2014年陕西省中考数学试卷-答案.docx

陕西省 2014 年初中毕业学业考试
数学答案解析
第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题
1. 【答案】B
【解析】由算术平方根的定义知，4 的算术平方根是 2，故选B.
【考点】算术平方根
2. 【答案】A
【解析】左视图从图形的左边向右边看，本题看到一个正方形的面，在面上有一条实线，故选 A.
【考点】简单几何体的三视图
3. 【答案】C
【解析】∵点A (-2, m) 在正比例函数 y =- 1 x 的图像上，∴ m = - 1 ´ (-2) = 1 ，故选：C.
2 2
【考点】一次函数图像上点的坐标特征
4. 【答案】A
【解析】∵一共有 10 种等可能的结果，小军能一次打开该旅行箱的只有 1 种情况，∴小军能一次打开该旅
行箱的概率是： 1 ，故选 A.
10
【考点】概率公式
5. 【答案】D

9 / 9

í
ìx + 2 > 1
【解析】解原不等式组
î3 - x ³ 0
ìx > -1
î
解得íx £ 3

，故选：D.

【提示】在数轴上表示解集时“ ³ ”“ £ ”要用实心圆点表示；“ > ”“ < ”要用空心圆圈表示.
【考点】在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组
6. 【答案】B
（
【解析】这组数据中 85 出现的次数最多，故众数是 85；平均数= 1 80 ´ 3 + 85´ 4 + 90 ´ 2 + 95´1）= 85.5 ，
10
故选B.
【考点】众数；中位数
7. 【答案】D
【解析】∵ AB∥CD ，∴ ÐABC = ÐC = 28° ，∵ ÐA = 45° ，∴ ÐAEC = ÐA + ÐABC = 28° + 45° = 73° ， 故选：D.
【考点】平行线的性质，三角形内角与外角的性质
8. 【答案】B

【解析】∵ x = -2 是关于 x 的一元二次方程 x2 - 5 ax + a2 = 0 的一个根，∴ 4 + 5a + a2 = 0 ，
2
∴ (a +1)(a + 4) = 0 ，解得a1 = -1 ， a2 = -4 ，故选B.
【考点】一元二次方程的解的定义
9. 【答案】C
【解析】连接 BD，
∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AC ^ BD ，AO = 1 AC ，BD = 2BO ，∴ ÐAOB = 90° ，∵ AC = 6 ，∴ AO = 3 ，
2

AB2 - AO2
∴ BO =
= = = 4 ， ∴
DB = 8

， ∴ 菱 形 ABCD 的 面 积 是

52 - 32
25 - 9
1 ´ AC DB = 1 ´ 6 ´ 8 = 24 ，又∵菱形 ABCD 的面积= BC AE = 24 ，∴ AE = 24 ，故选：C.
2 2 5
【考点】查了菱形的性质，菱形的性质面积的计算
10. 【答案】D
【解析】解：∵抛物线与 y 轴的交点在点(0, -1) 的下方.∴ c < -1，选项 A 错；

∵抛物线开口向上，∴ a > 0 ，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴ x = - b
2a
> 0 ，∴ b < 0 ，选项 B 错；

∵抛物线过点(-2,0) 、(4,0) ，∴抛物线对称轴为直线 x = - b
2a
= 1，∴ 2a + b = 0 ，选项 C 错；

∵当 x = -3 时， y > 0 ，∴ 9a - 3b + c > 0 ，即9a + c > 3b .故选D.
【考点】二次函数图像与系数的关系

第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题
11. 【答案】9
(- 1)-2 = 1



= 1 = 9

【解析】
3 (- 1)2 1

3 9
【考点】负整数指数幂的运算
12. 【答案】(x - y)(m + n)
【解析】因式分解的一般步骤：（1）提公因式；（2）用公式进一步分解，所以m(x - y) + n(x - y) = (x - y)(m + n).
【考点】提取公因式法分解因式
请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选做的第一题计分。
13. A【答案】5

【解析】正五边形的对称轴共有 5 条，如图.

【考点】轴对称的性质
B【答案】10.02
【解析】解：使用计算机计算， 31 » 5.567 8 ，tan56° »1.482 6 ， 31+3tan56° » 5.567 8 + 3´1.482 6 »10.02 .
【考点】计算器—三角函数，计算器—数的开方

2
14. 【答案】2 -
【解析】由题意可得出： ÐBDC = 45° ， ÐDA¢E = 90° ，∴ ÐDEA¢ = 45° ，∴ A¢D = A¢E ，
2
2
∵在正方形 ABCD 中， AD =1，∴ AB = A¢B =1，∴ BD = ，∴ A¢D = -1，∴在Rt△DA¢E 中，

DE =
A¢D

sin 45°

= 2 -

2
，故答案为： 2 - 2 .

