黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2021_2021学年高一数学上学期期末试题含解析.doc

2015-2016学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高一（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．函数的定义域是（　　）
A．[2，3） B．（3，+∞） C．[2，3）∪（3，+∞） D．（2，3）∪（3，+∞）

2．函数的最小正周期是（　　）
A．4π B．2π C．π D．

3．已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣2=0}，若B⊆A，则a的值不可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3

4．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形中心角为（　　）
A． B． C． D．

5．已知函数f（x）=4+ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则定点P的坐标是（　　）
A．（4，0） B．（1，4） C．（0，4） D．（1，5）

6．要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

7．已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=（　　）
A． B． C． D．

8．已知f（x）=ax5+bx3+sinx﹣8且f（﹣2）=10，那么f（2）=（　　）
A．﹣26 B．26 C．﹣10 D．10

9．已知，则=（　　）
A． B．﹣8 C．4 D．8

10．已知△ABC和点M满足+=﹣，若存在实数m使得m+m=成立，则m等于（　　）
A． B．2 C． D．3

11．已知f（x）是以5为周期的奇函数，f（﹣3）=4且sinα=，则f（4cos2α）=（　　）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2

12．下列4个命题中正确命题的个数是（　　）
（1）第一象限角是锐角
（2）角α终边经过点（a，a）（a≠0）时，sinα+cosα=
（3）若y=sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω=
（4）若cos（α+β）=﹣1，则sin（2α+β）+sinβ=0．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知tanx=2，则=　　　　　　．

14．已知平面向量，且，则=　　　　　　．

15．关于函数f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列命题：
①y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；
②y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）；
③y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；
④y=f（x）的图象关于直线x=对称；
其中正确的序号为　　　　　　．

16．函数y=的单调递减区间为　　　　　　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知||=3，||=5，与的夹角为120°．
试求：（1）；
（2）；
（3）．

18．已知，0＜β＜，cos（+α）=﹣，sin（+β）=，求sin（α+β）的值．

19．已知f（α）=．
（1）化简f（α）；
（2）若角α终边上一点的坐标为（5a，12a），a≠0，求f（α）的值．

20．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最小值，并求取得最小值时x的值．

21．已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），=（，﹣1），其中x∈R．
（Ⅰ）当⊥时，求x值的集合；　　
（Ⅱ）求|﹣|的最大值及并给出对应的x值．

22．已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．

2015-2016学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．函数的定义域是（　　）
A．[2，3） B．（3，+∞） C．[2，3）∪（3，+∞） D．（2，3）∪（3，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题．
【分析】由函数解析式列出关于不等式组，求出它的解集就是所求函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则，解得x≥2且x≠3，
∴函数的定义域是[2，3）∪（3，+∞）．
故选C．
【点评】本题的考点是求函数的定义域，即根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，对数的真数大于零等等，列出不等式求出它们的解集的交集即可．

2．函数的最小正周期是（　　）
A．4π B．2π C．π D．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】直接利用三角函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式T=进行求解，求出函数的周期即可．
【解答】解：由三角函数的周期公式可知，
函数的最小正周期是=4π．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的周期公式的应用，熟练掌握三角函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式T=是解题的关键，属于基础题，是送分题．

3．已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣2=0}，若B⊆A，则a的值不可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；集合．
【分析】由B={x|ax﹣2=0}，且B⊆A，故讨论B的可能性，从而求a．
【解答】解：∵B={x|ax﹣2=0}，且B⊆A，
∴若B=∅，即a=0时，成立；
若B={1}，则a=2，成立；
若B={2}，则a=1，成立；
故a的值有0，1，2；
故不可能是3；
故选D．
【点评】本题考查了集合间包含关系的应用，属于基础题．

4．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形中心角为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】由扇形面积公式得θr=2π，θr2=3π，先解出r值，即可得到θ值．
【解答】解：设这个扇形中心角的弧度数是θ，半径等于r，则由题意得 θr=2π，θr2=3π，
解得 r=3，θ=．
故选：D．
【点评】本题考查扇形的面积公式，弧长公式的应用，得到θr=2π，θr2=3π，是解题的关键，属于基础题．

5．已知函数f（x）=4+ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则定点P的坐标是（　　）
A．（4，0） B．（1，4） C．（0，4） D．（1，5）
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据指数函数的性质，我们易得指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点A的坐标．
【解答】解：由指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点
而要得到函数y=4+ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象，
可将指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位．
则（0，1）点平移后得到（1，5）点．
点P的坐标是（1，5）．
故选D．
【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数y=4+ax﹣1（a＞0，a≠1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键．

6．要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），
∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，
故选：B
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

7．已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=（　　）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的正切．
【专题】计算题．
【分析】由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值．
【解答】解：由cosx=，x∈（﹣，0），
得到sinx=﹣，所以tanx=﹣，
则tan2x===﹣．
故选D
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x的范围判定其符合．

