2017年江西省抚州市崇仁一中中考数学一模试卷.doc

2017年江西省抚州市崇仁一中中考数学一模试卷

一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）实数的值在（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
2．（3分）神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（　　）
A．2.8×103 B．28×103 C．2.8×104 D．0.28×105
3．（3分）下列计算中正确的是（　　）
A．a•a2=a2 B．2a•a=2a2 C．（2a2）2=2a4 D．6a8÷3a2=3a4
4．（3分）已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（　　）
A．a=5，b=1 B．a=﹣5，b=1 C．a=5，b=﹣1 D．a=﹣5，b=﹣1
5．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）如果分式有意义，那么x的取值范围是　　．
8．（3分）分解因式：ab﹣a2=　　．
9．（3分）一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，4，5，5，若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率为　　．
10．（3分）如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为　　．

11．（3分）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　　．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=，则下列结论：①AC⊥BD；②AC⊥CD；③tan∠DAC=2；④四边形ABCD的面积为31；⑤BD=2．正确的是　　．

三.解答题（每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|．
14．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．

15．（6分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：

（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
16．（6分）某校组织学生排球垫球训练，训练前后，对每个学生进行考核．现随机抽取部分学生，统计了训练前后两次考核成绩，并按“A，B，C”三个等次绘制了如图不完整的统计图．试根据统计图信息，解答下列问题：
（1）抽取的学生中，训练后“A”等次的人数是多少？并补全统计图．
（2）若学校有600名学生，请估计该校训练后成绩为“A”等次的人数．

17．（6分）在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．
（1）从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是　　；
（2）从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率是　　（用树状图或列表法求解）．

四.（每小题8分，共32分）
18．（8分）如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i1=1：2，钢缆BC的坡度i2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

19．（8分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（﹣4，﹣2）和B（a，4）．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？

20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x12﹣x22=0时，求m的值．
21．（8分）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．
（1）求A，B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？

五.（本题10分）
22．（10分）在△ABC中，P为边AB上一点．
（1）如图1，若∠ACP=∠B，求证：AC2=AP•AB；
（2）若M为CP的中点，AC=2．
①如图2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长；
②如图3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接写出BP的长．

六.题（本题12分）
23．（12分）如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为　　，点C的坐标为　　（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

2017年江西省抚州市崇仁一中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）（2016•武汉）实数的值在（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【解答】解：∵1＜＜2，
∴实数的值在：1和2之间．
故选：B．

2．（3分）（2016•北京）神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（　　）
A．2.8×103 B．28×103 C．2.8×104 D．0.28×105
【解答】解：28000=1.1×104．
故选：C．

3．（3分）（2017•崇仁县校级一模）下列计算中正确的是（　　）
A．a•a2=a2 B．2a•a=2a2 C．（2a2）2=2a4 D．6a8÷3a2=3a4
【解答】解：A、原式=a3，不符合题意；
B、原式=2a2，符合题意；
C、原式=4a4，不符合题意；
D、原式=2a6，不符合题意，
故选B

4．（3分）（2016•武汉）已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（　　）
A．a=5，b=1 B．a=﹣5，b=1 C．a=5，b=﹣1 D．a=﹣5，b=﹣1
【解答】解：∵点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，
∴a=﹣5，b=﹣1．
故选D．

5．（3分）（2016•北京）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．

6．（3分）（2016•武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．
∴AB=2，
①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4），
∵点（0，4）与直线AB共线，
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．
故选A

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）（2016•北京）如果分式有意义，那么x的取值范围是　x≠1　．
【解答】解：由题意，得
x﹣1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．

8．（3分）（2016•无锡）分解因式：ab﹣a2=　a（b﹣a）　．
【解答】解：ab﹣a2=a（b﹣a）．
故答案为：a（b﹣a）．

9．（3分）（2016•武汉）一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，4，5，5，若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率为　　．
【解答】解：∵一个质地均匀的小正方体由6个面，其中标有数字5的有2个，
∴随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率==．
故答案为：．

