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2022年辽宁省辽阳市中考数学试卷
一、选择题〔此题包括10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1．〔3分〕﹣3的绝对值是〔　　〕
A． B．3 C． D．﹣3

A．1.3945×104 B．13.945×105 C．1.3945×106 D．1.3945×108
3．〔3分〕如图是下面某个几何体的三种视图，那么该几何体是〔　　〕
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．三棱柱
4．〔3分〕以下运算正确的选项是〔　　〕
A．〔2a2〕2=2a4 B．6a8÷3a2=2a4 C．2a2•a=2a3 D．3a2﹣2a2=1
5．〔3分〕以下事件中适合采用抽样调查的是〔　　〕
A．对乘坐飞机的乘客进行安检
B．学校招聘教师，对应聘人员进行面试
C．对“天宫2号〞零部件的检査
D．对端午节期间市面上粽子质量情况的调查
6．〔3分〕如图，在▱ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，那么AB的长是〔　　〕
A．2 B．1 C． D．
7．〔3分〕共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，方案第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么所列方程正确的为〔　　〕
A．1000〔1+x〕2=1000+440 B．1000〔1+x〕2=440
C．440〔1+x〕2=1000 D．1000〔1+2x〕=1000+440
8．〔3分〕如果小球在如下列图的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是〔　　〕
A． B． C． D．
9．〔3分〕如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D的坐标为〔0，﹣1〕，在第四象限抛物线上有一点P，假设△PCD是以CD为底边的等腰三角形，那么点P的横坐标为〔　　〕
A．1+ B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣或1+
10．〔3分〕甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y〔m〕与甲所用时间x〔min〕之间的函数关系如下列图．有以下说法：
①A、B之间的距离为1200m；
②乙行走的速度是甲的1.5倍；
③b=960；
④a=34．
以上结论正确的有〔　　〕
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题〔此题共8小题，每题3分，共24分〕
11．〔3分〕分解因式：x2y﹣2xy2+y3=．
12．〔3分〕甲、乙、丙、丁四名射击运发动分别连续射靶10次，他们各自的平均成绩及其方差如下表所示，如果选一名成绩好且发挥稳定的运发动参赛，那么应选择的运发动是．

甲
乙
丙
丁
平均成绩〔环〕
8.6
8.4
8.6
7.6
方差
0.94
0.74
0.56
1.92
13．〔3分〕如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．假设⊙O的半径为5，∠CDE=20°，那么的长为．
14．〔3分〕如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．假设BC=7，AE=4，那么CE=．
15．〔3分〕假设关于x的一元二次方程〔k﹣1〕x2﹣4x﹣5=0没有实数根，那么k的取值范围是．
16．〔3分〕现有五张正面图形分别是平行四边形、圆、等边三角形、正五边形、菱形的卡片，它们除正面图形不同，其它完全相同．将它们反面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，卡片的正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是．
17．〔3分〕如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=〔x＜0〕的图象经过点B和CD边中点E，那么k的值为．
18．〔3分〕如图，△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=1．以OB为直角边向外作等腰直角三角形OBB1，以OB1为直角边向外作等腰直角三角形OB1B2，以OB2为直角边向外作等腰直角三角形OB2B3，…，连接AB1，BB2，B1B3，…，分别与OB，OB1，OB2，…交于点C1，C2，C3，…，按此规律继续下去，△ABC1的面积记为S1，△BB1C2的面积记为S2，△B1B2C3的面积记为S3，…，那么S2022=．
三、解答题〔第19题10分，第20题12分，共22分〕
19．〔10分〕先化简，再求值：〔﹣1〕÷，其中x=﹣4sin45°+〔〕﹣1．
20．〔12分〕某校以“我最喜爱的体育工程〞为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运开工程有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它工程〔每位同学仅选一项〕，根据调查数据绘制了如下不完整的统计表和扇形统计图：
学生选择最爱的体育工程统计表
运开工程
频数〔人数〕
频率
篮球
36
0.30
羽毛球
m
0.25
乒乓球
24
n
跳绳
12
0.10
其它工程
18
0.15
请根据以上图表信息解答以下问题：
〔1〕统计表中的m=，n=；
〔2〕在扇形统计图中，“篮球〞所在扇形的圆心角为度；
〔3〕该学校共有2400名学生，据此估计有多少名学生最喜爱乒乓球
〔4〕将2名最喜爱篮球的学生和2名最喜爱羽毛球的学生编为一组，从中随机抽取两人，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的两人都选择了最喜爱篮球的概率．
四、解答题〔第21题12分，第22题12分，共24分〕
21．〔12分〕近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位方案在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备．每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购置A种设备和花7.2万元购置B种设备的数量相同．
