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2022年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题〔每题2分，共16分〕
1．〔2分〕〔2022•潜江〕﹣3的绝对值是〔　　〕

A．
3
B．
﹣3
C．

D．

2．〔2分〕〔2022•常州〕要使分式有意义，那么x的取值范围是〔　　〕

A．
x＞2
B．
x＜2
C．
x≠﹣2
D．
x≠2
3．〔2分〕〔2022•常州〕以下“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行〞四个交通标志图〔黑白阴影图片〕中为轴对称图形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

4．〔2分〕〔2022•常州〕如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，那么∠ECD的度数是〔　　〕

A．
70°
B．
60°
C．
50°
D．
40°
5．〔2分〕〔2022•常州〕如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么以下说法一定正确的选项是〔　　〕

A．
AO=OD
B．
AO⊥OD
C．
AO=OC
D．
AO⊥AB
6．〔2分〕〔2022•常州〕a=，b=，c=，那么以下大小关系正确的选项是〔　　〕

A．
a＞b＞c
B．
c＞b＞a
C．
b＞a＞c
D．
a＞c＞b
7．〔2分〕〔2022•常州〕二次函数y=x2+〔m﹣1〕x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是〔　　〕

A．
m=﹣1
B．
m=3
C．
m≤﹣1
D．
m≥﹣1
8．〔2分〕〔2022•常州〕将一张宽为4cm的长方形纸片〔足够长〕折叠成如下列图图形，重叠局部是一个三角形，那么这个三角形面积的最小值是〔　　〕

A．
cm2
B．
8cm2
C．
cm2
D．
16cm2
二、填空题〔每题2分，共20分〕
9．〔2分〕〔2022•常州〕计算〔π﹣1〕0+2﹣1=．
10．〔2分〕〔2022•常州〕太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为．
11．〔2分〕〔2022•常州〕分解因式：2x2﹣2y2=．
12．〔2分〕〔2022•常州〕扇形的圆心角为120°，弧长为6π，那么扇形的面积是．
13．〔2分〕〔2022•常州〕如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，那么BC的长是．
14．〔2分〕〔2022•常州〕x=2是关于x的方程a〔x+1〕=a+x的解，那么a的值是．
15．〔2分〕〔2022•常州〕二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是．
16．〔2分〕〔2022•常州〕如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A〔400，300〕，从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，那么点C的坐标是．
17．〔2分〕〔2022•常州〕数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．
4=2+2；　　　　　 12=5+7；
6=3+3；　　　　　 14=3+11=7+7；
8=3+5；　　　　 　16=3+13=5+11；
10=3+7=5+5　　　 18=5+13=7+11；
…
通过这组等式，你发现的规律是〔请用文字语言表达〕．
18．〔2分〕〔2022•常州〕如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，那么AC的长是．
三、解答题〔共10小题，共84分〕
19．〔6分〕〔2022•常州〕先化简，再求值：〔x+1〕2﹣x〔2﹣x〕，其中x=2．
20．〔8分〕〔2022•常州〕解方程和不等式组：
〔1〕；　　　　　
〔2〕．
21．〔8分〕〔2022•常州〕某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市局部中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：
〔1〕该调查小组抽取的样本容量是多少
〔2〕求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；
〔3〕请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．
22．〔8分〕〔2022•常州〕甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛〞冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．
〔1〕求甲第一个出场的概率；
〔2〕求甲比乙先出场的概率．
23．〔8分〕〔2022•常州〕如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．
〔1〕求证：AE=AF；
〔2〕求∠EAF的度数．
24．〔8分〕〔2022•常州〕某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如下列图．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．假设该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．
〔1〕求m，n的值，并直接写出车费y〔元〕与路程x〔公里〕〔x＞3〕之间的函数关系式；
〔2〕如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学为什么
25．〔8分〕〔2022•常州〕如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．
〔1〕假设AD=2，求AB；
〔2〕假设AB+CD=2+2，求AB．
26．〔10分〕〔2022•常州〕设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图〔简称尺规作图〕，画出一个正方形与ω的面积相等〔简称等积〕，那么这样的等积转化称为ω的“化方〞．
〔1〕阅读填空
如图①，矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，那么正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽．
∴，即DH2=AD×DE．
又∵DE=DC
∴DH2=，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
〔2〕操作实践
平行四边形的“化方〞思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形〔不要求写具体作法，保存作图痕迹〕．
〔3〕解决问题
三角形的“化方〞思路是：先把三角形转化为等积的〔填写图形名称〕，再转化为等积的正方形．
如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边〔不要求写具体作法，保存作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图〕．
〔4〕拓展探究
n边形〔n＞3〕的“化方〞思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．
如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形〔不要求写具体作法，保存作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图〕．
27．〔10分〕〔2022•常州〕如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．
〔1〕写出点A的坐标；
〔2〕当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
〔3〕假设点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．
28．〔10分〕〔2022•常州〕如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
〔1〕假设点P的坐标是〔1，4〕，直接写出k的值和△PAB的面积；
〔2〕设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
〔3〕设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点〔与点P、B不重合〕，连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．
2022年江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔每题2分，共16分〕
1．〔2分〕〔2022•潜江〕﹣3的绝对值是〔　　〕

