用sin∠ABC＝可求AB．
【详细解答】解：根据题意，得∠ACB＝90°，∠ABC＝43°，AC＝1 200．
在Rt△ABC中，
∵sin∠ABC＝，
∴AB＝＝＝≈1765(m)．
答：飞机A与指挥台B的距离约为1765m．
【解后反思】⑴仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型，作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法；在多个直角三角形中一定要认真分析各条线段之间的关系(包括三角函数关系、相等关系)，运用方程求解，有时可起到事半功倍之效．⑵解直角三角形应用题时，通常会利用仰角、俯角来构造直角三角形，具体方法如下：①如果题中两个仰角或俯角在同一点上，就从这个点作垂线，构造直角三角形；②如果这两个仰角或俯角分别在两个点上，那么过第三点引垂线构造直角三角形．
【关键词】仰角、俯角有关问题
22．(2022吉林，22，7分)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＞0)的图象上有一点A(m，4)，过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD＝．
(1)点D的横坐标为__________(用含m的式子表示)；
(2)求反比例函数的解析式．
【逐步提示】此题考查了反比例函数解析式确实定及点的平移，解题的关键是用方程的思想解题．(1)求点D的横坐标，就是就点C的横坐标；可以先由点A的坐标确定点B的坐标，进而利用点平移时相应坐标的变化可求；(2)把点A、D的坐标分别代入到反比例函数解析式中，利用方程(或方程组)求出k的值，从而确定解析式．
【详细解答】
解：(1)由A(m，4)，AB⊥x轴于点B，得B(m，0)；
而点B向右平移2个单位长度得到点C，
∴点C的坐标为(m＋2，0)．
∵CD∥y轴，∴点D的横坐标为m＋2．故答案为m＋2．
(2)∵CD＝，∴点D的坐标为(m＋2，)．
∵点A(m，4)，点D (m＋2，)在函数y＝的图象上，
∴4m＝(m＋2)．
∴m＝1．
∴k＝4m＝4×1＝4．
∴反比例函数的解析式为y＝．
【解后反思】①求函数表达式一般采用待定系数法，把函数图像经过的点的坐标代入函数一般形式，通过解方程或方程组确定待定系数，进而写出函数表达式；
②反比例函数y＝(k≠0的常数)的解析式也可以变形为xy＝k；点在函数图象上，那么这点一定满足其函数解析式，反之也成立；
③在平面直角坐标系中求线段的长度，一般是添作垂线段，构造直角三角形，运用勾股定理求解，有时也可以借助相似三角形来解决．
【关键词】反比例函数的表达式；图形平移的特征；待定系数法
23．(2022吉林，23，8分)甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，甲出发1h后，乙出发．设甲与A地相距y甲(km)，乙与A地相距y乙(km)，甲离开A地的时间为x(h)，y甲、y乙与x之间的函数图象如下列图．
(1)甲的速度是__________km/h；
(2)当1≤x≤5时，求y乙关于x的函数解析式；
(3)当乙与A地相距240km时，甲与A地相距__________km．
【逐步提示】此题考查了有关行程问题的图像信息问题，解题的关键是读懂函数图象包含的信息．y甲是正比例函数，y乙是一次函数．①甲的速度可由甲行驶6h，距离A地360km求得；②求y乙与x的函数关系式时需找到两组对应值(两点确定一条直线)，观察图象可知，点(1，0)，(5，360)在直线上；③先求出y乙＝240时x的值，再根据s＝vt，即y甲＝V甲x，得到甲与A地的距离．
【详细解答】
解：(1)由图象得，当x＝6时，y甲＝360，∴V甲＝＝60，故答案为60．
(2)法一：当1≤x≤5时，设y乙关于x的函数解析式为y乙＝kx＋b．
∵点(1,0)，(5,360)在其图象上，
∴
解得
∴y乙关于x的函数解析式为y乙＝90x－90(1≤x≤5)．
法二：由图象得v乙＝90．
∴y乙＝90(x－1)＝90x－90 (1≤x≤5)．
(3)当y乙＝240时，90x－90＝240，x＝，此时y甲＝60×＝220，故答案为220．