〔1〕求A种、B种设备每台各多少万元
〔2〕根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购置多少台
22．〔12分〕今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾〞违法行动，坚决把“洋垃圾〞拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75海里．
〔1〕求B点到直线CA的距离；
〔2〕执法船从A到D航行了多少海里〔结果保存根号〕
五、解答题〔总分值12分〕
23．〔12分〕如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E、F是⊙O上两点，连接AE、CF、DF，满足EA=CA．
〔1〕求证：AE是⊙O的切线；
〔2〕假设⊙O的半径为3，tan∠CFD=，求AD的长．
六、解答题〔总分值12分〕
24．〔12分〕某超市销售樱桃，樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可获利2000元，经调查发现：每天的销售量y〔千克〕与售价x〔元/千克〕之间存在一次函数关系．
〔1〕求y与x之间的函数关系式；
〔2〕假设樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大最大利润是多少元
七、解答题〔总分值12分〕
25．〔12分〕如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC=EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．
〔1〕BE与MN的数量关系是；
〔2〕将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断〔1〕中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，假设不成立，请说明理由；
〔3〕假设CB=6，CE=2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，MN的长度为．
八、解答题〔总分值14分〕
26．〔14分〕如图1，抛物线y=x2+bx+c经过A〔﹣2，0〕、B〔0，﹣2〕两点，点C在y轴上，△ABC为等边三角形，点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒〔t＞0〕，过点D作DE⊥AC于点E，以DE为边作矩形DEGF，使点F在x轴上，点G在AC或AC的延长线上．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕将矩形DEGF沿GF所在直线翻折，得矩形D'E'GF，当点D的对称点D'落在抛物线上时，求此时点D'的坐标；
〔3〕如图2，在x轴上有一点M〔2，0〕，连接BM、CM，在点D的运动过程中，设矩形DEGF与四边形ABMC重叠局部的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
2022年辽宁省辽阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔此题包括10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1．〔3分〕〔2022•辽阳〕﹣3的绝对值是〔　　〕
A． B．3 C． D．﹣3
【分析】根据正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零即可解决问题．
【解答】解：﹣3的绝对值是3，
应选B．
【点评】此题考查绝对值的性质，解题的关键是理解绝对值的性质，属于根底题．

A．1.3945×104 B．13.945×105 C．1.3945×106 D．1.3945×108

应选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
3．〔3分〕〔2022•辽阳〕如图是下面某个几何体的三种视图，那么该几何体是〔　　〕
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．三棱柱
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
应选：D．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也表达了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
4．〔3分〕〔2022•辽阳〕以下运算正确的选项是〔　　〕
A．〔2a2〕2=2a4 B．6a8÷3a2=2a4 C．2a2•a=2a3 D．3a2﹣2a2=1
【分析】根据积的乘方法那么判断A；根据单项式除以单项式的法那么判断B；根据单项式乘以单项式的法那么判断C；根据合并同类项的法那么判断D．
【解答】解：A、〔2a2〕2=4a4，错误，故本选项不符合题意；
B、6a8÷3a2=2a6，错误，故本选项不符合题意；
C、2a2•a=2a3，正确，故本选项符合题意；
D、3a2﹣2a2=a2，错误，故本选项不符合题意；
应选C．
【点评】此题考查了积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，合并同类项，掌握各运算法那么是解题的关键．
5．〔3分〕〔2022•辽阳〕以下事件中适合采用抽样调查的是〔　　〕
A．对乘坐飞机的乘客进行安检
B．学校招聘教师，对应聘人员进行面试
C．对“天宫2号〞零部件的检査
D．对端午节期间市面上粽子质量情况的调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、对乘坐飞机的乘客进行安检是事关重大的调查，适合普查，故A不符合题意；
B、学校招聘教师，对应聘人员进行面试是事关重大的调查，适合普查，故B不符合题意；
C、对“天宫2号〞零部件的检査是事关重大的调查，适合普查，故C不符合题意；
D、对端午节期间市面上粽子质量情况的调查调查具有破坏性适合抽样调查，故D符合题意；
应选：D．