A．
3
B．
﹣3
C．

D．

考点：
绝对值．菁优网版权所有
分析：
根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．
解答：
解：|﹣3|=﹣〔﹣3〕=3．
应选：A．
点评：
考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．〔2分〕〔2022•常州〕要使分式有意义，那么x的取值范围是〔　　〕

A．
x＞2
B．
x＜2
C．
x≠﹣2
D．
x≠2
考点：
分式有意义的条件．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．
解答：
解：要使分式有意义，须有x﹣2≠0，即x≠2，
应选D．
点评：
此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0．
3．〔2分〕〔2022•常州〕以下“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行〞四个交通标志图〔黑白阴影图片〕中为轴对称图形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
轴对称图形．菁优网版权所有
分析：
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．
解答：
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
应选：B．
点评：
此题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部沿对称轴折叠后可重合．
4．〔2分〕〔2022•常州〕如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，那么∠ECD的度数是〔　　〕

A．
70°
B．
60°
C．
50°
D．
40°
考点：
平行线的性质；垂线．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由BC与AE垂直，得到三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，求出∠A的度数，再利用两直线平行同位角相等即可求出∠ECD的度数．
解答：
解：∵BC⊥AE，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠B=40°，
∴∠A=90°﹣∠B=50°，
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠A=50°，
应选C．
点评：
此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
5．〔2分〕〔2022•常州〕如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么以下说法一定正确的选项是〔　　〕

A．
AO=OD
B．
AO⊥OD
C．
AO=OC
D．
AO⊥AB
考点：
平行四边形的性质．菁优网版权所有
分析：
根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
解答：
解：对角线不一定相等，A错误；
对角线不一定互相垂直，B错误；
对角线互相平分，C正确；
对角线与边不一定垂直，D错误．
应选：C．
点评：
此题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
6．〔2分〕〔2022•常州〕a=，b=，c=，那么以下大小关系正确的选项是〔　　〕

A．
a＞b＞c
B．
c＞b＞a
C．
b＞a＞c
D．
a＞c＞b
考点：
实数大小比较．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．
解答：
解：∵a==，b==，c==，且＜＜，
∴＞＞，即a＞b＞c，
应选A．
点评：
此题考查了实数比较大小，将a，b，c进行适当的变形是解此题的关键．
7．〔2分〕〔2022•常州〕二次函数y=x2+〔m﹣1〕x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是〔　　〕

A．
m=﹣1
B．
m=3
C．
m≤﹣1
D．
m≥﹣1
考点：
二次函数的性质．菁优网版权所有
分析：
根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
解答：
解：抛物线的对称轴为直线x=﹣，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣≤1，
解得m≥﹣1．
应选D．
点评：
此题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
8．〔2分〕〔2022•常州〕将一张宽为4cm的长方形纸片〔足够长〕折叠成如下列图图形，重叠局部是一个三角形，那么这个三角形面积的最小值是〔　　〕

A．
cm2
B．
8cm2
C．
cm2
D．
16cm2
考点：
翻折变换〔折叠问题〕．菁优网版权所有
分析：
当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．
解答：
解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，
∵∠BAC=90°∠ACB=45°
∴AB=AC=4cm，
∴S△ABC=×4×4=8cm2．
应选：B．

