鲁教版初中数学知识梳理.doc

初中数学知识—（代数部分）
目录：一、数及运算。二、代数式。三、方程。四、不等式。五、函数一、数及运算
1—1数新扩充
初中一开始引入《负数》概念，数范围由零和正数（正整数和正分数），扩充到《有理数》，以后再引入《无理数》概念，数范围由有理数，扩充《实数》（七册上）。最终一次引入《虚数》概念。数范围由实数扩充《复数》。这是高中学习内容。
1—2实数运算
实数有六则运算：加、减、乘、除、乘方、开方。其中减法运算法则，减
去一个数等于加上这个数相反数，这么加、减法看做同一个运算，它们满足：结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）交换律： a＋b＝b＋a
又除法法则，除以一个数等于乘以这个数倒数，这么把乘、除看做同一个运算。它们满足：
结合律： （a·b）·c＝a·（b·c）
交换律： a·b＝b·a
分配律： a·（b＋c）＝a·b＋a·c
又有分数指数意义，
n
m
a
＝
n
m
a
(
α≥
0
，
m
＞
0
,n
＞
0)
。这么乘方、开方又
统一起来。

对于乘方运算，要熟练了解和掌握以下概念：乘方，幂，底数，指数（第六册上）。求n个相同因数a积运算叫做乘方。乘方结果叫做幂。an 叫幂，a叫底
数。N叫指数
6474n 484
a´a´×××´a=an
开方概念：假如x n＝α(n＞1 是正整数)，已知α和指数n，求底数 x 运
算叫开方。开方运算结果叫方根。X叫做an次方根。记坐n a。
方根性质：
①奇次方根：正数奇次方根是正数。 3 27 =3。负数奇次方根是负数。
3 -27 =-3。零奇次方根是零 30 =0。
②偶次方根：正数偶次方根是两个互为相反数。x2 =16则x=±4 16 =±2。
负数偶次方根无意义。零偶次方根还是零。
③算术根：正数正方根叫做算术跟。na，（af0×nf1整数）。零算术根是零。开平方（七册上）和平方根概念要熟记，一个整数a有两个平方根，记作±a，
其中＋a叫做算数平方根。0平方根是0，负数没有平方根。开立方，正数
立方根是正数，0立方根是0，负数立方根是负数。
1—3数轴和绝对值（六册上）
数轴是有原点、长度单位、方向直线。任何实数都能够用数轴上点来表示。在数轴上比较两个实数大小，右边点表示数，比左边点表示数大。
每一个实数都能够用数轴上一个点来表示；反过来，数轴上一个点都表示一个实数。就是说，实数和数轴上点是一一对应。
绝对值，几何意义是一个数所对应点到原点距离。
ìa af0
ï
a＝í-a ap0
ïî0 a=0
1—4近似数和有效数字（六册下）。这部分内容要很好了解。
二、代数式
代数式包含（1）整式，（2）分式，（3）根式。
2—1 整式包含单项式和多项式，关于概念要了解，单项式次数、多项式次数（六册下）
2—2 整式加减运算
整式加减运算满足结合律、交换律。法则是：先去括号，再合并同类项。
合并同类项是整式加减运算关键。
2—3幂运算
同底数幂相乘： am ×an =am+n 。
()
幂乘方： am n =amn 。积乘方： (ab)n =an ×bn 。
同底数幂相除： am ¸an =am-n （ a¹0 ）。
1
负指数： a-p = （a¹0 p是正整数） ap
零指数： a0 =1 （ a¹0）
分数指数： amn =n am (a>0，m＞0,n＞0)
2—4整数乘除运算
整数乘除运算包含：单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、单项式除以单项式、多项式除以单项式。要熟记它们运算法则。以上运算满足，结合律，交换律，分配律。要熟记乘法公式。
(a＋b)(a－b)=a ²－b ²
（a＋b）²=a ²＋2ab＋b ²
(a－b) ²=a ²－2ab＋b ²
(a＋b) ³=a ³＋3a ²b－3ab ²＋b ³
(a－b) ³=a ³－3a ²b＋3ab ²－b ³
(a＋b)(a ²－ab＋b ²)=a ³＋b ³
(a－b)(a ²＋ab＋b ²)=a ³－b ³
2—5分解因式
把一个多项式化为几个整式积形式叫分解因式。分解因式和乘法是互逆
运算。这是解一元二次方程基本知识，必需熟练掌握。
（1） 提取公因式法
例 －6m³n²－3m²n³＋12m²n²=－3m²n²﹙2m＋n－4﹚
