资源描述
课时达标训练(二十二) 应用题
A 组——大题保分练
1.如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个
圆形保护区．规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆
心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意
一点的距离均不少于 80 m．经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处，
4
3
点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处(OC 为河岸)，tan∠BCO＝ .
(1)求新桥 BC 的长；
(2)当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
解：法一：(1)如图(1)，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，
建立平面直角坐标系 xOy.
由条件知 A(0，60)，C(170，0)，
直线 BC 的斜率 k
＝
BC
4
3
－tan∠BCO＝－
.
3
4
又因为 AB⊥BC，所以直线 AB 的斜率 k
设点 B 的坐标为(a，b)，
＝ .
AB
b－0
4
3
则 k
＝－ ，①
＝
BC a－170
b－60 3
＝
k ＝
4.②
AB
a－0
联立①②解得 a＝80，b＝120.
所以 BC＝ （170－80） ＋（0－120） ＝150.
2
2
因此新桥 BC 的长是 150 m.
(2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m，OM＝d m(0≤d≤60)．
4
3
由条件知，直线 BC 的方程为 y＝－
(x－170)，
即 4x＋3y－680＝0.
|3d－680| 680－3d
由于圆 M 与直线 BC 相切，故点 M(0，d)到直线 BC 的距离是 r，即 r＝
＝
.
5
42＋32
因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m，
ì
680－3d－d≥80，
ï
ì
ï － ≥80，
r d
í 5
所以í
即
ï
ï
r
80
680－3d
d
î
－（60－d）≥80.
5
解得 10≤d≤35.
680－3d
故当 d＝10 时，r＝
最大，即圆面积最大．
5
所以当 OM＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．
4
，所
法二：(1)如图(2)，延长OA，CB 交于点 F.因为 tan∠FCO＝3
4
5
.
因为 OA＝60，OC＝170，
680
3
OC
所以 OF＝OCtan∠FCO＝ ，CF＝
cos∠FCO
850
3
500.
3
＝
，从而 AF＝OF－OA＝
4
5
因为 OA⊥OC，所以 cos∠AFB＝sin∠FCO＝
.
400
3
又因为 AB⊥BC，所以 BF＝AFcos∠AFB＝
，
从而 BC＝CF－BF＝150.
因此新桥 BC 的长是 150 m.
(2)设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D，连接 MD，则 MD⊥BC，且 MD 是圆 M 的
半径，并设 MD＝r m，OM＝d m(0≤d≤60)．
因为 OA⊥OC，所以 sin∠CFO＝cos∠FCO.
MD
MF
MD
r
3
5
故由(1)知 sin∠CFO＝
＝
＝680 ＝ ，
OF－OM
－d
3
680－3d
所以 r＝
.
5
因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m，
ì
680－3d－d≥80，
ï
ì
ï － ≥80，
r d
í 5
所以í
即
ï
ï
î
60
80
680－3d
r－（ －d）≥ ， î
－（60－d）≥80.
5
解得 10≤d≤35.
680－3d
故当 d＝10 时，r＝
最大，即圆面积最大．
5
所以当 OM＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．
2．(2019·苏锡常镇一模 )某新建小区规划利用一块空地进行配套绿
化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB
的垂直平分线 OP 恰是该抛物线的对称轴(如图)．拟在这个空地上划出一
个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪，其中 A，B，C，D 均在该抛物线上．经
测量，直路 AB 长为 40 米，抛物线的顶点 P 到直路 AB 的距离为 40 米．设点 C 到抛物线的
对称轴的距离为 m 米，到直路 AB 的距离为 n 米．
(1)求出 n 关于 m 的函数关系式；
(2)当 m 为多大时，等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大？并求出其最大值．
解：(1)以路 AB 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，
则 A(－20，0)，B(20，0)，P(0，40)．
∵曲线段 APB 为抛物线的一段弧，
∴可以设抛物线的解析式为 y＝a(x－20)(x＋20)，
1
10
将 P(0，40)代入得 40＝－400a，解得 a＝－ ，
1
10
∴抛物线的解析式为 y＝
(400－x )．
2
1
10
∵点 C 在抛物线上，∴n＝
(400－m )，0<m<20.
