资源描述
数与式——因式分解2
一．选择题〔共9小题〕
1．假设把多项式x2+px+q分解因式可以分解成〔x﹣3〕〔x+5〕，那么p的值是〔 〕
A．2 B．﹣2 C．15 D．﹣15
2．以下各式中，能用完全平方公式分解因式的是〔 〕
A．16x2+1 B．x2+2x﹣1 C．a2+2ab+4b2 D．，
3．把代数式ab2﹣6ab+9a分解因式，以下结果中正确的选项是〔 〕
A．a〔b+3〕2 B．a〔b+3〕〔b﹣3〕 C．a〔b﹣4〕2 D．a〔b﹣3〕2
4．以下分解因式正确的选项是〔 〕
A．3x2﹣6x=x〔3x﹣6〕 B．﹣a2+b2=〔b+a〕〔b﹣a〕
C．4x2﹣y2=〔4x+y〕〔4x﹣y〕 D．4x2﹣2xy+y2=〔2x﹣y〕2
5．把a3﹣9a分解因式，结果正确的选项是〔 〕
A．a〔a+3〕〔a﹣3〕 B．a〔a2﹣9〕 C．a〔a﹣3〕2 D．a〔a+3〕2
6．a、b是实数，x=a2+b2+20，y=4〔2b﹣a〕．那么x、y的大小关系是〔 〕
A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．x＞y
7．化简：，结果是〔 〕
A． B． C． D．
8．a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，那么△ABC的形状是〔 〕
A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
9．分解因式〔x﹣1〕2﹣2〔x﹣1〕+1的结果是〔 〕
A．〔x﹣1〕〔x﹣2〕 B．x2 C．〔x+1〕2 D．〔x﹣2〕2
二．填空题〔共7小题〕
10．因式分解：x2﹣1= _________ ．
11．分解因式：〔2a+1〕2﹣a2= _________ ．
12．当a=9时，代数式a2+2a+1的值为 _________ ．
13．分解因式：9a2﹣30a+25= _________ ．
14．假设x2﹣9=〔x﹣3〕〔x+a〕，那么a= _________ ．
15．分解因式：a3﹣4a2+4a= _________ ．
16．分解因式：a2b﹣b3= _________ ．
三．解答题〔共7小题〕
17．分解因式：﹣x3+2x2﹣x．
18．a、b、c是△ABC的三边且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，请判断△ABC的形状．
19．分解因式：2x3y﹣2xy3．
20．给出三个单项式：a2，b2，2ab．
〔1〕在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；
〔2〕当a=2022，b=2022时，求代数式a2+b2﹣2ab的值．
21．求多项式的和，并把结果因式分解．
22．：a+b=3，ab=2，求以下各式的值：
〔1〕a2b+ab2〔2〕a2+b2
23．给定一列代数式：a3b2，ab4，a4b3，a2b5，a5b4，a3b6，…．
〔1〕分解因式：ab4﹣a3b2；
〔2〕根据你发现的规律，试写出给定的那列代数式中的第100个代数式．
数与式——因式分解2
参考答案与试题解析
一．选择题〔共9小题〕
1．假设把多项式x2+px+q分解因式可以分解成〔x﹣3〕〔x+5〕，那么p的值是〔 〕
A． 2 B．﹣2 C．15 D． ﹣15
考点： 因式分解的意义．
专题： 计算题．
分析： 根据多项式乘多项式法那么计算〔x﹣3〕〔x+5〕，根据多项式相等的条件即可求出p的值．
解答： 解：∵x2+px+q=〔x﹣3〕〔x+5〕=x2+2x﹣15，
∴p=2，q=﹣15．
应选A
点评： 此题考查了因式分解的意义，熟练掌握多项式乘多项式法那么是解此题的关键．
2．以下各式中，能用完全平方公式分解因式的是〔 〕
A． 16x2+1 B．x2+2x﹣1 C．a2+2ab+4b2 D． ，
考点： 因式分解-运用公式法．
分析： 根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数〔或式〕的平方和的形式，另一项为哪一项这两个数〔或式〕的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、16x2+1只有两项，不符合完全平方公式；
B、x2+2x﹣1其中有两项x2、﹣1不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
C、a2+2ab+4b2另一项不是a、2b的积的2倍，不符合完全平方公式；
D、符合完全平方公式．
应选D．