【解后反思】与行程有关的图形信息题中如果要求速度，一定要从图中读到一定的时间内路程的变化，用路程的变化除以时间的变化即为速度．相遇、追及问题中路程、速度、时间之间的关系要注意；求某一段线段的函数关系式，只要知道这条线段上的两个点的坐标，然后用待定系数法即可求得．
【关键词】实际问题探究；一次函数的表达式；函数图像型；待定系数法
24．(2022吉林，24，8分)
(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C．连接C1B1，那么C1B1与BC的位置关系为__________；
(2)如图②，当△ABC是锐角三角形，∠ABC＝a(a≠60°)时，将△ABC按照(1)中的方式旋转a．连接C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
(3)如图③，在图②的根底上，连接B1B．假设C1B1＝BC，△C1BB1的面积为4，那么△B1BC的面积为__________．
图①
图②
图③

【逐步提示】此题考查了平行四边形的判定以及图形的旋转，解题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形全等或平行四边形的知识进行解答．(1)显然C1B＝CB＝CB1，CB∥CB1，证明四边形BCB1C1是平行四边形即可；(2)法一：过点C1作C1D⊥BC于点D，过点B1作B1F⊥BC于点F，证明四边形C1DFB1是平行四边形；法二：过点C1作C1E∥B1C交BC于点E，证明C1B＝C1E和四边形C1ECB1是平行四边形．(3)由△C1BB1和△B1BC的高相等，面积的比等于高的比．
【详细解答】
解：(1)由旋转得∠A1BC1＝∠A1BC＝90°，∠BCB1＝90°，
∴∠A1BC1＋∠BCB1＝180°，∴CB∥CB1；
∵C1B＝CB＝CB1，∴四边形BCB1C1是平行四边形；
∴C1B1∥BC．故答案为：平行(或C1B1∥BC)．
(2)C1B1∥BC．
法一：
证明：如图②，过点C1作C1D⊥BC于点D，过点B1作B1F⊥BC于点F，
那么C1D∥B1F，∠C1DB＝∠B1FC＝90°．
由旋转可知，BC1＝BC＝CB1，∠C1BD＝∠B1CF．
∴△C1BD≌△B1CF(AAS)．
∴C1D＝B1F．
又C1D∥B1F，
∴四边形C1DFB1是平行四边形．
∴C1B1∥BC．
法二：
证明：如图②，过点C1作C1E∥B1C交BC于点E，
那么∠C1EB＝∠B1CB．
由旋转可知，BC1＝BC＝B1C，∠C1BC＝∠B1CB．
∴∠C1BC＝∠C1EB．
∴C1B＝C1E．
∴C1E＝B1C．
又C1E∥B1C，
∴四边形C1ECB1是平行四边形．
∴C1B1∥BC．
(3)∵C1B1∥BC，∴＝＝，∴S△B1BC＝4÷＝6．故答案为6．
【解后反思】①图形的旋转变换是全等变换，变换过程中不改变图形的形状和大小，解决此类问题的时候，要紧紧抓住图形变换前后的不变的量来解决问题．②图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角．
【关键词】图形旋转的特征；三角形全等的识别；平行四边形的判定；面积法
25jsc(2022吉林，25，10分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，AD⊥BC于点D．点P从点A出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止．在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°(点M，C位于PQ异侧)．设点P的运动时间为x(s)△PQM与△ADC重叠局部的面积为y(cm2)．
(1)当点M落在AB上时，x＝__________；
(2)当点M落在AD上时，x＝__________；
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(备用图)

【逐步提示】此题考查了以等腰直角三角形为背景的图形运动问题，解题的关键是作出每种情况对应的图形，找出图形中量与量之间的关系．
(1)当点M落在AB上时，MP＝PQ，AP＝PQ＝PC；
(2)当点M落在AD上时，AP＝MP，MP＝PQ，PQ＝PC，从而AP＝2PC；
(3)分三种情况讨论：当0＜x≤4时，重叠局部为三角形；当4＜x≤时，重叠局部为四边形；当＜x＜8时，重叠局部为三角形．
