2022-2022学年高中数学课时跟踪训练25两角差的余弦公式新人教A版必修4.doc

课时跟踪训练(二十五)
(时间45分钟)
题型对点练(时间20分钟)
题组一　两角差的余弦公式的正用和逆用
1．cos27°cos57°－sin27°cos147°等于(　　)
A. B．－
C. D．－
[解析]　原式＝cos27°cos57°－sin27°cos(90°－57°)
＝cos27°·cos57°＋sin27°cos33°
＝cos27°cos57°＋sin27°sin57°
＝cos(57°－27°)＝cos30°＝.故选A.
[答案]　A
2．cos(－43°)cos17°＋sin43°sin(－17°)＝________.
[解析]　原式＝cos(－43°)cos17°＋sin(－43°)sin17°
＝cos(－43°－17°)＝cos(－60°)＝.
[答案]　
3．sin100°sin(－160°)＋cos200°cos(－280°)＝________.
[解析]　原式＝sin(180°－80°)sin(－180°＋20°)＋
cos(180°＋20°)cos(－360°＋80°)＝－sin80°sin20°－cos20°cos80°＝－cos(80°－20°)＝－cos60°＝－.
[答案]　－
题组二　给值求值问题
4．已知cosα＋cosβ＝，sinα＋sinβ＝，则cos(α－β)＝(　　)
A．－ B．－
C. D．1
[解析]　由cosα＋cosβ＝，sinα＋sinβ＝，两边平方相加得(cosα＋cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝2＋2＝1，
∴2＋2cosαcosβ＋2sinαsinβ＝1,2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝－1，cos(α－β)＝－.
[答案]　A
5．若cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β都是锐角，则cosβ的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
[解析]　∵β＝(α＋β)－α，又∵cosα＝，
cos(α＋β)＝－<0，α，β都是锐角，∴α＋β是钝角，
∴sinα＝，sin(α＋β)＝.
∵cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，
∴cosβ＝－×＋×＝
＝＝.
[答案]　B
6．已知sin＝，<α<，则cosα的值是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　∵<α<，∴<＋α<π.
∴cos＝－＝－.
∴cosα＝cos＝coscos＋
sin·sin＝－×＋×＝.
[答案]　A
题组三　给值求角问题
7．若x∈[0，π]，sinsin＝coscos，则x的值是(　　)
A. B. C. D.
[解析]　由已知得coscos－sinsin
＝cosx＝0.∵x∈[0，π]，∴x＝.
[答案]　D
8．已知α，β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，则α－β等于(　　)
A. B．－ C. D．－
[解析]　∵α、β均为锐角，∴sinα＝，sinβ＝，
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝×＋×＝，
又∵sinα<sinβ，∴0<α<β<，
∴－<α－β<0，
故α－β＝－.
[答案]　B
9．满足sinx＋cosx＝的角x的集合是________．
[解析]　sinx＋cosx＝cosxcos＋sinxsin
＝cos，∴cos＝，
∴x－＝＋2kπ或x－＝－＋2kπ，k∈Z，
∴x＝＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z.
即所求的角x的集合是
.
[答案]　
综合提升练(时间25分钟)
一、选择题
1．已知点A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，则||等于(　　)
A. B. C. D．1
[解析]　||＝
＝
＝＝ ＝1.
[答案]　D
2．已知sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)的值为(　　)
A. B. C. D．1
[解析]　∵sinα－sinβ＝1－，
∴sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝－.①
又∵cosα－cosβ＝，
∴cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝.②
∴①＋②得2cos(α－β)＝，
∴cos(α－β)＝，故选B.
[答案]　B
3．已知sinα＝，α∈，则cos等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
[解析]　由题意知cosα＝，
cos＝cos
＝cos＝cosα·cos＋sinα·sin＝.
[答案]　B
二、填空题
4．设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2cosA,2sinA)，b＝(3cosB,3sinB)，若a，b的夹角的弧度数为，则A－B＝________.
[解析]　cos＝
＝
＝cosAcosB＋sinAsinB＝cos(A－B)．
又－<A－B<，
∴A－B＝±.
[答案]　±
5．如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点，如果点A的纵坐标为，点B的横坐标为，则cos(α－β)＝________.
[解析]　由三角函数的定义可得，
sinα＝，cosβ＝，
∴cosα＝ ＝，sinβ＝.
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝×＋×＝.
[答案]　
三、解答题
6．若x∈，且sinx＝，求2cos＋2cosx的值．
[解]　∵x∈，sinx＝，
∴cosx＝－.
∴2cos＋2cosx
＝2＋2cosx
＝2＋2cosx
＝sinx＋cosx
＝－＝.
7．若sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求sin(α＋β)的值．
[解]　∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0，
又sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－
＝－＝.
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