【点评】此题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．〔3分〕〔2022•辽阳〕如图，在▱ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，那么AB的长是〔　　〕
A．2 B．1 C． D．
【分析】证明四边形ABDE是平行四边形，得出AB=DE，证出CE=2AB，求出∠CEF=30°，得出CE=2CF=2，即可得出AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠BCD=∠BAD=120°，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴CE=2AB，
∵∠BCD=120°，
∴∠ECF=60°，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF=30°，
∴CE=2CF=2，
∴AB=1；
应选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定、直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
7．〔3分〕〔2022•辽阳〕共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，方案第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么所列方程正确的为〔　　〕
A．1000〔1+x〕2=1000+440 B．1000〔1+x〕2=440
C．440〔1+x〕2=1000 D．1000〔1+2x〕=1000+440
【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答此题．
【解答】解：由题意可得，
1000〔1+x〕2=1000+440，
应选A．
【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答此题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
8．〔3分〕〔2022•辽阳〕如果小球在如下列图的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【解答】解：∵由图可知，黑色方砖4块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值==，
∴它停在黑色区域的概率是；
应选B．
【点评】此题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．
9．〔3分〕〔2022•辽阳〕如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D的坐标为〔0，﹣1〕，在第四象限抛物线上有一点P，假设△PCD是以CD为底边的等腰三角形，那么点P的横坐标为〔　　〕
A．1+ B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣或1+
【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可．
【解答】解：令x=0，那么y=﹣3，
所以，点C的坐标为〔0，﹣3〕，
∵点D的坐标为〔0，﹣1〕，
∴线段CD中点的纵坐标为×〔﹣1﹣3〕=﹣2，
∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，
∴点P的纵坐标为﹣2，
∴x2﹣2x﹣3=﹣2，
解得x1=1﹣，x2=1+，
∵点P在第四象限，
∴点P的横坐标为1+．
应选A．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并确定出点P的纵坐标是解题的关键．
10．〔3分〕〔2022•辽阳〕甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y〔m〕与甲所用时间x〔min〕之间的函数关系如下列图．有以下说法：
①A、B之间的距离为1200m；
②乙行走的速度是甲的1.5倍；
③b=960；
④a=34．
以上结论正确的有〔　　〕
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【分析】①由x=0时y=1200，可得出A、B之间的距离为1200m，结论①正确；②根据速度=路程÷时间可求出乙的速度，再根据甲的速度=路程÷时间﹣乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确；③根据路程=二者速度和×运动时间，即可求出b=800，结论③错误；④根据甲走完全程所需时间=两地间的距离÷甲的速度+4，即可求出a=34，结论④正确．综上即可得出结论．
【解答】解：①当x=0时，y=1200，
∴A、B之间的距离为1200m，结论①正确；
②乙的速度为1200÷〔24﹣4〕=60〔m/min〕，
甲的速度为1200÷12﹣60=40〔m/min〕，
60÷40=1.5，
∴乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确；
③b=〔60+40〕×〔24﹣4﹣12〕=800，结论③错误；
④a=1200÷40+4=34，结论④正确．
应选D．
【点评】此题考查了一次函数的应用，观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键．
二、填空题〔此题共8小题，每题3分，共24分〕
11．〔3分〕〔2022•辽阳〕分解因式：x2y﹣2xy2+y3=　y〔x﹣y〕2．
【分析】根据因式分解的方法先对原式提公因式再利用完全平方公式可以对所求的式子因式分解．
【解答】解：x2y﹣2xy2+y3=y〔x2﹣2xy+y2〕=y〔x﹣y〕2，
故答案为：y〔x﹣y〕2．
【点评】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是明确因式分解的方法．
12．〔3分〕〔2022•辽阳〕甲、乙、丙、丁四名射击运发动分别连续射靶10次，他们各自的平均成绩及其方差如下表所示，如果选一名成绩好且发挥稳定的运发动参赛，那么应选择的运发动是　丙　．

甲
乙
丙
丁
平均成绩〔环〕
8.6
8.4
8.6
7.6
方差
0.94
0.74
0.56
1.92
