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第三讲 多边形及其内角和
教学目标：
1.了解多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；
2.了解四边形的不稳定性；
3.会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题
重点难点：
1.多边形的内角和公式的推导；
2.利用多边形的内角和公式求多边形的边数、角度数、外角度数等；
3.多边形内角和性质的应用.
知识导航：
1．多边形
（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都 相等的多边形叫做正多边形。
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。①从 n 边形的一个顶点
出发，可以画 (n - 3) 条对角线，将多边形分成 n--2 个三角形.② n 边形一共有条对角线。
（3）多边形的内角和公式：n 边形的内角和为 (n - 2) ×180o （n≥2）。
（4）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于 360°。
2．平面镶嵌
（1）镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）。
（2）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形内角加一起组成一个周角时，就能拼成一个平面图形。
（3）能否镶嵌成一个平面的关键：拼接在同一个顶点的各个角的和恰等于 360°（用于判断几种多边形的拼 接问题）。所以在仅用一种正多边形镶嵌只有正三角形、正四边形、正六边形可镶嵌，而其他正多边形不可以。
考点/易错点 1
注意：各个角都相等、各个边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可。如四条边都相等的四边形 不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形 才是正方形.
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考点/易错点 2
内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数。 外角和定理的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角或外角度数。 考点/易错点 3
平面镶嵌归纳：①拼接在同一点的各个角的和等于 360°；②只用正三、四、六边形可以镶嵌.其他正多 边形不能镶嵌；③任意三角形一定可以镶嵌；④任意四边形一定可以镶嵌。
探究正整数解，得出不同的组合方式：
利用代数式：x n + y m = 360°（其中 n、m 为正多边形的内角度数，x、y 为正整数.） 正三角形和正方形（两种拼法）、正三角形和正六边形（两种拼法）、正三角形和正十二边形、正四边形
和正八边形。正五边形和正十边形内角（108°+108°+144°）可以构成 360°，但不能进行平面镶嵌。
典型例题：
【例 1】以线段 a=7，b=8，c=9，d=11 为边作四边形，可作（ ）
A． 一个 B． 2 个 C． 3 个 D． 无数个
【答案】D．解：四条线段组成的四边形可有无数种变化．
【解析】根据四边形具有不稳定性，可知四条线段组成的四边形可有无数种变化．
【例 2】如图所示，我们可以按照如下方法求一个多边形的对角线条数
图（1）=0 条；图（2）=2 条；
图（3）=5 条；图（4）=9 条．
若按以上方法求二十边形的对角线条数，可列式子为 ，求得该多边形的对角线条数为 ．
答案】由题意得二十边形的对角线条数，可列式子为- 20 =170。
【解析】熟记多边形的边数与对角线的条数之间的关系式是解决此类问题的关键．
【例 3】一个多边形的内角和为 1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为（ ）
A． 1620° B． 1800°
C． 1980° D． 以上答案都有可能
【答案】D．1800÷180=10，∴原多边形边数=10+2=12，∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能 不变，可能加 1，∴即新多边形的边数可能是 11，12，13，∴新多边形的内角和可能是 1620°，1800°，1980°．
【解析】一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变，可能加 1．
【例 4】若一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，那么这个多边形是（ ）
A． 四边形 B． 六边形 C． 八边形 D． 十边形
【答案】C．解：设这个多边形是 n 边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=3×360°，解得 n=8．
【解析】考查多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是 360°．
【例 5】正三角形、正方形、正五边形和正六边形四种图形中，能够单独铺满平面的有（ ）
A．4 种 B．3 种 C．2 种 D．1 种
【答案】B．正三角形每个内角是 60°，能整除 360°，能密铺；正方形每个内角是 90°，4 个能密铺；正五边形 每个内角是 180°﹣360°÷5=108°，不能整除 360°，不能密铺；正六边形每个内角是 120°，能整除 360°，能密铺．
【解析】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除 360°．
课堂检测：
1.从六边形的一个顶点出发，可以画出 m 条对角线，它们将六边形分成 n 个三角形．则 m、n 的值分别为（ ）
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
2.多边形的每个内角都等于 150°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有（ ）
A． 8 条 B． 9 条 C． 10 条 D． 11 条
3.若一个 n 边形的所有内角与某个外角的和等于 1350°，则 n 为（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
4.多边形的边数由 7 边增加到 8 边，它的内角和增加多少度（ ）
A． 90° B． 270° C． 180° D． 360°
5．从一个七边形某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（ ）个三角形．
A．6 B．5 C．8 D．7
课后作业：
1.已知一个多边形的内角和是 540°，则这个多边形是（ ）
A． 四边形 B． 五边形 C． 六边形 D． 七边形
2.某多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则此多边形的边数是（ ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
3.多边形的内角中，锐角的个数最多有（ ）
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
4.从 n 边形的一个顶点出发一共可引 6 条对角线，则这个 n 边形的内角和等于（ ）
A． 1260° B． 1440° C． 1620° D． 1800°
5.多边形的内角和不可能是下列中的（ ）
A． 270° B． 360° C． 540° D． 720°
6.若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的 2 倍，求此多边形的边数．
7.小明在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少计算了一个内角，结果得 1345°，则未计算的内角为（ ）
A．80° B．85° C．95° D．100°
8.某单位的地板由三种边长相等的正多边形铺成，三种多边形是按 1：1：1 来排列，设这三种正多边形的边
数分别为 x，y，z，求的值．
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