注，第一项符号为负时，将负号一起提出，使括号内第一项为正，但括号内各项都要变号。公因式系数应是各项系数最大条约数，字母应提取各项相同字母指数最低。
（2） 公式法
x6 -y6 =(x3)2 -(y3)2 =(x3 -y3)(x3 +y3)
例 =(x-y)(x2 +xy+y2)(x+y)(x2 -xy+y2)
例 x2+x+1 =æççx+12ö÷ø2
4 è
（3） 十字相乘法 二次三项式能够用十字相乘法。
例 -1+y+20y2 =20y2 +y-1=(4y+1)(5y-1) 4y×1 5y -1
（4） 分组分解法对于多于三项多项式，应先用分组分解法，再提取公因式，或用公式法。 x2 +y2 +z2 +2xy+2yz+2xz=(x2 +2xy+y2)+(2yz+2xz)+z2 例
=(x+y)2 +2z(x+y)+z2 =(x+y+z)2
（按百分比拆项法）
x3 +x2 -12=(x3 -2x2)+(3x2 -6x)+(6x-12)
例 =x2(x-2)+3x(x-2)+6(x-2)=(x-2)(x2 +3x+6)
注，系数比为1：（-2）
x4 +3x3 +x2 -3x-2=(x4 +2x3)+(x3 +2x2)-(x2 +2x)-(x+2)
=x3(x+2)+x2(x+2)-x(x+2)-(x+2)=(x+2)(x3 +x2 -x-1) 例 (x+2)[(x3 +x2)-(x+1)]=(x+2)[x2(x+1)-(x+1)]
=
=(x+2)(x+1)(x2 -1)=(x+2)(x+1)2(x-1)
2—6分式（八册上）
（1）概念
b x+1
除式中含有字母有理式叫做分式。比如， ， ，分式分母不能
2a 5-x2 为0.
基本性质：分式分子和分母都乘以（或都除以）同一个不等于零代数式，分式值不变。
符号：分子、分母和分式本身符号改变其中任何两个，分式值不变。
最简分式:分子和分母没有公因式，这么分式称为最简分式。
求代数式值：通常先化简，再求值。
3
1-
例 当x取何值时，分式 x-1 有意义？它值等于零？
3x2 +x-4
解：① 令3x2 +x-4=0 及 x-1=0
4
由 3x2 +x-4=0 得 x =1 或 x =-
1 2 3
由 x-1=0 得 x =1
1
4
∴当 x¹1 和 x¹- 时，分式才有意义。
3
3
② 令分子为零，即1- =0 x-1 x-1-3 x-4
得 =0 ， 整理有，=0，有x=4 x-1 x-1
3
∴ 当 x=4时，分子1- =0，而分母3x2 +x-4¹0， x-1 故x=4时分式值为零。
（2） 分式乘、除法
法则：两个分式相乘，把分子相乘积作为积分子，把分母相乘积作为积分母。两个分式相除，把除式分子和分母颠倒位置再与被除式相乘。
（3） 分式加减法
法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再运算。
2—7二次根式（八册上）
（1） 带有二次根号式子叫做二次根式。如 5， a， x-3。
（2） 根式性质：
基本性质 n am =np amp (a³0，m、n、p都是正整数，而且n>1)。
乘积算术根 n ab =n an b(a³0××b³0)
a n a (a³0,b>0) 分式算术根 n = b n b
根式乘方 (n a)m =n am (a³0)
根式开方 m n a =m´n a (a³0)
（3） 最简二次根式
①被开方数指数和根指数是互质数。
②被开方数每一个因式指数都小于根指数。
③被开方数不含分母。
例 化简
6
10
8
6
4
d
c
b
a

3
2
2
3
6
4
3
2
3
5
4
3
2
6
2
5
4
3
2
cd
a
d
bc
d
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
=
=
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
解：原式=
同类根式：几个根式化成最简根式后，假如它们被开方数相同，根指数也相同，这几个根式叫做同类根式。（与根式前面系数无关）
同次根式：根指数相同根式叫做同次根式。（与被开方数无关）
（4）根式运算
①根式加、减法。把各根式化成最简根式后，再合并同类根式。
(
)
0
0
³
×
³
=
×
b
a
ab
b
a
n
n
n
，
n
n
n
b
a
b
a
=