【考点】正方形和旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数关系
15. 【答案】 y = 4
x
【解析】设这个反比例函数的表达式为 y = k ，∵ P (x , y ) ，P (x , y ) 是同一个反比例函数图像上的两点，

x 1 1 l
2 2 2

∴ x y

= x y
= k ，∴ 1
= x1 ， 1
= x2 ，∵ 1
= 1 + 1 ，得： 1 (x

- x ) = 1 ，将 x

= x + 2 代入，

1 1 2 2
y1 k
y2 k
y2 y1 2
k 2 1 2 2 1

求得k = 4 ，∴这个反比例函数的表达式为 y = 4 ，故答案为 y = 4 .
x x
【考点】反比例函数图像上点的坐标特征
2
16. 【答案】4
【解析】如图，过点 O 作OC ^ AB 于 C，交 O 于 D、E 两点，连结 OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据

圆周角定理得 ÐAOB = 2ÐAMB = 90° ，则△OAB 为等腰直角三角形， 所以 AB =
2OA = 2
，由于

2
2
S四边形M A NB= S△M A B + S△ NA ，而当 M 点到 AB 的距离最大， △MAB 的面积最大；当 N 点到 AB 的距离最大时， △NAB 的面积最大，即 M 点运动到 D 点，N 点运动到 E 点，所以四边形 MANB 面积的最大值

= S = S
+ S = 1 AB CD + 1 AB CE = 1 AB

(CD + CE) = 1 AB DE = 1 ´ 2 2 ´ 4 = 4 .

四边形DAEB
△DAB
△EAB
2 2 2 2 2

【考点】垂径定理，圆周角定理

三、解答题（共 9 小题，计 72 分）
17. 【答案】 1
3

【解析】解：原式=
2x2 - x(x -1)

(x +1)( x -1) ( x +1)( x -1)

2x2 - x2 + x
= (x + 1)(x -1)

= x(x +1)
(x +1)(x -1)

= x .
x -1
- 1
当 x =- 1 时，原式= 2 = 1 .

2 - 1 -1 3
2
【提示】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值.
【考点】分式的化简求值
18. 【答案】 AB = BF
【解析】证明：∵ EF ^ AC ，∴ ÐF + ÐC = 90° ，∵ ÐA + ÐC = 90° ，∴ ÐA = ÐF .
在△FBD 和△ABC 中，
ìÐA = ÐF
í
ïÐFBD = ÐACB = 90° ，
î
ïBD = BC

∴△FBD @ △ABC( AAS) ，
∴ AB = BF .
【考点】全等三角形的判定与性质
19. 【答案】（1）见解析
（2） 2.7 万吨或2.6 万吨
【解析】解：（1）补全的条形统计图与扇形统计图如下图所示.

（2）由题意得， (80.6 + 51.9) ´ 2% » 2.7 万吨，
答：陕西省 2014 年二氧化硫、化学需氧量的排放量供需减少约 2.7 万吨.（减少约 2.6 万吨也对）
【提示】条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.
【考点】条形统计图，扇形统计图
20. 【答案】13.6
【解析】解：由题意得，知ÐBAD = ÐBCE ，∴ ÐABD = ÐCBE = 90° ，∴△BAD ∽△BCE ，
∴ BD = AB ，即 BD = 1.7 ，解得 BD = 13.6 米.
BE CB 9.6 1.2
答：河宽 BD 是13.6 米.
【考点】相似三角形的应用

í
21.【答案】（1） y = ì28 (0 < x £ 1)
î10x + 18 (x > 1)

（2）43 元
【解析】解：（1）由题意，得当0 < x £ 1时， y = 22 + 6 = 28 ；当 x >1 时， y = 28 +10(x -1) =10x +18 ；
í
∴y 与 x 的函数关系式 y = ì28 (0 < x £ 1) .
î10x + 18 (x > 1)
（2）当 x = 2.5 时， y =10´ 2.5 +18 = 43 .
∴这次快寄的费用是 43 元.
【考点】分段函数的运用，一次函数的解析式的运用
22.【答案】（1） 1 ；
16
（2） 7 .
16
【解析】解：（1）画树状图得：

∵共有 16 种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的只有 1 种情况，
∴小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是： 1 .
16
（2）列表如下：
从上表可知，共有 16 种等可能的结果，其中至少有一人摸出黄球的结果有 7 种.
∴小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是： 7 .
16
【提示】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.
【考点】列表法，树状图法
23.【答案】（1）见解析
（2） 20
3
【解析】解：（1）证明：连接 OD.