【详细解答】
解：(1)当点M落在AB上时，△APM、△MPQ和△CPQ都是等腰直角三角形，
∴MP＝PQ，AP＝PQ＝PC；即x＋x＝8，∴x＝4．故答案为x＝4．
(2)当点M落在AD上时，△APQ、△MPQ和△CPQ都是等腰直角三角形，
∴AP＝MP，MP＝PQ，PQ＝PC，从而AP＝2PC；
即x＋x＝8，∴x＝．故答案为x＝．
(3)当0＜x≤4时，如图，设PM，PQ分别交AD于点E、F，那么重叠局部为△PEF．
由题意得AP＝x，
∴EF＝PE＝x．
∴y＝S△PEF＝PE·PF＝x·x＝x2．
当4＜x≤时，如图，设PM，MQ分别交AD于点E、G，那么重叠局部为四边形PEGQ．
∵PQ＝PC＝8－x，
∴PM＝16－2x．
∴ME＝PM－PE＝16－3x．
∴y＝S△PQM－S△MEG＝PQ2－ME2＝(8－x)2－(16－3x)2＝－x2＋32x－64．
当＜x＜8时，如图，那么重叠局部为△PQM．
∴y＝S△PQM＝PQ2＝(8－x)2＝x2－16x＋64．
综上所述，

【关键词】等腰直角三角形；方程与函数思想；分类讨论思想
26．(2022吉林，26，10分)如图①，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y＝ax2＋bx＋c经过O，A，B三点．
(1)当m＝2时，a＝__________，当m＝3时，a＝__________；
(2)根据(1)中的结论，猜想a与m的关系，并证明你的结论；
(3)如图②，在图①的根底上，作x轴的平行线交抛物线l于P，Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a与n的关系式为__________；
(4)利用(2)，(3)中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．
l
l
图①
图②

【逐步提示】此题考查了抛物线与x轴交点与等边三角形、等腰直角三角形的综合运用，解题的关键是根据图形的性质，用参数表示相关的量，建立方程解决问题．(1)过点A作AD⊥x轴于点D，那么OA＝2OD，AD＝OD．①当m＝2时，A(2，2)，B(4，0)；②当m＝3时，A(3，3)，B(6，0)；用待定系数法求抛物线解析式得到a的值．(2)将(1)中的问题一般化，A(m，m)，B(2m，0)；用待定系数法求抛物线解析式得到a与m的关系．(3)设AD交PQ于点E，那么AE＝PQ＝n，从而得到点P或点Q的坐标，代入(2)中的抛物线解析式即可．(4)将△AOB与△APQ的面积分别用m或n表示，再利用(2)、(3)中的结论求解．
【详细解答】
解：(1)过点A作AD⊥x轴于点D，那么OA＝2OD，AD＝OD．
①当m＝2时，A(2，2)，B(4，0)；设抛物线解析式为y＝a(x－2)2＋2，那么0＝a(4－2)2＋2，解得a＝－；
②当m＝3时，A(3，3)，B(6，0)；设抛物线解析式为y＝a(x－3)2＋3，那么0＝a(6－3)2＋3，解得a＝－；
故答案为－，－．
(2)猜想：a＝－．
证明：∵等边三角形OAB的边长为2m，
∴点A的坐标为A(m，m)．
∵点A为抛物线l的顶点，
∴可设抛物线l：y＝a(x－m)2＋m．
把O(0，0)代入，得
am2＋m＝0．
∴a＝－．
(3)设AD交PQ于点E，由△APQ为等腰直角三角形，那么AE＝PQ＝n，
从而得到点P的坐标为(m－n，m－n)(或点Q的坐标为(m＋n，m－n) ．
代入(2)中的函数关系式y＝－(x－m)2＋m，
化简，得a＝－．故答案为a＝－．
(4)∵S△AOB＝×2m×m＝m2，
S△APQ＝×2n×n＝n2，
又a＝－，a＝－，
∴m＝n．
∴＝＝＝3．
∴△AOB与△APQ的面积比为3∶1．
【解后反思】解答压轴题时应循序渐进，先从简单的问题入手，在复杂的图形中寻找根本的图形、常见的结论，综合运用所学知识、方法与技巧，化整为零，各个击破，注意数形结合、转化归纳，结合动手操作，一般可以得到所需结果．①会用待定系数法求二次函数函数解析式；②利用“数形结合〞的思想，按照“解析式→坐标→距离(线段长度)→几何图形性质及应用〞的思路思考；③对于数形结合的思想的应用要注意几何图形的性质为相应的函数或方程提供的条件的应用．
【关键词】二次函数的表达式；待定系数法；数形结合思想；方程与函数思想