2022-2022学年高中数学课后作业26圆与圆的位置关系北师大版必修.doc

课后作业(二十六)
(时间45分钟)
学业水平合格练(时间20分钟)
1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
[解析]　圆x2＋y2－1＝0的圆心为C1(0,0)，半径为r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心为C2(2，－1)，半径为r2＝3，两圆的圆心距为d＝|C1C2|＝＝，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r1<d<r1＋r2，故两圆相交．
[答案]　B
2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
[解析]　因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆相离，所以内公切线的条数为2.
[答案]　B
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，那么AB的垂直平分线的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
[解析]　AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A、B、D.
[答案]　C
4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，那么此圆的方程是(　　)
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
[解析]　由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得 ＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.
[答案]　D
5．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，那么两圆心的距离|C1C2|＝(　　)
A．4 B．4
C．8 D．8
[解析]　因为两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
那么有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0.
所以a＋b＝10，ab＝17，
所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32.
所以|C1C2|＝＝＝8.
[答案]　C
6．以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，那么圆C的方程是__________________．
[解析]　设圆C的半径为r，
圆心距为d＝＝5，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)3＝36.
[答案]　(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
7．假设圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，那么a＝________.
[解析]　将两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为y＝，圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1.
[答案]　1
8．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．
[解析]　由可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0.
[答案]　x2＋y2－x－y－＝0
9．求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．
[解]　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
那么
由①②③得∴(x－3)2＋(y－3)2＝18.
10．求圆心为(2,1)且与圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．
[解]　设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，①
圆的方程为x2＋y2－3x＝0，②
②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，又此直线经过点(5，－2)，所以5－4－5＋r2＝0，所以r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
应试能力等级练(时间25分钟)
11．集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，假设M∩N≠∅，那么实数b的取值范围是(　　)
A．[－3 ，3 ] B．[－3,3]
C．(－3,3 ] D．[－3 ，3)
[解析]　由M∩N≠∅，知直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)相交，所以画图(图略)可知－3<b≤3.
[答案]　C
12．圆O的方程是x2＋y2－2＝0，圆O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0.由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，那么动点P的轨迹方程是_____________．
[解析]　圆O的圆心为O(0,0)，半径r＝；⊙O′的圆心为O′(4,0)，半径r′＝，设点P(x，y)，由切线长(用勾股定理表示切线长)相等得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，即x＝，这就是动点P的轨迹方程．
[答案]　x＝
13．⊙O方程为x2＋y2＝4，定点A(4,0)，那么过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹方程为___________．
[解析]　设动圆圆心为P(x，y)．因为动圆过定点A，所以|PA|即为动圆半径．当动圆P与⊙O外切时，|PO|＝|PA|＋2.
当动圆P与⊙O内切时，|PO|＝|PA|－2.
综合这两种情况，得||PO|－|PA||＝2，
即|－|＝2，化简可得(x－2)2－＝1.
[答案]　(x－2)2－＝1
14．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．
[解]　把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.
C1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以，
|C1C2|＝＝.
因此，|MN|的最大值是＋5.
15．点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9.
(1)画出以PQ为直径，Q′为圆心的圆，再求出它的方程；
(2)作出以Q为圆心的圆和以Q′为圆心的圆的两个交点A，B.直线PA，PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？
(3)求直线AB的方程．
[解]　(1)∵圆的方程为(x－4)2＋(y－2)2＝32，
∴Q(4,2)．
PQ中点为Q′，半径为r＝＝，
故以Q′为圆心的圆的方程为
(x－1)2＋2＝.圆如下图．
(2)∵PQ是圆Q′的直径，∴PA⊥AQ(如下图)
∴PA是⊙Q的切线，同理PB也是⊙Q的切线．
(3)将⊙Q与⊙Q′方程相减，得6x＋5y－25＝0.
此即为直线AB的方程．