2
(2)设等腰梯形 ABCD 的面积为 S，
则 S＝1
1
10
×(2m＋40)× (400－m )，
2
2
1
10
－20m ＋400m＋8 000)，
S＝ (－m
3
2
1
10
1
10
－40m＋400)＝－
S′＝ (－3m
(3m－20)(m＋20)，
2
20
3
令 S′＝0，得 m＝
.
20
3
，20
m
S′
S
3
＋
0
－
极大值
20
3
25 600
27
∴当 m＝ 时，等腰梯形 ABCD 的面积最大，最大值为
平方米．
(1)若该容器的底面半径为 6 米，求该容器的表面积；
(2)当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？
解：设圆锥形容器的底面半径为 r 米，高为 h 米，母线长为 l 米，侧面积为 S 平方米，
容积为 V 立方米，
则 V＝36π.
1
3
(1)由 r＝6，V＝ πr2h＝36π，得 h＝3，
所以 S＝πrl＝πr r ＋h ＝6π 6 ＋3 ＝18 5π.
2
2
2
2
易知该容器的底面积为πr ＝36π(平方米)，
2
所以该容器的表面积为 18 5π＋36π＝18(2＋ 5)π(平方米)．
答：该容器的表面积为 18(2＋ 5)π平方米．
3×36π
πh
1πr2h＝36π，所以 r2＝
＝
108
h
，其中 h>0.
(2)因为 V＝3
108 108
108
h2
2
2＋108h＝π 108
则 S＝πrl＝πr r ＋h ＝π r ＋r ＝π
＋
h2＝π
h
2 2
2
2
4
h2
h
108
＋h，
h2
－216
记 f(h)＝108＋h(h>0)，则 f′(h)＝－ ＋1＝h3
216
，令 f′(h)＝0，得 h＝6.
h2
h3
h3
当 h∈(0，6)时，f′(h)<0，f(h)在(0，6)上单调递减；
当 h∈(6，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)在(6，＋∞)上单调递增．
所以，当 h＝6 时，f(h)最小，此时 S 最小，最小值为 18 3π.
答：当容器的高为 6 米时，制造容器的侧面用料最省．
1
2
1
2
为 2 km，现准备修建一条通过该生态园区的直路AB，分别与直路l ，l2
1
交于点 A，B.
(1)当 AB 的中点为 P 时，求直路 AB 的长度；
(2)求△AOB 面积的最小值．
解：以直路 l 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点，建立如图所示的平
1
面直角坐标系．
因为直路 l
，l 相交成 45°角，所以直路 l 所在直线的方程为 x－y
1
2
2
＝0.
因为 P 到直路 l
的距离为 1 km，到直路 l 的距离为 2 km，所以可设 P(x ，1)(x >1)，
1
2
0
0
x －1
所以 0
＝ 2，解得 x0＝3，所以 P(3，1)．
2
(1)法一：设 B(a，a)，因为 P(3，1)是 AB 的中点，所以 A(6－a，2－a)．
由于 A 在 x 轴上，所以 2－a＝0，即 a＝2.
所以 A(4，0)，B(2，2)，AB＝ （4－2） ＋（0－2） ＝2 2.
2
2
所以直路 AB 的长度为 2 2 km.
法二：当直线 AB 的斜率不存在时，不满足题意，舍去．
当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的斜率为 k，由题意知 k>1 或 k<0，则直线 AB 的
1
æ
ö
方程为 y－1＝k(x－3)，即 kx－y－3k＋1＝0，所以 A
，0 .
3－k
è
ø
ì
ï
y＝x，
æ
ö
3k－1 3k－1
联立，得í
可得 Bç
，
÷
.
è k－1 k－1 ø
kx y
ï 3 1 0
k
î － － ＋ ＝ ，
由 P(3，1)是 AB 的中点，得3k－1＝2，解得 k＝－1，
k－1
所以 A(4，0)，B(2，2)，AB＝ （4－2） ＋（0－2） ＝2 2.
2
2
所以直路 AB 的长度为 2 2 km.
(2)设 B(a，a)(a>1)，
9
2
当 a＝3 时，A(3，0)，所以△AOB 的面积为
km .