8．已知f（x）=ax5+bx3+sinx﹣8且f（﹣2）=10，那么f（2）=（　　）
A．﹣26 B．26 C．﹣10 D．10
【考点】正弦函数的奇偶性；函数奇偶性的性质；函数的值．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】观察f（x）的解析式可看出，函数y=ax5+bx3+sinx为奇函数，从而可以求出f（﹣2）+f（2），然后根据f（﹣2）=10便可得出f（2）的值．
【解答】解：根据f（x）解析式得：f（﹣2）+f（2）=﹣16；
又f（﹣2）=10；
∴f（2）=﹣26．
故选A．
【点评】考查奇函数的定义，知道奇函数满足f（﹣x）+f（x）=0，清楚本题中的f（x）不是奇函数．

9．已知，则=（　　）
A． B．﹣8 C．4 D．8
【考点】对数的运算性质；函数的值．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】直接利用否定函数求解函数值即可．
【解答】解：，
则=log3+=﹣2+6=4．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．

10．已知△ABC和点M满足+=﹣，若存在实数m使得m+m=成立，则m等于（　　）
A． B．2 C． D．3
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．
【分析】作出图象，由向量加法的平行四边形法则可知M是△ABC的重心，故，代入m+m=可解出m．
【解答】解：以MB，MC为邻边作平行四边形MBEC，连结ME交BC于D，如图．
则，∵+=﹣，
∴M在线段AD上，且|MA|=2|MD|，∵D是BC中点，
∴=2=3，
∵m+m=，
∴3m=，
∴m=．
故选C．

【点评】本题考查了平面向量加法的平行四边形法则，确定M的位置是关键．

11．已知f（x）是以5为周期的奇函数，f（﹣3）=4且sinα=，则f（4cos2α）=（　　）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】利用同角三角函数的基本关系式及函数的周期性求得答案．
【解答】解：∵sinα=，∴4cos2α=4（1﹣2sin2α）=4（1﹣2×）=﹣2．
又f（﹣3）=4，
∴f（4cos2α）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣f（2﹣5）=﹣f（﹣3）=﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．

12．下列4个命题中正确命题的个数是（　　）
（1）第一象限角是锐角
（2）角α终边经过点（a，a）（a≠0）时，sinα+cosα=
（3）若y=sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω=
（4）若cos（α+β）=﹣1，则sin（2α+β）+sinβ=0．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；三角函数的求值；简易逻辑．
【分析】（1）不正确，例如是第一象限角但是不是锐角；
（2）角α终边经过点（a，a）（a≠0）时，sinα+cosα=±，即可判断出正误；
（3）由y=sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω=±，即可判断出正误；
（4）若cos（α+β）=﹣1，则α+β=2kπ+π（k∈Z），α=2kπ+π﹣β，代入计算即可得出．
【解答】解：（1）第一象限角是锐角，不正确，例如是第一象限角但是不是锐角，因此不正确；
（2）角α终边经过点（a，a）（a≠0）时，sinα+cosα=±，因此不正确；
（3）若y=sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω=±，因此不正确；
（4）若cos（α+β）=﹣1，则α+β=2kπ+π（k∈Z），∴α=2kπ+π﹣β，∴sin（2α+β）+sinβ=sin（4kπ+2π﹣2β+β）+sinβ=﹣sinβ+sinβ=0，正确．
故选：B．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知tanx=2，则=　　．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得所给式子的值．
【解答】解：∵tanx=2，∴===，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．

14．已知平面向量，且，则=　（﹣4，﹣8）　．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．
【专题】计算题．
【分析】通过向量的平行，求出m，然后直接求解即可．
【解答】解：因为平面向量，且，
所以1×m﹣（﹣2）×2=0，m=﹣4，
所以=2（1，2）+3（﹣2，﹣4）=（﹣4，﹣8）．
故答案为：（﹣4，﹣8）．
【点评】本题考查向量的平行的充要条件，向量的加减法的基本运算，考查计算能力．

15．关于函数f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列命题：
①y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；
②y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）；
③y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；
④y=f（x）的图象关于直线x=对称；
其中正确的序号为　②③④　．
【考点】命题的真假判断与应用；正弦函数的图象；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】选项①可求得周期为π，选项②由诱导公式化简即可，选项③可求出所有的对称点，验证即可，选项④可求出所有的对称轴，验证即可．
【解答】解：由题意可得函数的最小正周期为=π，故选项①错误；
由诱导公式可得f（x）=4sin（2x+）=4cos[﹣（2x+））]
=4cos（）=4cos（2x﹣），故选项②正确；
由2x+=kπ，可得x=，k∈Z，当k=0时，x=，
故函数图象的一个对称点为（﹣，0），故选项③正确；
由2x+=kπ，可得x=，k∈Z，当k=﹣1时，x=，
故函数图象的一条对称轴为x=，故选项④正确．
故答案为：②③④
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及三角函数的图象和性质，属基础题．

