2022版人教A版高中数学必修四导练课时作业：3.1.1-两角差的余弦公式-Word版含解析.doc

3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1　两角差的余弦公式

选题明细表
知识点、方法
题号
给角求值
1
给值求值
3,5,7,8,9,12
给值求角
2,6,10,11
综合应用
4
基础巩固
1.cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°等于(　C　)
(A)1 (B)-1 (C)0 (D)
2.不满足sin αsin β=-cos αcos β的一组α,β值是(　C　)
(A)α=,β= (B)α=,β=
(C)α=,β= (D)α=,β=
解析:因为sin αsin β=-cos αcos β,所以cos(α-β)=.经检验C中的α,β不满足,故选C.
3.若α,β均为锐角,sin α=,sin(α+β)=,则cos β等于(　B　)
(A) (B)
(C)或 (D)-
解析:因为α,β均为锐角,
所以α+β∈(0,π)
且sin α=>=sin(α+β),所以α+β∈(,π),
所以cos α=,cos(α+β)=-,
所以cos β=cos [(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.
故选B.
4.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cos A,sin A),
b=(cos B,sin B),且a·b=1,则△ABC一定是(　B　)
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形
解析:因为a·b=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的内角,所以A=B,即△ABC一定是等腰三角形.
5.已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,则cos(α-β)的值为(　D　)
(A) (B) (C) (D)-
解析:由已知得(sin α+sin β)2=,①
(cos α+cos β)2=, ②
①+②得2+2sin α·sin β+2cos α·cos β=1,
所以cos α·cos β+sin α·sin β=-,
即cos(α-β)=-.
6.若α∈[0,π],sinsin+cos cos =0,则α的值是(　D　)
(A) (B) (C) (D)
解析:由已知得coscos+sinsin=0,
即cos(-)=0,cos α=0.
又α∈[0,π],所以α=,选D.
7.已知sin(A+)=,A∈(,),则cos A=　　. 
解析:由A∈(,),可知A+∈(,),
则cos(A+)=-,
cos A=cos[(A+)-]
=cos(A+)cos+sin(A+)sin
=-×+×=.
答案:
8.(2018·东莞市期中)已知tan α=4,cos(α+β)=-,α,β均为锐角,求cos β的值.
解:因为α∈(0,),tan α=4,
所以sin α=4cos α,①
sin2α+cos2α=1. ②
由①②得sin α=,cos α=.
因为α+β∈(0,π),cos(α+β)=-,
所以sin(α+β)=.
所以cos β=cos [(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=(-)×+×=.
所以cos β=.
能力提升
9.(2018·郑州市期末)若cos α=,cos(α+β)=-,且α,β都是锐角,则cos β的值为(　B　)
(A)- (B)
(C) (D)-
解析:因为β=(α+β)-α,
又cos α=,cos(α+β)=-,
α,β都是锐角,
所以α+β是钝角,
所以sin α=,sin(α+β)=.
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-×+×
===.故选B.
10.(2018·泉州市期末)若cos(α-β)=,cos 2α=,并且α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为(　C　)
(A) (B) (C) (D)
解析:由题意得,sin(α-β)=-(-<α-β<0).
sin 2α=,
所以cos(α+β)=cos [2α-(α-β)]=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)=×+×(-)=-.
因为α+β∈(0,π),所以α+β=.
11.已知cos(α-β)=-,sin(α+β)=-,<α-β<π,<α+β<2π,求β的值.
解:因为<α-β<π,cos(α-β)=-,
所以sin(α-β)=.
因为π<α+β<2π,sin(α+β)=-,
所以cos(α+β)=.
所以cos 2β=cos [(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=×(-)+(-)×=-1.
因为<α-β<π,π<α+β<2π,
所以<2β<,2β=π,
所以β=.
探究创新
12.已知△ABC中,sin(A+B)=,cos B=-,求cos A.
解:因为cos B=-,
所以B为钝角,且sin B=.
所以A+B为钝角.
因为sin(A+B)=,
所以cos(A+B)=-=-.
所以cos A=cos [(A+B)-B]
=cos(A+B)cos B+sin(A+B)sin B
=-×(-)+×=.