∵BD 是 O 的切线，D 为切点，∴ OD ^ BC .（1 分）
∵ AC ^ BD ，∴ OD∥AC ，∴ Ð2 = Ð3 ，∵ OA = OD ，∴ Ð1 = Ð3 ，
∴ Ð1= Ð2 ，即 AD 平分ÐBAC .（4 分）
（2） 解：∵ OD∥AC ，∴△BOD ∽△BAC ，∴ OD = BO ，
AC BA

∴ 4 = 6
AC 10
，解得： AC = 20 .
3

【提示】注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.
【考点】切线的性质，相似三角形的判定与性质

24.【答案】（1） y = -x2 - 2x + 3 ；
（2） M (-1,4) ；
（3） 见解析.

ì-9 - 3b + c = 0
î
【解析】解：（1）根据题意，得íc = 3
ìb = -2
î
，解得íc = 3 .

∴ y = -x2 - 2x + 3 .

（2） ∵由（1）知抛物线的解析式为： y = -x2 - 2x + 3 ，

∴当 x = - b
2a

∴ M (-1,4).
= - -2
2 ´(-1)
= -1 时， y = 4 ，

（3） 由题意，以点 M、N、 M¢ 、 N ¢ 为顶点的平行四边形的边 MN 的对边只能是 M ¢N¢ ，

∴ MN∥M ¢N¢ 且 MN = M¢N¢ .∴ MN NN¢ =16 ，\ NN¢ = 4 .
（ⅰ）当 M、N、 M¢ 、 N ¢ 为顶点的平行四边形是 MNN¢M ′时，将抛物线 C 向左或向右平移 4 个单位可得符合条件的抛物线C¢ ；
（ⅱ）M、N、M¢ 、N ¢ 为顶点的平行四边形是 MNM ¢N ′时，将抛物线 C 先向左或向右平移 4 个单位，再向下平移 8 个单位，可得符合条件的抛物线C¢ .
∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C¢ .
【提示】本题的第（3）问平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，需要分类讨论，避免漏解

【考点】抛物线的平移变换，平行四边形的性质，待定系数法，二次函数的图像与性质的运用

7
25.【答案】（1） BP = 2 或 BP¢ = 4 - 或 BP¢¢ = 7 ；

（2） 3 + 3 ；

3
2
（3） 400 - 45 - 30 .
【解析】解：（1）①作 AD 的垂直平分线交 BC 于点 P，如图①，

当 AP = PD 时，P 在 BC 的中垂线上， BP = 2 . （3 分）

7
（等腰 ADP¢ ， BP¢ = 4 - ；或等腰 ADP¢¢ ， BP¢¢ =
7 .也符合题意）

（2） ∵E、F 分别为边 AB、AC 的中点，∴ EF∥BC ， EF = 1 BC = 6 .
2
∵ BC =12 ，∴ EF = 6 .
以 EF 为直径作 O ，过点 O 作OQ ^ BC ，垂足为 Q，连接 EQ、FQ、OQ，如图②.
∴BC 上符合条件的点 Q 只有一个.

过点 E 作 EG ^ BC ，垂足为 G，如图②，∴ EG = 3 ，∴四边形 EOQG 为正方形. 在 Rt△EBG 中， ÐB = 60° ， ÐEGB = 90° ， EG = 3 ，
∴ BQ = GQ + BG = 3 + 3 .

（3） 在线段 CD 上存在点M.
理由如下：
如图③，构造等边 ABG

作GP ^ AB ，垂足为 P，作 AK ^ BG ，垂足为 K，AK 与 GP 交于点 O，以 O 为圆心，OA 长为半径画圆， 则 O 为△ABG 的外接圆，作OH ^ CD 于点H.

3
在 Rt△AOP 中， AP = 1 AB = 135 ， OA = 90
2
， OP = 45 3 .

3
又知OH = 285 - 270 = 150 ，而90
2
> 150 ，∴ O 与 CD 相交.

记⊙O 与 CD 的交点为 M，连接 OM，MA，MB，如图③.
2
则ÐAMB = ÐAGB = 60° .

OM 2 - OH 2
(90 3)2 -1502
∵在 Rt△OHM 中， HM = =
= 30 ，

3
∴ DM = DH + HM = 400 - 45
- 30
< 340 或 DM = 400 - 45
- 30
> 340 （舍去）

2
3
2
∴CD 上符合题意的点 M 只有一个.
2
∴点 M 就是符合要求的点.

3
故 DM = 400 - 45
- 30
» 279.63 m.（保留根号也正确）

【考点】垂直平分线的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，正方形的判定与性质，直线与圆的位置关系， 圆周角定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，特殊角的三角函数值