点评： 此题主要考查了完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：a2±2ab+b2=〔a±b〕2；
3．把代数式ab2﹣6ab+9a分解因式，以下结果中正确的选项是〔 〕
A． a〔b+3〕2 B．a〔b+3〕〔b﹣3〕 C．a〔b﹣4〕2 D． a〔b﹣3〕2
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=〔a﹣b〕2．
解答： 解：ab2﹣6ab+9a，
=a〔b2﹣6b+9〕，
=a〔b﹣3〕2．
应选D．
点评： 此题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
4．以下分解因式正确的选项是〔 〕
A． 3x2﹣6x=x〔3x﹣6〕 B． ﹣a2+b2=〔b+a〕〔b﹣a〕
C． 4x2﹣y2=〔4x+y〕〔4x﹣y〕 D． 4x2﹣2xy+y2=〔2x﹣y〕2
考点： 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
专题： 计算题．
分析： 根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、3x2﹣6x=3x〔x﹣2〕，故本选项错误；
B、﹣a2+b2=〔b+a〕〔b﹣a〕，故本选项正确；
C、4x2﹣y2=〔2x+y〕〔2x﹣y〕，故本选项错误；
D、4x2﹣2xy+y2不能分解因式，故本选项错误．
应选B．
点评： 此题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．
5．把a3﹣9a分解因式，结果正确的选项是〔 〕
A． a〔a+3〕〔a﹣3〕 B．a〔a2﹣9〕 C．a〔a﹣3〕2 D． a〔a+3〕2
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答： 解：a3﹣9a
=a〔a2﹣9〕
=a〔a+3〕〔a﹣3〕．
应选A．
点评： 此题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
6．a、b是实数，x=a2+b2+20，y=4〔2b﹣a〕．那么x、y的大小关系是〔 〕
A． x≤y B．x≥y C．x＜y D． x＞y
考点： 因式分解的应用．
专题： 因式分解．
分析： 判断x、y的大小关系，把x﹣y进行整理，判断结果的符号可得x、y的大小关系．
解答： 解：x﹣y=a2+b2+20﹣8b+4a=〔a+2〕2+〔b﹣4〕2，
∵〔a+2〕2≥0，〔b﹣4〕2≥0，
∴x﹣y≥0，
∴x≥y，
应选B．
点评： 考查比较式子的大小；通常是让两个式子相减，假设为正数，那么被减数大；反之减数大．
7．化简：，结果是〔 〕
A． B． C． D．
考点： 因式分解的应用．
专题： 计算题．
分析： 将所求式子的分子分母前两项提取20222，整理后分子提取2022，分母提取2022，约分后即可得到结果．
解答： 解：原式=
=
=
=．
应选A．
点评： 此题考查了因式分解的应用，是一道技巧性较强的题，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键．
8．a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，那么△ABC的形状是〔 〕
A． 等腰三角形 B． 直角三角形C． 等腰三角形或直角三角形 D． 等腰直角三角形
考点： 因式分解的应用．
专题： 压轴题；因式分解．
分析： 把所给的等式a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
解答： 解：∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，
∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2=0，
〔a3﹣a2b〕+〔ab2﹣b3〕﹣〔ac2﹣bc2〕=0，
a2〔a﹣b〕+b2〔a﹣b〕﹣c2〔a﹣b〕=0，
〔a﹣b〕〔a2+b2﹣c2〕=0，
所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0．
所以a=b或a2+b2=c2．
故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
应选C．
点评： 此题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键．
9．分解因式〔x﹣1〕2﹣2〔x﹣1〕+1的结果是〔 〕
