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第2课时 函数的最大值、最小值
知识点 函数的最大值与最小值
最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有最大值或最小值．( )
(2)函数的最小值一定比最大值小．( )
答案：(1)× (2)×
2．函数f(x)＝在[1，＋∞)上( )
A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
解析：函数f(x)＝是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.
答案：A
3．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为( )
A．3,5 B．－3,5
C．1,5 D．－5,3
解析：因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.
答案：B
4．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．f(－2)，0 B．0,2
C．f(－2)，2 D．f(2)，2
解析：由图象知点(1,2)是最高点，故ymax＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故ymin＝f(－2)．
答案：C
类型一 图象法求函数的最值
例1 如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解析】 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，
所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.
当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.
函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，
单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．
观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)．
方法归纳
图象法求最值的一般步骤
跟踪训练1 已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
解析：y＝－|x－1|＋2＝图象如图所示．
由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，
所以其值域为(－∞，2]．
利用x的不同取值先去绝对值，再画图．
类型二 利用单调性求函数的最大(小值)
例2 已知f(x)＝，
(1)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
(2)求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值．
【解析】 (1)函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
证明：任取x2>x1>1，
则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
(2)由(1)可知f(x)在(1，＋∞)上是减函数，
所以f(x)在[2,6]上是减函数，
所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(6)＝，即f(x)min＝，f(x)max＝1.
(1)用定义法证明函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性．
(2)利用函数单调性求最大值和最小值．
方法归纳
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝，求函数f(x)在[1,5]上的最值．
解析：先证明函数f(x)＝的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，
f(x1)－f(x2)＝－＝.
由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝在区间上是减少的，所以函数f(x)在[1,5]上是减少的，因此，函数f(x)＝在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
类型三 二次函数最值
例3 求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
【解析】 f(x)＝(x－a)2－1－a2，其图象的对称轴为直线x＝a.
(1)当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(2)当0≤a≤1时，由图②可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3)当1<a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
(4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
由于二次函数的最值与其图象的对称轴有关，而题中函数图象的对称轴为直线x＝a，位置不确定，所以应按对称轴与区间[0,2]的相对位置进行分类讨论．
方法归纳
1．如何求二次函数在闭区间[m，n]上的最值？
①确定二次函数的对称轴x＝a；
②根据a<m，m≤a<，≤a<n，a≥n这4种情况进行分类讨论；
③写出最值．
2．求二次函数的最值常用的数学思想方法
数形结合思想、分类讨论思想．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：
(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
解析：f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7.
(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．故函数f(x)的最小值为－7，无最大值．
(2)函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7.
(3)由图可知，函数f(x)在[－1,1]上是减函数，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4.
求函数的最大值、最小值问题，应先考虑其定义域，由于是二次函数，所以可以采用配方法和图象法求解.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
解析：B，C在[1,4]上均为增函数，A，D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
答案：A
2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
解析：当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，
f(x)max＝f(2)＝10.故选A.
答案：A
3．若函数y＝x2－6x－7，则它在[－2,4]上的最大值、最小值分别是( )
A．9，－15 B．12，－15
C．9，－16 D．9，－12
解析：函数的对称轴为x＝3，
所以当x＝3时，函数取得最小值为－16，
当x＝－2时，函数取得最大值为9，故选C.
答案：C
4．已知函数f(x)＝，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值，无最小值
B．f(x)有最大值，最小值
C．f(x)有最大值，无最小值
D．f(x)有最大值2，最小值
解析：f(x)＝＝2＋，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f(－8)＝，无最小值．故选A.
答案：A
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：∵f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，
∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2.
∴f(x)在[0,1]上单调递增．
又∵f(x)min＝－2，∴f(0)＝－2，即a＝－2.
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数f(x)＝的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
7．函数y＝x＋的最小值为________．
解析：令＝t，t≥0，则x＝t2＋1，
所以y＝t2＋t＋1＝2＋，
当t≥0时，由二次函数的性质可知，当t＝0时，ymin＝1.
答案：1
8．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.
解析：因为f(x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.
答案：4
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值．
解析：f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在和[0，＋∞) 上是增函数，
在上是减函数，
因此f(x)的单调递增区间为，[0，＋∞)；
单调递减区间为.
(2)因为f＝，f()＝，
所以f(x)在区间上的最大值为.
10．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
解析：(1)函数f(x)在[3,5]上是增加的，
证明：设任意x1，x2，满足3≤x1<x2≤5.
因为f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
因为3≤x1<x2≤5，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2)．
所以f(x)＝在[3,5]上是单调递增的．
(2)f(x)min＝f(3)＝＝，
f(x)max＝f(5)＝＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a<0.
答案：C
12．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．
解析：在同一坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的图象，如图所示，
由图象可知，函数f(x)在x＝2时取得最大值6.
答案：6
13．求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．
解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，其图象的对称轴为x＝1.
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
所以最小值g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值g(t)＝f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
所以最小值g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
综上可得，g(t)＝
14．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝时f(x)＝x＋＋2.
设1≤x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)(1－)，
∵1≤x1<x2，∴x2－x1>0,2x1x2>2，
∴0<<，1－>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，f(x1)<f(x2)．
∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数．
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(2)在区间[1，＋∞)上f(x)>0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立.
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．
所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，
于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，
故a的取值范围为(－3，＋∞)．
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