10．（3分）（2016•武汉）如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为　36°　．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，
∴∠FED′=108°﹣72°=36°；
故答案为：36°．

11．（3分）（2016•河南）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　（1，4）　．
【解答】解：∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，
∴代入得：，
解得：b=2，c=3，
∴y=﹣x2+2x+3
=﹣（x﹣1）2+4，
顶点坐标为（1，4），
故答案为：（1，4）．

12．（3分）（2017•崇仁县校级一模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=，则下列结论：①AC⊥BD；②AC⊥CD；③tan∠DAC=2；④四边形ABCD的面积为31；⑤BD=2．正确的是　②③④⑤　．

【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
在△ACD中，∵CD=10，DA=5，
∴AC2+CD2=25+100=125=DA2，
∴∠ACD=90°，即AC⊥CD，故①错误，②正确；

在Rt△ACD中，tan∠DAC===2，故③正确；

S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AB•BC+AC•CD
=×3×4+×5×10
=31，
故④正确；

作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：

则∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC2=AB2+BC2=25，
∵CD=10，AD=5，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴=，
∴CM=2AB=6，DM=2BC=8，
∴BM=BC+CM=10，
∴BD==2，故⑤正确；
故答案为：②③④⑤．

三.解答题（每小题6分，共30分）
13．（6分）（2016•北京）计算：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|．
【解答】解：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|
=1+4×﹣2﹣1
=1﹣2+﹣1
=

14．（6分）（2016•北京）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠E=∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠E=∠DAE，
∴DA=DE．

15．（6分）（2012•宁波）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：

（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
【解答】解：（1）第一个图需棋子6，
第二个图需棋子9，
第三个图需棋子12，
第四个图需棋子15，
第五个图需棋子18，
…
第n个图需棋子3（n+1）枚．
答：第5个图形有18颗黑色棋子．

（2）设第n个图形有2013颗黑色棋子，
根据（1）得3（n+1）=2013
解得n=670，
所以第670个图形有2013颗黑色棋子．

16．（6分）（2016•金华）某校组织学生排球垫球训练，训练前后，对每个学生进行考核．现随机抽取部分学生，统计了训练前后两次考核成绩，并按“A，B，C”三个等次绘制了如图不完整的统计图．试根据统计图信息，解答下列问题：
（1）抽取的学生中，训练后“A”等次的人数是多少？并补全统计图．
（2）若学校有600名学生，请估计该校训练后成绩为“A”等次的人数．

【解答】解：（1）∵抽取的人数为21+7+2=30，
∴训练后“A”等次的人数为30﹣2﹣8=20．
补全统计图如图：

（2）600×=400（人）．
答：估计该校九年级训练后成绩为“A”等次的人数是400．

17．（6分）（2012•苏州）在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．
（1）从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是　　；
（2）从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率是　　（用树状图或列表法求解）．

【解答】解：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，
故P（所画三角形是等腰三角形）=；

（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：

∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴所画的四边形是平行四边形的概率P==．
故答案为：（1），（2）．

四.（每小题8分，共32分）
18．（8分）（2014•山西）如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i1=1：2，钢缆BC的坡度i2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

【解答】解：过点A作AE⊥CC′于点E，交BB′于点F，过点B作BD⊥CC′于点D，
则△AFB、△BDC、△AEC都是直角三角形，四边形AA′B′F，BB′C′D和BFED都是矩形，
∴BF=BB′﹣B′F=BB′﹣AA′=310﹣110=200，
CD=CC′﹣C′D=CC′﹣BB′=710﹣310=400，
∵i1=1：2，i2=1：1，
∴AF=2BF=400，BD=CD=400，
又∵EF=BD=400，DE=BF=200，
∴AE=AF+EF=800，CE=CD+DE=600，
∴在Rt△AEC中，AC===1000（米）．
答：钢缆AC的长度是1000米．

19．（8分）（2012•宁波）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（﹣4，﹣2）和B（a，4）．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？