A． 〔x﹣1〕〔x﹣2〕 B．x2 C．〔x+1〕2 D． 〔x﹣2〕2
考点： 因式分解-运用公式法．
分析： 首先把x﹣1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可．
解答： 解：〔x﹣1〕2﹣2〔x﹣1〕+1=〔x﹣1﹣1〕2=〔x﹣2〕2．
应选：D．
点评： 此题主要考查了因式分解﹣运用公式法，关键是熟练掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=〔a±b〕2．
二．填空题〔共7小题〕
10．因式分解：x2﹣1= 〔x+1〕〔x﹣1〕 ．
考点： 因式分解-运用公式法．
专题： 因式分解．
分析： 方程利用平方差公式分解即可．
解答： 解：原式=〔x+1〕〔x﹣1〕．
故答案为：〔x+1〕〔x﹣1〕．
点评： 此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
11．分解因式：〔2a+1〕2﹣a2= 〔3a+1〕〔a+1〕 ．
考点： 因式分解-运用公式法．
专题： 因式分解．
分析： 直接利用平方差公式进行分解即可．
解答： 解：原式=〔2a+1+a〕〔2a+1﹣a〕=〔3a+1〕〔a+1〕，
故答案为：〔3a+1〕〔a+1〕．
点评： 此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕．
12．当a=9时，代数式a2+2a+1的值为 100 ．
考点： 因式分解-运用公式法；代数式求值．
专题： 计算题．
分析： 直接利用完全平方公式分解因式进而将代入求出即可．
解答： 解：∵a2+2a+1=〔a+1〕2，
∴当a=9时，原式=〔9+1〕2=100．
故答案为：100．
点评： 此题主要考查了因式分解法以及代数式求值，正确分解因式是解题关键．
13．分解因式：9a2﹣30a+25= 〔3a﹣5〕2．
考点： 因式分解-运用公式法．
专题： 计算题．
分析： 原式利用完全平方公式分解即可．
解答： 解：原式=〔3a〕2﹣2×3a×5+52=〔3a﹣5〕2．
故答案为：〔3a﹣5〕2
点评： 此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
14．假设x2﹣9=〔x﹣3〕〔x+a〕，那么a= 3 ．
考点： 因式分解-运用公式法．
专题： 计算题．
分析： 直接利用平方差公式进行分解得出即可．
解答： 解：∵x2﹣9=〔x+3〕〔x﹣3〕=〔x﹣3〕〔x+a〕，
∴a=3．
故答案为：3．
点评： 此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
15．分解因式：a3﹣4a2+4a= a〔a﹣2〕2．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 因式分解．
分析： 观察原式a3﹣4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得．
解答： 解：a3﹣4a2+4a，
=a〔a2﹣4a+4〕，
=a〔a﹣2〕2．
故答案为：a〔a﹣2〕2．
点评： 此题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法〔完全平方公式〕．要求灵活运用各种方法进行因式分解．
16．分解因式：a2b﹣b3= b〔a+b〕〔a﹣b〕 ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解．平方差公式：a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕．
解答： 解：a2b﹣b3，
=b〔a2﹣b2〕，〔提取公因式〕
=b〔a+b〕〔a﹣b〕．〔平方差公式〕
故答案为：b〔a+b〕〔a﹣b〕．
点评： 此题考查提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解因式要彻底．
三．解答题〔共7小题〕
17．分解因式：﹣x3+2x2﹣x．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式﹣x，再根据完全平方公式进行二次分解即可．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=〔a﹣b〕2．
解答： 解：﹣x3+2x2﹣x，
=﹣x〔x2﹣2x+1〕，
=﹣x〔x﹣1〕2．
点评： 此题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