点评：
此题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．
二、填空题〔每题2分，共20分〕
9．〔2分〕〔2022•常州〕计算〔π﹣1〕0+2﹣1=　1．
考点：
负整数指数幂；零指数幂．菁优网版权所有
分析：
分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法那么计算，然后根据实数的运算法那么求得计算结果．
解答：
解：〔π﹣1〕0+2﹣1
=1+
=1．
故答案为：1．
点评：
此题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．
10．〔2分〕〔2022•常州〕太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为　6.96×105．
考点：
科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
专题：
应用题．
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．此题中696 000有6位整数，n=6﹣1=5．
解答：
解：696 000=6.96×105．
点评：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．〔2分〕〔2022•常州〕分解因式：2x2﹣2y2=　2〔x+y〕〔x﹣y〕　．
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
分析：
先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
解答：
解：2x2﹣2y2=2〔x2﹣y2〕=2〔x+y〕〔x﹣y〕．
故答案为：2〔x+y〕〔x﹣y〕．
点评：
此题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12．〔2分〕〔2022•常州〕扇形的圆心角为120°，弧长为6π，那么扇形的面积是　27π　．
考点：
扇形面积的计算．菁优网版权所有
分析：
利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．
解答：
解：设扇形的半径为r．
那么=6π，
解得r=9，
∴扇形的面积==27π．
故答案为：27π．
点评：
此题主要考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式l=；扇形的面积公式S=．
13．〔2分〕〔2022•常州〕如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，那么BC的长是　6　．
考点：
相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
由平行可得对应线段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把数值代入可求得BC．
解答：
解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD：DB=1：2，DE=2，
∴，
解得BC=6．
故答案为：6．
点评：
此题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．
14．〔2分〕〔2022•常州〕x=2是关于x的方程a〔x+1〕=a+x的解，那么a的值是．
考点：
一元一次方程的解．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
把x=2代入方程计算即可求出a的值．
解答：
解：把x=2代入方程得：3a=a+2，
解得：a=．
故答案为：．
点评：
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15．〔2分〕〔2022•常州〕二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是　〔1，﹣2〕　．
考点：
二次函数的性质．菁优网版权所有
分析：
此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．
解答：
解：∵y=﹣x2+2x﹣3
=﹣〔x2﹣2x+1〕﹣2
=﹣〔x﹣1〕2﹣2，
故顶点的坐标是〔1，﹣2〕．
故答案为〔1，﹣2〕．
点评：
此题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．
16．〔2分〕〔2022•常州〕如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A〔400，300〕，从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，那么点C的坐标是　〔400，800〕　．
考点：
勾股定理的应用；坐标确定位置；全等三角形的应用．菁优网版权所有
分析：
根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB〔SAS〕，进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标．
解答：
解：连接AC，
由题意可得：AB=300m，BC=400m，
在△AOD和△ACB中
∵，
∴△AOD≌△ACB〔SAS〕，
∴∠CAB=∠OAD，
∵B、O在一条直线上，
∴C，A，D也在一条直线上，
∴AC=AO=500m，那么CD=AC=AD=800m，
∴C点坐标为：〔400，800〕．
故答案为：〔400，800〕．

点评：
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A，D也在一条直线上是解题关键．
17．〔2分〕〔2022•常州〕数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．
4=2+2；　　　　　 12=5+7；
6=3+3；　　　　　 14=3+11=7+7；
8=3+5；　　　　 　16=3+13=5+11；
10=3+7=5+5　　　 18=5+13=7+11；
…
通过这组等式，你发现的规律是　所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和　〔请用文字语言表达〕．
考点：
规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
分析：
根据以上等式得出规律进行解答即可．
解答：
解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，
故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和
点评：
此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．
18．〔2分〕〔2022•常州〕如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，那么AC的长是．
考点：
全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．菁优网版权所有
分析：
过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．
解答：
解：
过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
那么∠E=∠CFD=∠CFA=90°，
∵点C为弧BD的中点，
∴=，
∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠D=∠CBE，
在△CBE和△CDF中