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运发动参加即可．
【解答】解：∵=＞=，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵S甲2＞＜S丙2，
∴选择丙参赛，
故答案为：丙．
【点评】此题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，说明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，说明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．〔3分〕〔2022•辽阳〕如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．假设⊙O的半径为5，∠CDE=20°，那么的长为．
【分析】根据切线的性质，可得∠ODE，根据角的和差，可得∠1，根据三角形的内角和，可得∠3，根据弧长公式，可得答案．
【解答】解：如图，
∵过点D作⊙O的切线交AC于点E，
∴∠ODE=90°，
由角的和差，得
∠1=180°﹣∠CDE﹣∠ODE=180°﹣20°﹣90°=70°，
∵∠1=∠2=70°，
∴∠3=40°，
=2×5π×=，
故答案为：．
【点评】此题考查了切线的性质，利用切线的性质、角的和差得出∠1是解题关键，又利用了三角形的内角和，弧长公式．
14．〔3分〕〔2022•辽阳〕如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．假设BC=7，AE=4，那么CE=　5　．
【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠ABE=∠EBC，
∴AB=AE=CD=4，
在Rt△EDC中，CE===5．
故答案为5
【点评】此题考查矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．〔3分〕〔2022•辽阳〕假设关于x的一元二次方程〔k﹣1〕x2﹣4x﹣5=0没有实数根，那么k的取值范围是　k＜．
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程〔k﹣1〕x2﹣4x﹣5=0没有实数根，
∴，
解得：k＜．
故答案为：k＜．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
16．〔3分〕〔2022•辽阳〕现有五张正面图形分别是平行四边形、圆、等边三角形、正五边形、菱形的卡片，它们除正面图形不同，其它完全相同．将它们反面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，卡片的正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是．
【分析】由平行四边形、圆、等边三角形、正五边形、菱形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有圆和菱形，利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是矩形圆、菱形，概率是；
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
17．〔3分〕〔2022•辽阳〕如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=〔x＜0〕的图象经过点B和CD边中点E，那么k的值为　﹣4　．
【分析】根据AB=AD=2，设B〔，2〕，由E是CD边中点，得到E〔﹣2，1〕，于是得到结论．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，
∴AB=AD=2，
设B〔，2〕，
∵E是CD边中点，
∴E〔﹣2，1〕，
∴﹣2=k，
解得：k=﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质，要知道，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
18．〔3分〕〔2022•辽阳〕如图，△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=1．以OB为直角边向外作等腰直角三角形OBB1，以OB1为直角边向外作等腰直角三角形OB1B2，以OB2为直角边向外作等腰直角三角形OB2B3，…，连接AB1，BB2，B1B3，…，分别与OB，OB1，OB2，…交于点C1，C2，C3，…，按此规律继续下去，△ABC1的面积记为S1，△BB1C2的面积记为S2，△B1B2C3的面积记为S3，…，那么S2022=×22022．　．
【分析】求出S1，S2，S3，S4，探究规律后，利用规律即可解决问题．
【解答】解：∵AB∥OB1，
∴==，
∴S1=S△AOB=×，
易知=1，S2==，S3=×2，S4=×22，…Sn=×2n﹣2，
∴S2022=×22022．
故答案为×22022．
【点评】此题考查等腰直角三角形的性质、规律型问题等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，学会利用规律解决问题．
三、解答题〔第19题10分，第20题12分，共22分〕
19．〔10分〕〔2022•辽阳〕先化简，再求值：〔﹣1〕÷，其中x=﹣4sin45°+〔〕﹣1．
【分析】先化简原式与x的值，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式=〔〕÷
=•
=﹣
x=2﹣4×+2=2
把x=2代入得，原式==﹣2
【点评】此题考查分式的化简求值，解题的关键熟练运用分式的运算法那么，此题属于根底题型．
20．〔12分〕〔2022•辽阳〕某校以“我最喜爱的体育工程〞为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运开工程有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它工程〔每位同学仅选一项〕，根据调查数据绘制了如下不完整的统计表和扇形统计图：
学生选择最爱的体育工程统计表
运开工程
频数〔人数〕
频率
篮球
36
0.30
羽毛球
m
0.25
乒乓球
24
n
跳绳
12
0.10