(
)
0
0
f
b
a
×
³

③根式乘方。应用公式
(
)
n
m
m
n
a
a
=

(
)
0
³
a

④根式开方。应用公式

mn
m
n
a
a
=

(
)
0
³
a

(
)
(
)
y
x
y
x
xy
y
x
+
=
±
=
±
+
2
2

（
y
x
y
x
³
×
³
×
³
0
0
）

例

计算

3
2
4
-

解：原式
=
(
)
1
3
1
3
1
3
2
3
2
-
=
-
=
+
-

例

计算

6
2
5
-

解：原式
=
(
)
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
-
=
-
=
+
´
-

（
5
）分母有理化

把分母根号化去，叫做分母有理化。

例

a
a
a
a
a
a
3
3
3
2
3
3
2
1
=
×
=

②根式乘、除法。把各根式化成同次根式后，再应用公式
1 3+ 2 3+ 2 3+ 2 1
=()()= 2 ()2 = = (3+ 2)
3- 2 3- 2 3+ 2 3 - 2 9-2 7
三、方程
3—1、等式
等式概念：用一个等号连结两个代数式所成式子叫做等式。
等式性质：
①等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。
②等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0数）所得结果仍是等式。
3—2、一元一次方程
（1） 含有未知数等式叫做方程。能使方程左右两边值相等未知数值叫做方程解。含有一个未知数方程解也叫做方程根。求方程解过程叫做解方程。
（2） 含有一个未知数且未知数指数都是1方程叫做一元一次方程。
（3） 解一元一次方程，通常步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数系数化为1.
2x+1 5x-1
例 - =1
3 6
解：去分母，得 2(2x-1)-(5x-1)=6
去括号，得 4x-2-5x+1=6 移项， 得 4x-5x=6+2-1 合并同类项，得-x=7 方程两边同除以-1，得x=-7
（4） 列方程解应用题。
3—3 一元二次方程
（1） 一元二次方程通常式：ax2 +bx+c=0 (a¹0)
其中ax2、bx、c分别称为一元二次方程二次项、一次项、常数项。a、 b分别称为二次项、一次项系数。
（2） 求根公式：ax2 +bx+c=0 (a¹0) x=-b± b2 -4ac
2a
当a、b、c是实数时，根性质可由判别式Δ=b2 -4ac来决定。
若Δ=b2 -4ac>0， 方程有两个不相等实数根。
若Δ=b2 -4ac=0, 方程有两个相等实数根。
若Δ=b2 -4ac<0, 方程无实数根。
（3） 韦达定理（根与系数关系）。
假如α、β是方程ax2 +bx+c=0 (a¹0)或方程x2 +px+q=0两个根，那么
ìïa+b=-ba ，或 ìía+b=-p 。
í c îa×b=q
ïa×b=
î a
（4） 一元二次方程解法
①配方法：将方程转化成(x+m)2 =n形式，当n≥0时，俩边开平方
便可求出它根。
例 解以下方程5x2 =4-2x
4 2
5 5
解：方程两边都除以5，得 x2 = - x
2 4
移项，得 x2 + x=
5 5
2 æ1ö2 4 1
配方，得 x2 + x+ç÷=+ 5 è5ø 5 25
æçx+1ö÷2 =æçç521ö÷÷ø2
è 5ø è
1 21 1 21 5 5 5 5
即， x+ = 或 x+ =-
21-1 21+1
所以 x = x =-
1 5 2 5
②公式法:把一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a¹0)系数a、b、c值代人求根公式中进行计算即可。
例 解方程 2x2 +5x+2=0 解：这里a=2、b=5、c=2
∵ b2 -4ac=25-16=9＞0
-5± 9 -5±3 1
∴x= = 即 x =- x =-2
2´2 4 1 2 2
1
例 已知关于x方程5x2 +mx +2m =0一个根是，求它另一个根及
2
m 值。解：设方程另一个根是x，那么
1
1 m 1 2m
x + =- ， x ´ =
1 2 5 1 2 5
4m 1 m
把x = ，代人x + =-
1 5 1 2 5
4m 1 m 1
有+ =- ， 整理，得m =-
5 2 5 2
2
所以，方程另一个根是x =- 。
1 5
③分解因式法：
例 解方程x2 -52x+8=0。
()() 解：由十字相乘法，原方程变为 x-2 x-42 =0
即x-2=0 或 x-42=0
所以， x =2 x =42
12
3—4 一元二次方程应用
分析题意，找出等量关系，列出方程。常见是复利公式，即本利和问题。
例 甲企业前年缴税40万元，今年缴税48.4万元。该企业缴税年平均增加率是多少？解：设该企业缴税年平均增加率为x，依照题意，得
40(1+x)2 =48.4
解之，(1+x)2 =1.21
1+x=±1.1
x =0.1 x =-2.1
1 2
因为x =-2.1不合题意，故舍去。
2
所以x =0.1=10％
1
所以，设该企业缴税年平均增加率为 10％四、不等式
4—1 不等式概念和性质
①用不等号（符号“＞”或者“＜” ）联结两个代数式所成式子叫做不等式。
②性质 若a＞b， 则b＜a（对称性）
若a＞b, b＞c，则 a＞c（传递性）
若a＞b,则a+c＞b+c(不等式两边都加上或减去，同一个整式，不等号方向不变)。
若a＞b,c＞d,则a+c＞b+d
若a＞b,c＞0,则ac＞bc(不等式两边都乘以（或除以)一个正数，不等号方向不变)。
若a＞b,c＜0,则ac＜bc（不等式两边都乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变）
若a＞b＞0,c＞d＞0,则ac＞bd(两边都是正数两个同向不等式相乘，不等号不变)
1 1
若a＞b,ab＞0,则 ＜ ab
③不等式解集
能使不等式成立未知数值，叫做不等式解。一个含有未知数不等式全部解，组成这个不等式解集。求不等式解集过程叫做解不等式。
不等式解集能够用数轴来表示。
4—2 一元一次不等式
（1） 含有一个未知数，而且未知数次数是 1 不等式叫做一元一次不等式。
通常形式axfb 或 axpb （a、b都是实数）
（2） 解一元一次不等式类似于解一元一次方程。不过要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。
例 解不等式2(x+1)+x-2f7x-1
3 2
解：去分母，得 12(x+1)+2(x-2)f21x-6
去括号，得 12x+12+2x-4f21x-6 移项， 得 12x+2x-21xf-6-12+4 合并， 得 -7xf-14 两边除以-7，得 xp2
例 解关于x不等式：a2x+2f4x+a
解：原不等式化为 (a2 -4)xfa-2 ①
a-2 1
（1） 当 a2 -4f0 即 af2，即 af2 或 ap-2时，xf = a2 -4 a+2
（2） 当 a2 -4=0 即 a=±2 时，
若 a=2 不等式①变为0xf0，无解。
若 a=-2 不等式①变为0xf-4，所以x是一切实数。 a-2 1
（3） 当 a2 -4p0 即ap2， -2pap2时，xp = a2 -4 a+2
（3） 一元一次不等式应用
一元一次不等式应用和一元一次方程应用类似，关键是由题意找出不等关系，列出不等式。
4—3 一元一次不等式组
（1） 关于同一个未知数几个一元一次不等式合在一起叫做一元一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式解集公共部分，叫做一元一次不等式组解集。求不等式组解集过程，叫做解不等式组。
（2） 不等式组解分四种情况：
ìxfa
a