2
当 a>1 且 a≠3 时，设直线 AB 的方程为 y－1＝a－1
a－3
，即
2a
(x－3)．令 y＝0，得 x＝
a－1
2a
æ
ö
，0
ç
÷，
A
è －1 ø
a
1 2a
1
1
所以 S
＝
＋2≥2
（a－1）×
＋2＝4，当且仅当a
×
×a＝(a－1)＋
△AOB 2
a－1
a－1
a－1
1
－1＝
，即 a＝2 时取等号．
a－1
又9
>4，所以△AOB 面积的最小值为 4 km .
2
2
B 组——大题增分练
1．(2019·扬州期末) 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划成休闲草
坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形 ABCD，其 中 AB＝3 百米，AD＝ 5
百米，且△BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路 AC，
æπ
ö
ø
BD(路的宽度忽略不计)，设∠BAD＝θ，θ∈
.
，π
è
2
5
5
(1)当 cos θ＝－ 时，求小路 AC 的长度；
(2)当草坪 ABCD 的面积最大时，求小路 BD 的长度．
＝AB ＋AD －2AB·ADcos ，得 BD ＝ －
θ
14 6 5cos θ
，
解：(1)在△ABD 中，由 BD2
2
2
2
5
5
又 cos ＝－ ，∴BD＝
θ
2 5.
æ
è
ö
ø
π
æ
5ö2 2
θ
sin θ＝ 1 cos θ
1－ －
∵ ∈ç
÷，∴
－
＝
＝
，π
5.
2
è
ø
5
2
在△ABD 中，由
＝
，得
＝
，解得 sin∠ADB＝3
BD
sin∠BAD sin∠ADB
AB
2 5
2
3
.
5
sin∠ADB
5
∵△BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，
π
∴∠CDB＝ 且 CD＝BD＝2 5，
2
æ
è
πö
÷＝－sin∠ADB＝－
3
5
∴cos∠ADC＝cosç
∠ADB＋
.
ø
2
3
æ ö
在△ACD中 ，AC ＝AD ＋DC －2AD·DCcos∠ADC＝( 5) ＋(2 5) －2× 5×2 5× －
2
2
2
2
2
è ø
5
＝37，
得 AC＝ 37，
5
5
所以当 cos ＝－ 时，小路 AC 的长度为
θ
37 百米．
＝14－6 5cos θ，
(2)由(1)得 BD2
1
1
2
3 5
2
＝S
＋S
＝
BD2＝7＋
×3× 5×sin
θ＋ ×
sin θ－3 5cos θ＝7＋
S
四边形 ABCD
△ABD
△BCD 2
3 5
2
15
2
2
1
，cos ＝ ，
φ
(sin θ－2cos θ)＝7＋ sin(θ－φ)，其中 sin φ＝
5
5
æ πö
且 φ∈ç
÷
.
0，
è
ø
2
π
π
1
2
当 θ－φ＝ ，即 θ＝φ＋ 时，四边形 ABCD 的面积最大，此时 sin ＝ ，cos θ
θ
＝－ ，
2
2
5
5
2
5ø
æ
ö
∴BD ＝14－6 5cos ＝ －
θ 14 6 5× －
＝26，
2
è
∴BD＝ 26，
∴当草坪 ABCD 的面积最大时，小路 BD 的长度为 26百米．
2．(2019·南京盐城二模)某公园内有一块以 O 为圆心、半径为 20 米
的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，
︵
在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形 OAB(劣弧AB所对的扇形)所在的区域，其中点 A，
B 均在圆 O 上，观众席为梯形 ABQP 以内、圆 O 以外的区域，其中 AP＝AB＝BQ，∠PAB＝
2π
∠QBA＝ ，且 AB，PQ 在点 O 的同侧．为保证视听效果，要求观众席内的每一位观众到
3
æ πö
舞台 O 处的距离都不超过 60 米(即要求 PO≤60)．设∠OAB＝α，α∈ 0， .问：对于任意
è
ø
3
的 α，上述设计方案是否均能符合要求？
解：过点 O 作 OH 垂直于 AB，垂足为 H.