其它工程
18
0.15
请根据以上图表信息解答以下问题：
〔1〕统计表中的m=　30　，n=　0.20　；
〔2〕在扇形统计图中，“篮球〞所在扇形的圆心角为　108　度；
〔3〕该学校共有2400名学生，据此估计有多少名学生最喜爱乒乓球
〔4〕将2名最喜爱篮球的学生和2名最喜爱羽毛球的学生编为一组，从中随机抽取两人，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的两人都选择了最喜爱篮球的概率．
【分析】〔1〕根据篮球的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以羽毛球所占的百分比，求出m的值；再用乒乓球的人数除以总人数，求出n的值；
〔2〕由于喜欢篮球的百分比，故可用360°乘以篮球所占的百分比，即可求出对应的扇形圆心角的度数；
〔3〕用总人数乘以最喜爱乒乓球的学生人数所占的百分比即可得出答案；
〔4〕根据题意先列出树状图，得出所有可能出现相同的结果数和两人都选择了最喜爱篮球的结果数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：〔1〕∵36÷0.3=120〔人〕，
∴m=120×0.25=30〔人〕，
n=24÷120=0.20，
故答案为：30，0.20；
〔2〕在扇形统计图中，“乒乓球〞所在的扇形的圆心角的度数为：360°×0.3=108°；
故答案为：108；
〔3〕根据题意得：
2400×0.2=480〔人〕，
答：估计有480名学生最喜爱乒乓球；
〔4〕根据题意画树状图如下：
有表可知总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人都选择篮球的结果有2种，所以抽取的两人都选择了最喜爱篮球的概率是=．
【点评】此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率=频数÷总数，概率公式，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题是此题的关键．
四、解答题〔第21题12分，第22题12分，共24分〕
21．〔12分〕〔2022•辽阳〕近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位方案在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备．每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购置A种设备和花7.2万元购置B种设备的数量相同．
〔1〕求A种、B种设备每台各多少万元
〔2〕根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购置多少台
【分析】〔1〕设每台A种设备x万元，那么每台B种设备〔x+0.7〕万元，根据数量=总价÷单价结合花3万元购置A种设备和花7.2万元购置B种设备的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
〔2〕设购置A种设备m台，那么购置B种设备〔20﹣m〕台，根据总价=单价×数量结合总费用不高于15万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最小正整数即可．
【解答】解：〔1〕设每台A种设备x万元，那么每台B种设备〔x+0.7〕万元，
根据题意得：=，
解得：x=0.5．
经检验，x=0.5是原方程的解，
∴x+0.7=1.2．
答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.2万元．
〔2〕设购置A种设备m台，那么购置B种设备〔20﹣m〕台，
根据题意得：0.5m+1.2〔20﹣m〕≤15，
解得：m≥．
∵m为整数，
∴m≥13．
答：A种设备至少要购置13台．
【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：〔1〕根据数量=总价÷单价结合花3万元购置A种设备和花7.2万元购置B种设备的数量相同，列出关于x的分式方程；〔2〕根据总价=单价×数量结合总费用不高于15万元，列出关于m的一元一次不等式．
22．〔12分〕〔2022•辽阳〕今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾〞违法行动，坚决把“洋垃圾〞拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75海里．
〔1〕求B点到直线CA的距离；
〔2〕执法船从A到D航行了多少海里〔结果保存根号〕
【分析】〔1〕过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，根据三角函数可求BH的长即为所求；
〔2〕根据勾股定理可求DH，在Rt△ABH中，根据三角函数可求AH，进一步得到AD的长．
【解答】解：〔1〕过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，
∵∠MBC=60°，
∴∠CBA=30°，
∵∠NAD=30°，
∴∠BAC=120°，
∴∠BCA=180°﹣∠BAC﹣∠CBA=30°，
∴BH=BC×sin∠BCA=150×=75〔海里〕．
答：B点到直线CA的距离是75海里；
〔2〕∵BD=75海里，BH=75海里，
∴DH==75海里，
∵∠BAH=180°﹣∠BAC=60°，
在Rt△ABH中，tan∠BAH==，
∴AH=25海里，
∴AD=DH﹣AH=〔75﹣25〕〔海里〕．
答：执法船从A到D航行了〔75﹣25〕海里．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
五、解答题〔总分值12分〕
23．〔12分〕〔2022•辽阳〕如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E、F是⊙O上两点，连接AE、CF、DF，满足EA=CA．
〔1〕求证：AE是⊙O的切线；
〔2〕假设⊙O的半径为3，tan∠CFD=，求AD的长．
【分析】〔1〕连接OA，OE，易证△AOC≌△AOE〔SSS〕，从而可知∠OEA=∠ACB=90°，所以AE是⊙O的切线．
〔2〕连接CD，因为∠CBA=∠CFD，所以tan∠CBA=tan∠CFD=，从而可求出AC=8，利用勾股定理即可求出AB=10，再证明△ADC∽△ACB，从而可求出AD的长度．