b
a

b

a

b

a

b
①í 若apb 解集是 xfb。
îxfb

ìxpa
②í 若apb 解集是xpa
îxpb
ìxfa
③í 若apb 解集是apxpb。
îxpb
ìxpa
④í 若apb 解集是空集。
îxfb
（3）解不等式组
ì2x-5f3x-2 例 í
î3x-6f4x=9
解：解第一个不等式，得xf2
解第一个不等式，得xp3 所以，原不等式组解是2pxp3 五、函数 0 2 3
5—1函数关于概念
（1） 常量与变量：在某一改变过程中，保持不变量叫常量，能够取不一样数值量叫变量。
（2） 函数定义：某改变过程中有两个变量x和y，假如对于x在实数某一范围内每一个确定值，按照给定法则y有确定值和它对应，那么变量 y就叫做变量x函数。称x是自变量，y是因变量。
“y是x函数”这句话通惯用式子y=f(x)来表示。符号“ f”表示因变
量y与自变量x之间函数关系给定法则。通俗讲函数就是自变量x与因变量y 之间一个一一对应关系。
（3） 定义域和值域：自变量x取值范围叫函数定义域，和x值对应y值叫函数值。全体函数值叫值域。
定义域取值范围：是确定使函数解析式有意义x值。比如分母不能为0，负数不能开偶次方。
（4） 函数表示方法：有列表法、解析式法、图像法。B是常数
5—2一次函数
通常地，形如y=kx+b叫做一次函数。这里k≠0,b是常数。
y=kx+b能够变为kx-y+b=0，这是二元一次方程。它图像是一条直线，
b b
当x=0时，y=b；当y=0时，x=- 。过点（0，b）,(- ,0)作直线，就是 k k
y=kx+b图像。
5—3反百分比函数 k
通常地，形如y= 叫做y是x反百分比函数。K为常数，k≠0.
x k
反百分比函数y= 性质：当 K＞0 两个分支分别位于第一象限和第三象限 x
内，在每个象限内，y值随x值增大而降低.
K＜0两个分支分别位于第二象限和第四象限内，在每个象限内，y值随 x值增大而增大。
当x值绝对值无限增大或靠近零时，反百分比函数图像两个分支都无限靠近x轴或y轴，但永远不会与x轴和y轴相交。