在直角三角形 OHA 中，OA＝20，∠OAH＝α，
所以 AH＝20cos α，因此 AB＝2AH＝40cos α，
所以 AB＝AP＝BQ＝40cos α.
由题图可知，观众席内点 P，Q 处的观众离点 O 处最远．
连接 OP，在△OAP 中，由余弦定理可知，
æ
è
ö
÷
ø
2π
＝OA ＋AP －2OA·AP·cosç
OP2
2
2
α＋
3
æ 1
3
2
ö
ø
＝400＋(40cos α) －2×20×40cos α· －
cos α－ sin α
2
è
2
＝400(6cos2α＋2 3sin αcos α＋1)
＝400(3cos 2α＋ 3sin 2α＋4)
æ
è
πö
÷＋1 600.
＝800 3sinç
2α＋
ø
3
π
π
æ πö
因为 α∈ç
÷，所以当 2α＝ ，即 α＝ 时，OP 取得最大值，(OP
) ＝800 3＋1 600，
2 2
0，
è
ø
6
12
3
max
即(OP)max＝20 3＋20.
同理，连接 OQ，在△OBQ 中，(OQ)max＝20 3＋20.
因为 20 3＋20<60，所以观众席内的每一位观众到舞台O 处的距离都不超过 60 米．
故对于任意的 α，上述设计方案均能符合要求．
3．(2019·无锡期末)我国坚持精准扶贫，确保至 2020 年农村贫困人口实现脱贫．现有扶
贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100 家，他们均从
事水果种植工作，2017 年底该村平均每户年纯收入为 1 万元，扶贫工作组一方面请有关专家
对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人
数必须小于种植的人数．从 2018 年初开始，若该村抽出 5x 户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、
x
20
销售工作．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高 ，而从事包
1
4
æ
ö
装、销售农户的年纯收入每户平均为 3－ x 万元．(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，
è
ø
1.2 ＝1.728)
3
(1)至 2020 年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于 1.6 万)，
则至少应抽出多少户从事包装、销售工作？
(2)至 2018 年底，该村每户年均纯收入能否达到 1.35 万元？若能，请求出从事包装、销
售工作的户数；若不能，请说明理由．
æ
x ö
3
解：
(1)由题意得 1× 1＋
x x
≥1.6，∵5 ＜100－5 ，
è
ø
20
∴x∈Z，1≤x＜10.
æ
x ö
函数 y＝
3在 x∈[1，9]上单调递增，
1＋
è
ø
20
由数据知，1.15 ≈1.521<1.6，1.2 ＝1.728>1.6，
3
3
x
20
所以
≥0.2，得 x≥4，则 5x≥20.
答：至少抽出 20 户从事包装、销售工作．
1
100
(2) 假 设 该 村 每 户 年 均 纯 收 入 能 达 到 1.35 万 元 ， 由 题 意 得 ， 不 等 式
1
4
x
20
é æ
ö æ
ö
ù
（100－5x） ≥1.35 有正整数解，
5x 3－ ＋ 1＋
x
ë è
ø è
ø
û
化简整理得 3x －30x＋70≤0，
2
15≤x－5≤ 15.
所以－
3
3
因为 3< 15<4，且 x∈Z，所以－1≤x－5≤1，即 4≤x≤6.
答：至 2018 年底，该村每户年均纯收入能达到 1.35 万元，此时从事包装、销售工作的
农户数为 20 户，25 户或 30 户．
4．(2019·苏州期末)如图，长途车站 P 与地铁站 O 的直线距离为 5 千米，从地铁站 O
4
1
2
1
2
1
1æ
2
πö
ø
2
足 tan θ＝ 其中0<θ< .现要经过 P 修一条直路分别与道路 l ，l 交于
è
1
2
点 A，B，并分别在 A，B 处设立公共自行车停放点．
(1)已知修建道路 PA，PB 的价格分别为 2m 元/千米和 m 元/千米，若两段道路的总造价相
等，求此时点 A，B 之间的距离；
(2)考虑环境因素，需要对OA，OB 段道路进行翻修，OA，OB 段的翻修价格分别为 n 元
/千米和 2 2n 元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A，B 点的位置．
解：(1)以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴建立平面直角坐标系，
π
1
2
因为 0<θ< ，tan ＝ ，
θ
2
所以直线 OP 的方程为 y＝1
x，
2
设 P(2t，t)，由 OP＝ 5，得 t＝1，所以 P(2，1)．
法一：由题意得 2m·PA＝m·PB，所以 PB＝2PA，所以 B 点的纵坐标为 3，
又点 B 在直线 y＝x 上，所以 B(3，3)，
所以 AB＝3
PB＝
3 5.