【解答】解：〔1〕连接OA，OE，
在△AOC与△AOE中，
∴△AOC≌△AOE〔SSS〕
∴∠OEA=∠ACB=90°，
∴OE⊥AE，
∴AE是⊙O的切线
〔2〕连接CD
∵∠CBA=∠CFD
∴tan∠CBA=tan∠CFD=，
∵在Rt△ACB中，
tan∠CBA===
∴AC=8
∴由勾股定理可知：AB=10，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CDB=∠ADC=90°，
∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB
∴=，
∴AD=6.4
【点评】此题考查圆的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理等知识，综合程度较高，属于中等题型．
六、解答题〔总分值12分〕
24．〔12分〕〔2022•辽阳〕某超市销售樱桃，樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可获利2000元，经调查发现：每天的销售量y〔千克〕与售价x〔元/千克〕之间存在一次函数关系．
〔1〕求y与x之间的函数关系式；
〔2〕假设樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大最大利润是多少元
【分析】〔1〕直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
〔2〕首先表示出每天的获利，进而利用配方法结合二次函数增减性得出答案．
【解答】解：〔1〕当x=25时，y=2000÷〔25﹣15〕=200〔千克〕，
设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
把〔20，250〕，〔25，200〕代入得：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y=﹣10x+450；
〔2〕设每天获利W元，
W=〔x﹣15〕〔﹣10x+450〕
=﹣10x2+600x﹣6750
=﹣10〔x﹣30〕2+2250，
∵a=﹣10＜0，
∴开口向下，
∵对称轴为x=30，
∴在x≤28时，W随x的增大而增大，
∴x=28时，W最大值=13×170=2210〔元〕，
答：售价为28元时，每天获利最大为2210元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一次函数应用，正确利用二次函数增减性分析是解题关键．
七、解答题〔总分值12分〕
25．〔12分〕〔2022•辽阳〕如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC=EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．
〔1〕BE与MN的数量关系是　BE=MN　；
〔2〕将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断〔1〕中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，假设不成立，请说明理由；
〔3〕假设CB=6，CE=2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，MN的长度为﹣1或+1　．
【分析】〔1〕如图1中，只要证明△PMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题；
〔2〕如图2中，结论仍然成立．连接AD、延长BE交AD于点H．由△ECB≌△DCA，推出BE=AD，∠DAC=∠EBC，即可推出BH⊥AD，由M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，推出PM∥BE，PM=BE，PN∥AD，PN=AD，推出PM=PN，∠MPN=90°，可得BE=2PM=2×MN=MN；
〔3〕有两种情形分别求解即可；
【解答】解：〔1〕如图1中，
∵AM=ME，AP=PB，
∴PM∥BE，PM=BE，
∵BN=DN，AP=PB，
∴PN∥AD，PN=AD，
∵AC=BC，CD=CE，
∴AD=BE，
∴PM=PN，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴∵PM∥BC，PN∥AC，
∴PM⊥PN，
∴△PMN的等腰直角三角形，
∴MN=PM，
∴MN=•BE，
∴BE=MN，
故答案为BE=MN．
〔2〕如图2中，结论仍然成立．
理由：连接AD、延长BE交AD于点H．
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=CE，CA=CB，∠ACB=∠DCE=90°，
∵∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，
∴∠ACD=∠ECB，
∴△ECB≌△DCA，
∴BE=AD，∠DAC=∠EBC，
∵∠AHB=180°﹣〔∠HAB+∠ABH〕
=180°﹣〔45°+∠HAC+∠ABH〕
=∠180°﹣〔45°+∠HBC+∠ABH〕
=180°﹣90°
=90°，
∴BH⊥AD，
∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，
∴PM∥BE，PM=BE，PN∥AD，PN=AD，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∴BE=2PM=2×MN=MN．
〔3〕①如图3中，作CG⊥BD于G，那么CE=GE=DG=，
当D、E、B共线时，在Rt△BCG中，BG===，
∴BE=BG﹣GE=﹣，
∴MN=BE=﹣1．
②如图4中，作CG⊥BD于G，那么CE=GE=DG=，
当D、E、B共线时，在Rt△BCG中，BG===，
∴BE=BG+GE=+，
∴MN=BE=+1．
故答案为﹣1或+1．
【点评】此题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
八、解答题〔总分值14分〕
26．〔14分〕〔2022•辽阳〕如图1，抛物线y=x2+bx+c经过A〔﹣2，0〕、B〔0，﹣2〕两点，点C在y轴上，△ABC为等边三角形，点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度