18．a、b、c是△ABC的三边且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，请判断△ABC的形状．
考点： 因式分解的应用．
分析： 由a、b、c是△ABC的三边可知，三边都大于0，解其方程得到a=b，从而知道三角形一定是等腰三角形．
解答： 解：a2﹣b2+ac﹣bc=0，
由平方差公式得：
〔a+b〕〔a﹣b〕+c〔a﹣b〕=0，
〔a﹣b〕〔a+b+c〕=0，
∵a、b、c三边是三角形的边，
∴a、b、c都大于0，
∴本方程解为a=b，
∴△ABC一定是等腰三角形．
点评： 此题考查了因式分解的应用，利用三角形三边都大于0这一条件，解其方程而判定为等腰三角形．
19．分解因式：2x3y﹣2xy3．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式2xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答： 解：2x3y﹣2xy3，
=2xy〔x2﹣y2〕，
=2xy〔x+y〕〔x﹣y〕．
点评： 此题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
20．给出三个单项式：a2，b2，2ab．
〔1〕在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；
〔2〕当a=2022，b=2022时，求代数式a2+b2﹣2ab的值．
考点： 因式分解-提公因式法；整式的加减—化简求值．
专题： 开放型．
分析： 此题要灵活运用整式的加减运算、平方差公式和完全平方公式．
解答： 解：〔1〕a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕，
b2﹣a2=〔b+a〕〔b﹣a〕，
a2﹣2ab=a〔a﹣2b〕，
2ab﹣a2=a〔2b﹣a〕，
b2﹣2ab+b〔b﹣2a〕，
2ab﹣b2=b〔2a﹣b〕；
〔写对任何一个式子给五分〕
〔2〕a2+b2﹣2ab=〔a﹣b〕2，
当a=2022，b=2022时，原式=〔a﹣b〕2=〔2022﹣2022〕2=1．
点评： 此题考查了提公因式法，平方差公式，完全平方公式分解因式，关键是熟记并会灵活运用，注意结果能进行因式分解．
21．求多项式的和，并把结果因式分解．
考点： 因式分解-运用公式法；整式的加减．
分析： 可以先相加，然后合并同类项，再利用平方差公式进行因式分解．
解答： 解：x2+2x﹣2+x2﹣2x+1
=〔+〕x2+〔2﹣2〕x+〔﹣2+1〕
=x2﹣1
=〔x+1〕〔x﹣1〕．
点评： 此题考查整式的加减，公式法分解因式，对于因式分解有公因式的一定先提公因式，没有公因式的再考虑用平方差公式或完全平方公式等．
22．：a+b=3，ab=2，求以下各式的值：
〔1〕a2b+ab2〔2〕a2+b2
考点： 因式分解-提公因式法；完全平方公式．
专题： 计算题．
分析： 〔1〕把代数式提取公因式ab后把a+b=3，ab=2整体代入求解；
〔2〕利用完全平方公式把代数式化为的形式求解．
解答： 解：〔1〕a2b+ab2=ab〔a+b〕=2×3=6；
〔2〕∵〔a+b〕2=a2+2ab+b2
∴a2+b2=〔a+b〕2﹣2ab，
=32﹣2×2，
=5．
点评： 此题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，关键是将原式整理成条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将a+b=3，ab=2整体代入解答．
23．给定一列代数式：a3b2，ab4，a4b3，a2b5，a5b4，a3b6，…．
〔1〕分解因式：ab4﹣a3b2；
〔2〕根据你发现的规律，试写出给定的那列代数式中的第100个代数式．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 规律型．
分析： 〔1〕先提取公因式ab2，再根据平方差公式进行二次分解；
〔2〕观察归纳，即可求得：那列代数式中的第100个代数式为a50b53．
解答： 解：〔1〕ab4﹣a3b2=ab2〔b+a〕〔b﹣a〕；〔3分〕〔未分解彻底扣1分〕
〔2〕a50b53〔3分〕〔假设a或b的指数只写对一个，可得1分〕．
点评： 此题考查了提公因式法，公式法分解因式与规律的知识．解题的关键时注意仔细观察，找到规律．还要注意分解要彻底．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