2
2
―→ ―→
＝2 PA
法二：由题意得 2m·PA＝m·PB，所以 BP
.
设 A(a，0)(a>0)，又点 B 在射线 y＝x(x>0) 上，所以可设 B(b，b)(b>0)，
3
2
ì
ì
，
ï2－b＝2（a－2），
a
ï ＝
―→ ―→
由 BP ＝2 PA ，得í 所以í
ï1
î － ＝－ ，
2
ï
b
î ＝3，
b
3
2
3 2
ø
2
3 5
2
æ
ö
æ
è
ö
所以 A ，0 ，B(3，3)，AB＝
＋3 ＝
2
3－
.
è
ø
3 5
2
答：A，B 之间的距离为
千米．
(2)法一：设两段道路的翻修总价为 S，则 S＝n·OA＋2 2n·OB＝(OA＋2 2OB)·n，
设 y＝OA＋2 2OB，要使 S 最小，需 y 最小．
当 AB⊥x 轴时，A(2，0)，这时 OA＝2，OB＝2 2，
所以 y＝OA＋2 2OB＝2＋8＝10.
当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－2)＋1(k≠0 且 k≠1)．
1
1
令 y＝0，得点 A 的横坐标为 2－ ，所以 OA＝2－ ，
k
k
令 x＝y，得点 B 的横坐标为2k－1
k－1
，
2k－1
因为 2－1
k>0 且
>0，所以 k<0 或 k>1，
k－1
此时 y＝OA＋2 2OB＝2－ ＋4（2k－1），
1
k
k－1
－4
1）2
－（k＋1）（3k－1）
k2（k－1）2
y′＝1
＋
＝
，
k2 （k－
当 k<0 时，y 在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，
3 3
æ
ö
所以 ymin＝y|k＝－1＝9<10，此时 A(3，0)，B
， ；
è
ø
2 2
8（k－1）＋4＝10＋
－ ＝10＋
3k＋1
1
4
1
当 k>1 时，y＝2－ ＋
>10.
k
k－1
k－1 k
1
k（k－ ）
综上所述，要使 OA，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距 O 点 3 千米处，B 位于距 O
3 2
点
千米处．
2
π
交 OA 于点 N，因为P(2，1)，所以OQ＝1，又∠BOQ＝ ，所以QM＝1，
4
OM＝ 2，所以 PM＝1，PN＝OM＝ 2，
2 PA
1
PB
OB AB OA AB
由 PM∥OA，PN∥OB，得 ＝ ， ＝ ，
2
1
PA PB
所以 ＋ ＝ ＋ ＝1，
OB OA AB AB
设两段道路的翻修总价为 S，则 S＝n·OA＋2 2n·OB＝(OA＋2 2OB)·n，
设 y＝OA＋2 2OB，要使 S 最小，需 y 最小．
æ 2＋ 1 ö
OB OA
OA 2OBö
æ
ø＝5＋ 2 OB OA
＋
y＝OA＋2 2OB＝(OA＋2 2OB)è
ø≥9，
è
3 2
2
当且仅当 OA＝ 2OB 时取等号，此时 OA＝3，OB＝
.
3 2
2
答：要使OA，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距 O 点 3 千米处，B 位于距 O 点
千米处．
设 y＝OA＋2 2OB，要使 S 最小，需 y 最小．
当 AB⊥x 轴时，A(2，0)，这时 OA＝2，OB＝2 2，
所以 y＝OA＋2 2OB＝2＋8＝10.