【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=（k≠0），
∵反比例函数图象经过点A（﹣4，﹣2），
∴﹣2=，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵B（a，4）在y=的图象上，
∴4=，
∴a=2，
∴点B的坐标为B（2，4）；

（2）根据图象得，当x＞2或﹣4＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值．

20．（8分）（2008•孝感）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x12﹣x22=0时，求m的值．
【解答】解：（1）由题意有△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得，
∴实数m的取值范围是；

（2）由两根关系，得根x1+x2=﹣（2m﹣1），x1•x2=m2，
由x12﹣x22=0得（x1+x2）（x1﹣x2）=0，
若x1+x2=0，即﹣（2m﹣1）=0，解得，
∵＞，
∴不合题意，舍去，
若x1﹣x2=0，即x1=x2
∴△=0，由（1）知，
故当x12﹣x22=0时，．

21．（8分）（2014•福州）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．
（1）求A，B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
【解答】解：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，
依题意，得，
解得．
答：A商品每件20元，B商品每件50元．

（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件

解得5≤a≤6
根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．
方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10﹣5）=350元；
方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10﹣6）=320元；
∵350＞320
∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．
答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低．

五.（本题10分）
22．（10分）（2016•武汉）在△ABC中，P为边AB上一点．
（1）如图1，若∠ACP=∠B，求证：AC2=AP•AB；
（2）若M为CP的中点，AC=2．
①如图2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长；
②如图3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接写出BP的长．

【解答】解：（1）∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC，
∴，
∴AC2=AP•AB；

（2）①取AP在中点G，连接MG，设AG=x，则PG=x，BG=3﹣x，
∵M是PC的中点，
∴MG∥AC，
∴∠BGM=∠A，
∵∠ACP=∠PBM，
∴△APC∽△GMB，
∴，
即，
∴x=，
∵AB=3，
∴AP=3﹣，
∴PB=；
②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE=BP，
设BP=x．
∵∠ABC=45°，∠A=60°，
∴CH=，HE=+x，
∵CE2=（+（+x）2，
∵PB=BE，PM=CM，
∴BM∥CE，
∴∠PMB=∠PCE=60°=∠A，
∵∠E=∠E，
∴△ECP∽△EAC，
∴，
∴CE2=EP•EA，
∴3+3+x2+2x=2x（x++1），
∴x=﹣1，
∴PB=﹣1．

六.题（本题12分）
23．（12分）（2012•苏州）如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为　（b，0）　，点C的坐标为　（0，）　（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0，
解得：x=1或b，
∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，
∴点B的坐标为（b，0），
令x=0，
解得：y=，
∴点C的坐标为（0，），
故答案为：（b，0），（0，）；

（2）存在，
假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．
设点P的坐标为（x，y），连接OP．
则S四边形PCOB=S△PCO+S△POB=••x+•b•y=2b，
∴x+4y=16．
过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．
∴四边形PEOD是矩形．
∴∠EPD=90°．
∴∠EPC=∠DPB．
∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．
由解得
由△PEC≌△PDB得EC=DB，即﹣=b﹣，
解得b=＞2符合题意．
∴P的坐标为（，）；

（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，
∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．
∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．
∵b＞2，
∴AB＞OA，
∴∠Q0A＞∠ABQ．
∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，
由QA⊥x轴知QA∥y轴．
∴∠COQ=∠OQA．
∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．
（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．
∴AQ=CO=．
由AQ2=OA•AB得：（）2=b﹣1．
解得：b=8±4．
∵b＞2，
∴b=8+4．
∴点Q的坐标是（1，2+）．
（II）当∠OQC=90°时，△OCQ∽△QOA，
∴=，即OQ2=OC•AQ．
又OQ2=OA•OB，
∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．
解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，
∴点Q的坐标是（1，4）．
∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．

参与本试卷答题和审题的老师有：sd2011；HJJ；sks；星期八；caicl；1987483819；2300680618；HLing；CJX；家有儿女；zjx111；三界无我；放飞梦想；lantin；gbl210；Linaliu；zhangCF；wkd；王学峰；wd1899（排名不分先后）
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2017年4月8日
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