16．函数y=的单调递减区间为　[]（k∈z）　．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】首先求出函数有意义的条件，进一步利用整体思想求单调递减区间．
【解答】解：y=有意义，
只需满足：，
即（k∈Z），
要求单调递减区间只需令：，
解得：（k∈Z），
所以递减区间为：[]（k∈Z）．
故答案为：[]（k∈Z）．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数有意义的条件，三角函数在有意义的情况下利用整体思想确定递减区间．属于基础题型．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知||=3，||=5，与的夹角为120°．
试求：（1）；
（2）；
（3）．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】（1）直接代入即可得出；
（2）=3×5×cos120°=﹣，再利用数量积运算性质即可得出=．
（3）利用数量积运算性质展开可得=．
【解答】解：（1）==32﹣52=﹣16；
（2）∵||=3，||=5，与的夹角为120°．
∴=3×5×cos120°=﹣，
∴===．
（3）===17．
【点评】本题考查了数量积的运算性质，考查了计算能力，属于中档题．

18．已知，0＜β＜，cos（+α）=﹣，sin（+β）=，求sin（α+β）的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题．
【分析】根据α、β的范围，确定+α、+β的范围，求出sin（+α）、cos（+β）的值，利用sin（α+β）=﹣sin[π+（α+β）]=﹣sin[（+α）+（+β）]，展开，然后求出它的值即可．
【解答】解：∵＜α＜，∴＜+α＜π．
又cos（+α）=﹣，∴sin（+α）=．
又∵0＜β＜，∴＜+β＜π．
又sin（+β）=，∴cos（+β）=﹣，
∴sin（α+β）=﹣sin[π+（α+β）]=﹣sin[（+α）+（+β）]
=﹣[sin（+α）cos（+β）+cos（+α）sin（+β）]
=﹣[×（﹣）﹣×]=．
所以sin（α+β）的值为：．
【点评】本题是基础题，考查三角函数值的求法，注意角的范围的确定，sin（α+β）=﹣sin[π+（α+β）]=﹣sin[（+α）+（+β）]是集合本题的根据，角的变换技巧，三角函数的化简求值中经常应用，注意学习和总结．

19．已知f（α）=．
（1）化简f（α）；
（2）若角α终边上一点的坐标为（5a，12a），a≠0，求f（α）的值．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】（1）f（α）利用诱导公式化简，约分即可得到结果；
（2）由角α终边上一点的坐标，利用任意角的三角函数定义求出cosα的值，即可确定出f（α）的值．
【解答】解：（1）f（α）==cosα；
（2）∵r==13|a|，
当a＞0时，cosα===，此时f（α）=cosα=；
当a＜0时，cosα==﹣=﹣，此时f（α）=cosα=﹣．
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

20．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最小值，并求取得最小值时x的值．
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法．
【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）化简函数f（x）为Asin（ωx+φ）+b的形式，求出最小正周期；
（2）由x∈求出2x﹣的取值范围，再计算f（x）的取值范围以及取最小值时x的值．
【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x
=sin2x﹣
=（sin2x﹣cos2x）﹣
=sin（2x﹣）﹣，…
由得，最小正周期T=π；…
（2）∵，∴，…
∴，…
∴…
当，即时，
f（x）=sin﹣=×（﹣）﹣=﹣1，取得最小值﹣1．…
【点评】本题考查了三角函数的化简与形如f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象与性质的应用问题，是基础题目．

21．已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），=（，﹣1），其中x∈R．
（Ⅰ）当⊥时，求x值的集合；　　
（Ⅱ）求|﹣|的最大值及并给出对应的x值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；函数思想；对应思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】（Ⅰ）根据向量垂直的条件以及向量的数量积德坐标运算，得到cos2x=0，根据余弦函数的性质即可求出答案；
（Ⅱ）先计算模的平方，再根据正弦函数的图象和性质即可求出最大值和取最大值时x的值．
【解答】解：（Ⅰ）由a⊥b，得a•b=0，即．
则cos2x=0，得．
∴为所求．
（Ⅱ）=，
∵﹣1≤sin（﹣）≤1，
∴1≤5+4sin（﹣）≤9，
∴|a﹣c|有最大值为3．
当sin（﹣）=1时，即﹣=2kπ+，k∈Z，取最大值，
解得x=kπ+π，k∈Z．
【点评】本题考查了向量的数量积德坐标运算以及三角函数的化简，和三角函数的图象和性质，属于中档题．

22．已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．
【考点】对数函数的值域与最值；对数函数的定义域；函数的零点．
【专题】综合题；配方法．
【分析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；
（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由f（x）=0，即﹣x2﹣2x+3=1，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；
（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值loga4，得loga4=﹣4利用对数的定义求出a的值．
【解答】解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：﹣3＜x＜1，
则函数的定义域为：（﹣3，1）
（2）函数可化为f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）
由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，
即x2+2x﹣2=0，
∵，∴函数f（x）的零点是
（3）函数可化为：
f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）=loga[﹣（x+1）2+4]
∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，
∵0＜a＜1，∴loga[﹣（x+1）2+4]≥loga4，
即f（x）min=loga4，由loga4=﹣4，得a﹣4=4，
∴
【点评】本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解．

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