当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－2)＋1(k≠0 且 k≠1)．
1
1
令 y＝0，得点 A 的横坐标为 2－ ，所以 OA＝2－ ，
k
k
令 x＝y，得点 B 的横坐标为2k－1
k－1
，
2k－1
因为 2－1
k>0 且
>0，所以 k<0 或 k>1，
k－1
此时 y＝OA＋2 2OB＝2－ ＋4（2k－1），
1
k
k－1
－4
1）2
－（k＋1）（3k－1）
k2（k－1）2
y′＝1
＋
＝
，
k2 （k－
当 k<0 时，y 在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，
3 3
æ
ö
所以 ymin＝y|k＝－1＝9<10，此时 A(3，0)，B
， ；
è
ø
2 2
8（k－1）＋4＝10＋
－ ＝10＋
3k＋1
1
4
1
当 k>1 时，y＝2－ ＋
>10.
k
k－1
k－1 k
1
k（k－ ）
综上所述，要使 OA，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距 O 点 3 千米处，B 位于距 O
3 2
点
千米处．
2
π
交 OA 于点 N，因为P(2，1)，所以OQ＝1，又∠BOQ＝ ，所以QM＝1，
4
OM＝ 2，所以 PM＝1，PN＝OM＝ 2，
2 PA
1
PB
OB AB OA AB
由 PM∥OA，PN∥OB，得 ＝ ， ＝ ，
2
1
PA PB
所以 ＋ ＝ ＋ ＝1，
OB OA AB AB
设两段道路的翻修总价为 S，则 S＝n·OA＋2 2n·OB＝(OA＋2 2OB)·n，
设 y＝OA＋2 2OB，要使 S 最小，需 y 最小．
æ 2＋ 1 ö
OB OA
OA 2OBö
æ
ø＝5＋ 2 OB OA
＋
y＝OA＋2 2OB＝(OA＋2 2OB)è
ø≥9，
è
3 2
2
当且仅当 OA＝ 2OB 时取等号，此时 OA＝3，OB＝
.
3 2
2
答：要使OA，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距 O 点 3 千米处，B 位于距 O 点
千米处．
设 y＝OA＋2 2OB，要使 S 最小，需 y 最小．
当 AB⊥x 轴时，A(2，0)，这时 OA＝2，OB＝2 2，
所以 y＝OA＋2 2OB＝2＋8＝10.
当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－2)＋1(k≠0 且 k≠1)．
1
1
令 y＝0，得点 A 的横坐标为 2－ ，所以 OA＝2－ ，
k
k
令 x＝y，得点 B 的横坐标为2k－1
k－1
，
2k－1
因为 2－1
k>0 且
>0，所以 k<0 或 k>1，
k－1
此时 y＝OA＋2 2OB＝2－ ＋4（2k－1），
1
k
k－1
－4
1）2
－（k＋1）（3k－1）
k2（k－1）2
y′＝1
＋
＝
，
k2 （k－
当 k<0 时，y 在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，
3 3
æ
ö
所以 ymin＝y|k＝－1＝9<10，此时 A(3，0)，B
， ；
è
ø
2 2
8（k－1）＋4＝10＋
－ ＝10＋
3k＋1
1
4
1
当 k>1 时，y＝2－ ＋
>10.
k
k－1
k－1 k
1
k（k－ ）
综上所述，要使 OA，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距 O 点 3 千米处，B 位于距 O
3 2
点
千米处．
2
π
交 OA 于点 N，因为P(2，1)，所以OQ＝1，又∠BOQ＝ ，所以QM＝1，
4
OM＝ 2，所以 PM＝1，PN＝OM＝ 2，
2 PA
1
PB
OB AB OA AB
由 PM∥OA，PN∥OB，得 ＝ ， ＝ ，
2
1
PA PB
所以 ＋ ＝ ＋ ＝1，
OB OA AB AB
设两段道路的翻修总价为 S，则 S＝n·OA＋2 2n·OB＝(OA＋2 2OB)·n，
设 y＝OA＋2 2OB，要使 S 最小，需 y 最小．
æ 2＋ 1 ö
OB OA
OA 2OBö
æ
ø＝5＋ 2 OB OA
＋
y＝OA＋2 2OB＝(OA＋2 2OB)è
ø≥9，
è
3 2
2
当且仅当 OA＝ 2OB 时取等号，此时 OA＝3，OB＝
.
3 2
2
答：要使OA，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距 O 点 3 千米处，B 位于距 O 点
千米处．
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