∴△CBE≌△CDF，
∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中

∴△AEC≌△AFC，
∴AE=AF，
设BE=DF=x，
∵AB=3，AD=5，
∴AE=AF=x+3，
∴5=x+3+x，
解得：x=1，
即AE=4，
∴AC==，
故答案为：．
点评：
此题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．
三、解答题〔共10小题，共84分〕
19．〔6分〕〔2022•常州〕先化简，再求值：〔x+1〕2﹣x〔2﹣x〕，其中x=2．
考点：
整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法那么计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
解答：
解：原式=x2+2x+1﹣2x+x2=2x2+1，
当x=2时，原式=8+1=9．
点评：
此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
20．〔8分〕〔2022•常州〕解方程和不等式组：
〔1〕；　　　　　
〔2〕．
考点：
解分式方程；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
〔1〕分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
〔2〕分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共局部即可求出解集．
解答：
解：〔1〕去分母得：x=6x﹣2+1，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解；
〔2〕，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x＜3，
那么不等式组的解集为﹣2＜x＜3．
点评：
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
21．〔8分〕〔2022•常州〕某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市局部中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：
〔1〕该调查小组抽取的样本容量是多少
〔2〕求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；
〔3〕请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．
考点：
频数〔率〕分布直方图；扇形统计图；加权平均数．菁优网版权所有
分析：
〔1〕利用0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，即可求出样本容量；
〔2〕利用样本容量乘以1.5小时的百分数，即可求出1.5小时的人数，画图即可；
〔3〕计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可．
解答：
解：〔1〕由题意可得：0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，
∴本次调查共抽样了500名学生；
〔2〕1.5小时的人数为：500×2.4=120〔人〕
如下列图：
〔3〕根据题意得：，即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约1小时．
点评：
此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键．
22．〔8分〕〔2022•常州〕甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛〞冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．
〔1〕求甲第一个出场的概率；
〔2〕求甲比乙先出场的概率．
考点：
列表法与树状图法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
〔1〕画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；
〔2〕找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率．
解答：
解：〔1〕画树状图如下：

所有等可能的情况有6种，其中甲第一个出场的情况有2种，
那么P〔甲第一个出场〕==；
〔2〕甲比乙先出场的情况有3种，
那么P〔甲比乙先出场〕==．
点评：
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．〔8分〕〔2022•常州〕如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．
〔1〕求证：AE=AF；
〔2〕求∠EAF的度数．
考点：
全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
分析：
〔1〕由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；
〔2〕由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．
解答：
〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，
∵△BCE和△CDF都是正三角形，
∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，
∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，
在△ABE和△FDA中，，
∴△ABE≌△FDA〔SAS〕，
∴AE=AF；
〔2〕解：∵△ABE≌△FDA，
∴∠AEB=∠FAD，
∵∠ABE=60°+60°=120°，
∴∠AEB+∠BAE=60°，
∴∠FAD+∠BAE=60°，
∴∠EAF=120°﹣60°=60°．
点评：
此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
24．〔8分〕〔2022•常州〕某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如下列图．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．假设该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．
〔1〕求m，n的值，并直接写出车费y〔元〕与路程x〔公里〕〔x＞3〕之间的函数关系式；
〔2〕如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学为什么
考点：
一次函数的应用．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m，由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．当x＞3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；
〔2〕分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论．
解答：
解：〔1〕∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，
∴m=9，
∵从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费12.6元，
∴〔5﹣3〕n+9=12.6，
解得：n=1.8．
∴车费y〔元〕与路程x〔公里〕〔x＞3〕之间的函数关系式为：y=1.8〔x﹣3〕+9=1.8x+3.6〔x＞3〕．
〔2〕小张剩下坐车的钱数为：75﹣15﹣25﹣9﹣12.6=13.4〔元〕，
乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：1.8×7+3.6=16.2〔元〕
∵13.4＜16.2，
故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学．
点评：
此题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次含数的解析式求自变量和函数值，解答时求出函数的解析式是关键
25．〔8分〕〔2022•常州〕如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．
〔1〕假设AD=2，求AB；
〔2〕假设AB+CD=2+2，求AB．
考点：
勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．菁优网版权所有
分析：
〔1〕在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；
〔2〕设DE=x，利用〔1〕的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果．
解答：
解：〔1〕过A点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，
∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，
∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，
△ADE与△BCF为等腰直角三角形，
∵AD=2，
∴AE=DE==，
∵∠ABC=105°，
∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，
∴BE===，
∴AB=；

