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第一章 1.3中国古代数学中的算法案例
A级 基础巩固
一、选择题
1．在秦九韶算法中用到的一种方法是( B )
A．消元 B．递推
C．回代 D．迭代
[解析] 秦九韶算法中用到的是递推法．
2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为( C )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] (84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法．
3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为( D )
A．x3－(3x＋2)x－11
B．(x－3)x2＋(2x－11)
C．(x－1)(x－2)x－11
D．((x－3)x＋2)x－11
[解析] f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－11，故选D．
4．用“等值算法”可求得204与85的最大公约数是( B )
A．15 B．17
C．51 D．85
[解析] 204－85＝119,119－85＝34,85－34＝51,51－34＝17,34－17＝17，
∴204和85的最大公约数是17，故选B．
5．根据递推公式，其中k＝1,2，…，n，可得当k＝2时，v2的值为( B )
A．v2＝anx＋an－1
B．v2＝(anx＋an－1)x＋an－2
C．v2＝(anx＋an－1)x
D．v2＝anx＋an－1x
[解析] 根据秦九韶算法知，v2＝v1x＋an－2，v1＝anx＋an－1，故选B．
6．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( C )
A．7 B．12
C．17 D．34
[解析] 该题考查程序框图的运行及考生的识图能力．
由程序框图知，
第一次循环：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；
第二次循环：a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；
第三次循环：a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3.结束循环，输出s的值为17，故选C．
二、填空题
7．117与182的最大公约数等于__13__.
[解析] (117,182)→(117,65)→(52,65)→(52,13)→(39,13)→(26,13)→(13,13)，所以其最大公约数为13.
8．245与75两数的最小公倍数为__3_675__.
[解析] 先求245与75的最大公约数．(245,75)→(170,75)→(95,75)→(20,75)→(55,20)→ (35,20)→(15,20)→(5,15)→(10,5)→(5,5)．
故245与75的最大公约数为5，
∴245与75的最小公倍数为245×75÷5＝3 675.
三、解答题
9．利用更相减损之术求319和261的最大公约数.
[解析] 319－261＝58,261－58＝203,203－58＝145,145－58＝87,87－58＝29,58－29＝29.
即(319,261)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(58,29)→(29,29)．故319与261的最大公约数是29.
10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值.
[解析] f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，
所以v0＝7，
v1＝7×3＋6＝27，
v2＝27×3＋5＝86，
v3＝86×3＋4＝262，
v4＝262×3＋3＝789，
v5＝789×3＋2＝2 369，
v6＝2 369×3＋1＝7 108，
v7＝7 108×3＝21 324.
故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.
B级 素养提升
一、选择题
1．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为( B )
A．－57 B．220
C．－845 D．3 392
[解析] 由秦九韶算法，得
v0＝3，
v1＝3×(－4)＋5＝－7，
v2＝－7×(－4)＋6＝34，
v3＝34×(－4)＋79＝－57，
v4＝－57×(－4)－8＝220.
2．三个数390、455、546的最大公约数是( D )
A．65 B．91
C．26 D．13
[解析] 对于三个数求最大公约数时，先求其中两个数的最大公约数，再用此公约数与第三个数求出最大公约数，此时就是三个数的最大公约数.
3．已知f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f(－2)等于( A )
A．－ B．
C． D．－
[解析] ∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，
∴f(－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－＝－.
4．(2015·新课标Ⅱ理，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a、b分别为14、18，则输出的a＝( B )
A．0 B．2
C．4 D．14
[解析] 程序在执行过程中，a、b的值依次为a＝14，b＝18；b＝4；a＝10；a＝6；a＝2；b＝2，此时a＝b＝2程序结束，输出a的值为2，故选B．
二、填空题
5．4 830与3 289的最大公约数为__23__.
[解析] (4 830,3 289)→(1 541,3 289)→(1 541，1 748)→(1 541,207)→(1 334,207)→(1 127,207)→(920,207)→(713,207)→(506,207)→(299,207)→(92,207)→(92,115)→(92,23)→(69,23)→(46,23)→(23,23)．
6．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值的算法：
①第一步，x＝－2.
第二步，f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1.
第三步，输出f(x)．
②第一步，x＝－2.
第二步：f(x)＝((((7x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.
第三步，输出f(x)．
③需要计算5次乘法、5次加法．
④需要计算9次乘法、5次加法．
以上说法中正确的是__②③__(填序号)．
[解析] ①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错．对于一元n次多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故③正确．
三、解答题
7．求1 356和2 400的最小公倍数.
[解析] (1 356,2 400)→(1 356,1 044)→(312，1 044)→(312,732)→(312,420)→(312，108)→(204,108)→(96,108)→(96,12)→…→(12,12)．
∴1 356和2 400的最大公约数为12.
∴1 356和2 400的最小公倍数为(2 400×1 356)÷12＝271 200.
8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6在x＝－1时的值时，令v0＝a6，v1＝v0x＋a5，…，vt＝v5x＋a0，求v3的值.
[解析] f(x)＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋0.35)x＋2，v0＝1，v1＝v0x－5＝－6，v2＝v1x＋6＝－6×(－1)＋6＝12，v3＝v2x－3＝－15.
C级 能力拔高
1．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值.
[解析] 将f(x)写为：
f(x)＝x5＋0×x4＋0.11x3＋0×x2－0.15x－0.04.
由秦九韶算法的递推公式，得
v0＝1，
v1＝v0×0.3＋0＝0.3，
v2＝v1×0.3＋0.11＝0.2，
v3＝v2×0.3＋0＝0.06，
v4＝v3×0.3－0.15＝－0.132，
v5＝v4×0.3－0.04＝－0.079 6，
所以当x＝0.3时，多项式的值为－0.079 6.
2．有甲、乙、丙三种溶液，质量分别为147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，则每个小瓶最多装多少溶液？
[解析] 每个小瓶内溶液的质量应是147,343,133三种溶液质量的公约数，最大质量即是其最大公约数.
先求147和343的最大公约数．
343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49，
所以147和343的最大公约数是49.
再求49和133的最大公约数．
133－49＝84,84－49＝35,49－35＝14，
35－14＝21,21－14＝7,14－7＝7，所以49和133的最大公约数是7.
所以147、343、133的最大公约数是7，
即每个小瓶最多装7 g溶液．
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