Y

x

0

K<0
k>0
x

y
0

5—4二次函数
（1） 通常地，形如y=ax2 +bx+c（a¹0,a,b,c是常数）函数叫做二次函数。
（2） 二次函数y=x2图像和性质
二次函数y=x2图像是一条抛物线，它开口向上，且关于 y轴对称，对称轴与抛物线交点（0，0）是抛物线顶点，它是图像最低点。
（3） 二次函数y=ax2 (a¹0)图像和性质
二次函数 y=ax2 (a¹0)图像是一条抛物线，我们把二次函数
y=ax2 (a¹0)图像叫抛物线y=ax2 。它对称轴是y轴，它顶点是坐标原
点，当af0时，抛物线开口向上，顶点是它最低点；当ap0时，抛物线开口向下，顶点是它最高点。
（4） 二次函数y=ax2 +k图像和性质
二次函数y=ax2 +k 图像是抛物线，它与抛物线y=ax2 形状相同，只是位置不一样,它对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k）.k＞0抛物线y=ax2 向
上平移k个单位；k＜0抛物线y=ax2 向下平移k个单位。
（5） 二次函数y=a(x-h)2 +k图像和性质
二次函数y=a(x-h)2 +k图像是抛物线，它与抛物线 y=ax2 +k形状相同，只是位置不一样, 它对称轴为x=h，顶点坐标为（h,k）,当h＞0将抛物线y=ax2 +k向左平移h个单位；h＜0将抛物线y=ax2 +k向右平移h个单位。例 已知二次函数图象顶点坐标是（-1，-6），而且该图象经过点（2,3），求这个二次函数表示式。
解：因为该函数图象顶点坐标是（-1，-6），则它表示式是 y=a(x+1)2 -6
将点（2,3）代人上式，得
3=a(2+1)2 -6
解得， a=1
所以，这个二次函数表示式是 y=(x+1)2 -6，即
y=x2 +2x-5
例 作y=x2，y=2x2，y=2x2 +1，y=2(x+2)2 +1图像解：列表
x
-3

-2

-1

0

1

2

2
x
y
=

4

1

0

1

4

2
2
x
y
=

8

2

0

2

8

1
2
2
+
=
x
y

9

3

1

3

9

(
)
1
2
2
2
+
+
=
x
y

3

1
3

9

19

33

2
2
x
y
=

1
2
2
+
=
x
y

(
)
1
2
2
2
+
+
=
x
y

x

y

2
x
y
=

（6）二次函数y=ax2 +bx+c图像和性质把y=ax2 +bx+c右边配方，得
y=ax2 +bx+c
æ b cö
=açx2 + x+ ÷
è a aø
é b æb ö2 æb ö2 cù
=aêx2 +2×x+ç÷-ç÷+ ú
êë 2a è2aø è2aø aúû
æ b ö2 4ac-b2
=açx+ ÷+
è 2aø 4a
二次函数 y=ax2 +bx+c图像是一条抛物线，它对称轴是直线
b b 4ac-b2
x=- ，顶点坐标是（- ，）。当af0时，抛物线开口向上，顶
2a 2a 4a
点是它最低点。当x=-b 时，y极小值记作，y极小=4ac-b2 。当ap0时，
2a 4a
b y
抛物线开口向下，顶点是它最高点。当x=- 时，y极大值记作， 极大
2a
=4ac-b2 。

4a
（7）二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2 +bx+c图象与x轴公共点有三种情况：
当b2 -4ac＞0时，有两个公共点；当b2 -4ac=0时，有一个公共点：当b2 -4ac＜0 时，没有公共点。
当二次函数y=ax2 +bx+c图象与x轴有公共点时，公共点横坐标就是 y=0时，自变量x值，既是一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a¹0)根。
例：二次函数y=x2 +2， y=x2 -2x+1， y=x2 -2x+2图象。
x

2
2
+
=
x
y

y
x
1
2
2
+
-
=
x
x
y

2
2
2
+
-
=
x
x
y

x
y
0