〔2〕设DE=x，那么AE=x，BE===，
∴BD==2x，
∵∠BDF=60°，
∴∠DBF=30°，
∴DF==x，
∴BF===，
∴CF=，
∵AB=AE+BE=，
CD=DF+CF=x，
AB+CD=2+2，
∴AB=+1

点评：
此题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．
26．〔10分〕〔2022•常州〕设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图〔简称尺规作图〕，画出一个正方形与ω的面积相等〔简称等积〕，那么这样的等积转化称为ω的“化方〞．
〔1〕阅读填空
如图①，矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，那么正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽　△HDE　．
∴，即DH2=AD×DE．
又∵DE=DC
∴DH2=　AD×DC　，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
〔2〕操作实践
平行四边形的“化方〞思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形〔不要求写具体作法，保存作图痕迹〕．
〔3〕解决问题
三角形的“化方〞思路是：先把三角形转化为等积的　矩形　〔填写图形名称〕，再转化为等积的正方形．
如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边〔不要求写具体作法，保存作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图〕．
〔4〕拓展探究
n边形〔n＞3〕的“化方〞思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．
如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形〔不要求写具体作法，保存作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图〕．
考点：
相似形综合题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根据等量代换，可得DH2=AD×DC，据此判断即可．
〔2〕首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN，然后延长AD到E，使DE=DM，以AE为直径作半圆．延长MD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，那么正方形DFGH与矩形ABMN等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积，据此解答即可．
〔3〕首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，那么DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．
〔4〕首先根据AG∥EH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CF•EH=DF•AG，据此判断出S△CEF=S△ADF，S△CDI=S△AEI，所以S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积，据此解答即可．
解答：
解：〔1〕如图①，连接AH，EH，，
∵AE为直径，
∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，
∴∠ADH=∠EDH=90°，
∴∠HAD+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠HED，
∴△ADH∽△HDE．
∴，
即DH2=AD×DE．
又∵DE=DC，
∴DH2=AD×DC，
即正方形DFGH与矩形ABCD等积．

〔2〕如图②，延长AD到E，使DE=DM，连接AH，EH，，
∵矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高，
∴矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积，
∵AE为直径，
∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，
∴∠ADH=∠EDH=90°，
∴∠HAD+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠HED，
∴△ADH∽△HDE．
∴，
即DH2=AD×DE．
又∵DE=DM，
∴DH2=AD×DM，
即正方形DFGH与矩形ABMN等积，
∴正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．

〔3〕如图③，延长MD到E，使DE=DC，连接MH，EH，，
∵矩形MDBC的长等于△ABC的底，矩形MDBC的宽等于△ABC的高的一半，
∴矩形MDBC的面积等于△ABC的面积，
∵ME为直径，
∴∠MHE=90°，
∴∠HME+∠HEM=90°．
∵DH⊥ME，
∴∠MDH=∠EDH=90°，
∴∠HMD+∠MHD=90°，
∴∠MHD=∠HED，
∴△MDH∽△HDE．
∴，
即DH2=MD×DE．
又∵DE=DC，
∴DH2=MD×DC，
∴DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．

〔4〕如图④，延长BA、CD交于点F，作AG⊥CF于点G，EH⊥CF于点H，，
△BCE与四边形ABCD等积，理由如下：
∵AG∥EH，
∴，
∴AG=2EH，
又∵CF=2DF，
∴CF•EH=DF•AG，
∴S△CEF=S△ADF，
∴S△CDI=S△AEI，
∴S△BCE=S四边形ABCD，
即△BCE与四边形ABCD等积．
故答案为：△HDE、AD×DC、矩形．
点评：
〔1〕此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
〔2〕此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等积转化的理解，要熟练掌握．
27．〔10分〕〔2022•常州〕如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．
〔1〕写出点A的坐标；
〔2〕当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．